在構(gòu)造中體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造之美

鄒海斌

[摘? 要] 構(gòu)造法是一種靈活新穎的解題方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)各個階段有著廣泛的應(yīng)用. 構(gòu)造法因其沒有固定的模式可以套用，因此為學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題提供了更為廣闊的空間，有效地激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新意識，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到了創(chuàng)造的樂趣，從而激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣. 而且通過構(gòu)造將各知識點(diǎn)有效地串聯(lián)，在提升解題效率的同時，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的全面提升.

[關(guān)鍵詞] 構(gòu)造法;解題;創(chuàng)造

構(gòu)造法是高中數(shù)學(xué)解題中富有創(chuàng)造性的重要解題方法之一，其中蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化、化歸、類比等重要的數(shù)學(xué)思想，在解題中有著重要的應(yīng)用. 它一般是根據(jù)題設(shè)條件或者結(jié)論特點(diǎn)構(gòu)造出的一種新的數(shù)學(xué)模型，利用新的數(shù)學(xué)模型發(fā)現(xiàn)問題中的某種內(nèi)在聯(lián)系，從而借助于新模型實(shí)現(xiàn)“未知”向“已知”轉(zhuǎn)化. “轉(zhuǎn)化”可謂是架設(shè)于原問題和新模型之間的高架橋，通過轉(zhuǎn)化幫助學(xué)生找到解題的切入點(diǎn)，進(jìn)而調(diào)用已有經(jīng)驗(yàn)解決問題. 構(gòu)造法沒有固定的模式可以套用，更能彰顯學(xué)生的創(chuàng)造力，借此有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生綜合能力提升. 值得注意的是，應(yīng)用構(gòu)造法解題切忌生搬硬套，構(gòu)造前應(yīng)確定好構(gòu)造的目的，再結(jié)合題目的特點(diǎn)確定構(gòu)造方案，切忌為了應(yīng)用構(gòu)造法而隨意構(gòu)造. 筆者結(jié)合構(gòu)造法在函數(shù)、方程、圖像等內(nèi)容中的重要應(yīng)用，談?wù)剮c(diǎn)淺見，以期師生可以更加全面地認(rèn)識構(gòu)造法，并可以合理應(yīng)用構(gòu)造法提升數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用能力.

構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位是不言而喻的，利用函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖像往往可以高效地解決問題. 在遇到一些抽象的方程、不等式問題時可以運(yùn)用構(gòu)造法將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，進(jìn)而從函數(shù)的角度來思考問題，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)去解決問題，以此拓寬解題思路，拓展數(shù)學(xué)思維，提升解題效率.

分析：函數(shù)與不等式看似獨(dú)立，然而卻密不可分，解題時將其相互轉(zhuǎn)化，往往可以事半功倍.

評注：函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識（如方程、不等式等）的聯(lián)系非常緊密，靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)圖像可以解決很多問題，因此其在數(shù)學(xué)教學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用. 本題為一個不等式證明題，雖然利用不等式的性質(zhì)也可以順利進(jìn)行證明，然應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)的思路求解更有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

構(gòu)造方程

方程可以說是學(xué)生最熟悉的、解題時最常用的內(nèi)容. 解題時通過觀察、思考、分析題設(shè)中的等式結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，挖掘已知和未知的某種等量關(guān)系，進(jìn)而將抽象的、特殊的內(nèi)容通過方程的形式呈現(xiàn)出來，便于學(xué)生利用方程思想巧妙、合理、快速地求解.

例2 已知實(shí)數(shù)m，n，p滿足條件（m-n）2-4（n-p）（p-m）=0，試證明：m，n，p為等差數(shù)列.

分析：本題雖然題設(shè)信息并不復(fù)雜，然若將等式（m-n）2-4（n-p）（p-m）=0與等差數(shù)列聯(lián)系起來卻有些抽象. 觀察等式結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，聯(lián)想到Δ=b2-4ac，故可利用方程將已知和結(jié)論聯(lián)系起來，進(jìn)而借助于方程知識解決問題. 豐富了已知，便于證明.

評注：本題題設(shè)信息并不復(fù)雜，解決該問題也不局限于這一種方法，然應(yīng)用構(gòu)造方程的思路求解可以將不同的知識建立聯(lián)系，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 很多學(xué)生對數(shù)列中涉及的公式和定理背得滾瓜爛熟，然具體應(yīng)用時卻常常無從下手，難以將公式、定理與題設(shè)信息建立聯(lián)系. 因此解題時屢屢碰壁，久而久之，容易對數(shù)列問題產(chǎn)生畏難情緒. 而方程是學(xué)生從小學(xué)就接觸的內(nèi)容，對相關(guān)結(jié)論和相關(guān)應(yīng)用都了如指掌，故將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為方程問題可以有效地避免學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，引導(dǎo)學(xué)生從方程的角度去思考數(shù)列問題，將兩者有機(jī)結(jié)合，高效解決問題. 同時利用構(gòu)造法有利于鍛煉學(xué)生的觀察能力，如例2，只有仔細(xì)觀察（m-n）2-4（n-p）（p-m）=0的特點(diǎn)才能聯(lián)想到方程判別式，從而得到新方程，轉(zhuǎn)好后利用新方程順利解決問題. 可見，構(gòu)造法的應(yīng)用不僅可以提高解題效率，而且可以鍛煉學(xué)生的綜合能力.

構(gòu)造圖形

如果僅從文字語言去分析很難將已知和結(jié)論聯(lián)系起來，不妨從幾何意義出發(fā)，通過圖形將已知和結(jié)論建立聯(lián)系，從而借助于圖形的直觀性化解代數(shù)的抽象性，化抽象為具體，化難為易，迅速求解.

例3 如圖1所示，已知有向線段PQ的起點(diǎn)P（-1，1）和終點(diǎn)Q（2，2）. 若直線l：x+my+m=0與有向線段PQ的延長線相交，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：題設(shè)中的方程為含參方程，若從代數(shù)的角度去思考顯然很難形成思路，因此可以考慮將直線方程變形，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式，通過分析直線l與有向線段斜率的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

評注：本題是一道代數(shù)問題，若從代數(shù)的角度出發(fā)，則需要計算出有向線段PQ的方程，進(jìn)而與直線l進(jìn)行聯(lián)立求解，這樣利用常規(guī)思路顯然很難準(zhǔn)確、快速地求解. 通過構(gòu)造圖形，可以將抽象的文字語言用圖形語言表達(dá)出來，將題設(shè)信息與圖形聯(lián)立起來，使題目更加直觀，更容易形成解題思路. 將直線l的方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式，發(fā)現(xiàn)其恒過點(diǎn)M（0，-1），這樣只要探究直線l的斜率，問題就迎刃而解了. 利用構(gòu)造圖形的方法不僅簡化了解題過程，而且優(yōu)化了解題思路，更利于迅速求解.

構(gòu)造數(shù)列

等比數(shù)列和等差數(shù)列不僅概念性質(zhì)多，而且形式多變，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)內(nèi)容之一. 當(dāng)直接利用性質(zhì)和公式難以解題時，可以嘗試構(gòu)造新數(shù)列，將原數(shù)列化繁為簡，引導(dǎo)學(xué)生從新角度去思考問題，利用新數(shù)列的性質(zhì)去解決問題，以此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

分析：數(shù)列問題較為集中，主要就是求通項(xiàng)公式或求和，那么，之所以認(rèn)為數(shù)列問題較難就是因?yàn)榻忸}思路和解題方法較少. 本題數(shù)列的各項(xiàng)之間存在著明顯的遞推關(guān)系，所以解題時可以構(gòu)造新數(shù)列，利用新數(shù)列層層推進(jìn)，最終求得答案.

構(gòu)造法不同于其他解題方法，它不像其他的解題方法那樣可以通過邏輯分析一步步尋求已知與未知之間的聯(lián)系，直到推理成功. 它的本質(zhì)是“構(gòu)造”和“創(chuàng)新”，一般無“規(guī)”可循，因此更好地呈現(xiàn)出了思維的靈活性和創(chuàng)造性. 在教學(xué)中，教師可以多鼓勵學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造法解題，也許它不是最簡單高效的，然通過構(gòu)造法的應(yīng)用可以讓學(xué)生更清晰地認(rèn)識知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，有利于幫助學(xué)生完成知識體系的系統(tǒng)化建構(gòu). 同時，應(yīng)用構(gòu)造法，可以拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造法，讓學(xué)生在構(gòu)造中體驗(yàn)創(chuàng)造的樂趣，在提升解題能力的同時，促進(jìn)觀察能力、分析能力、創(chuàng)造能力等綜合能力的全面提升.