2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(甲卷)理科數(shù)學(xué)21題解析

100013 北京市第一七一中學(xué) 王楨宇 管 悅

100013 北京宏志中學(xué) 王芝平

一、題目再現(xiàn)

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

二、試題解析

小問(2)

解法2更加符合學(xué)生自然的解題思路，直接求導(dǎo)，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而討論其與y=1的交點(diǎn)情況，但計(jì)算稍顯復(fù)雜，下面討論該解法.

預(yù)備知識人民教育出版社普通高中教科書《數(shù)學(xué)》(選擇性必修第三冊B版)第87頁有如下習(xí)題.

求滿足下列條件的直線l的方程.

(1)過原點(diǎn)且與曲線y=lnx相切；

(2)斜率為e且與曲線y=ex相切[1].

①當(dāng)a∈(0，1)時(shí)，lna<0，所以a-xlna>0，所以當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)與y=1至多有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意.

綜上所述，a的取值范圍為(1，e)∪(e，+∞).

三、難點(diǎn)突破

導(dǎo)數(shù)“找點(diǎn)”計(jì)算涉及方程、不等式、參數(shù)討論、求導(dǎo)運(yùn)算、四則運(yùn)算以及估算等能力，追求本質(zhì)、自然、簡單的解題方法不僅是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的必由之路.