一類非自治隨機積分-微分方程的均方漸近概自守溫和解

姚慧麗, 劉冬玥， 孫源源, 王晶囡

(哈爾濱理工大學 理學院， 哈爾濱 150080)

0 引 言

1962年，Bochner給出了概自守函數的有關概念[1]，1981年，N’Guérékata給出了漸近概自守函數的定義[2]，2008年，Liang等給出了偽概自守函數的有關概念[3]。自概自守型函數有關理論被提出以來，數學工作者們將其應用到各類方程中，討論方程的概自守型解的存在性問題[4-8]。2010年，Fu 等提出了均方概自守隨機過程的概念[9]，隨后均方漸近概自守隨機過程和均方偽概自守隨機過程有關理論相繼被給出。從應用的角度看，隨機微分方程尤為重要，因為這種方程將隨機性納入了數學描述中。2013年，Li等簡單介紹了方程(1)的研究背景，并研究了該方程的均方概自守溫和解的存在性和唯一性[10]。其中：t∈R，{A(t)}:D(A(t))→L2(P,H)是一族稠定線性閉算子(有可能是無界的)，滿足所謂的“Acquistapace-Terreni”條件，B和C分別是L1(0,∞)和L2(0,∞)中的卷積型內核，W(t)是定義在過濾概率空間的(Ω,F,P,Ft)上的一個雙邊一維標準的布朗運動。方程(1)如下：

(1)

近些年討論各類隨機微分方程的均方概自守解和均方偽概自守解的文獻較多[11-18],相比之下，關于方程的均方漸近概自守解研究的文獻較少，故本文主要研究方程(1)的均方漸近概自守溫和解的存在性和唯一性。

1 預備知識

定義1一個隨機過程x(t):R→L2(P,H)被稱為是隨機有界的，是指存在一個常數M>0滿足

E‖x(t)‖2≤M

對所有t∈R成立。

定義2一個隨機過程x:R→L2(P,H)被稱為是隨機連續的，是指對于任意s∈R,有

成立。

定義3設X∈C(R,L2(P,H))，如果對任意的實數序列{s′n}n∈N,都存在它的一個子列{sn}和一個隨機過程Y:R→L2(P,H)滿足：

則稱X是均方概自守的，此類X的全體記為AA(R,L2(P,H))。

定義4設F∈C(R,L2(P,H))，如果F可分解為：

F=G+φ,G∈AA(R,L2(P,H)),φ∈SMC0(R,L2(P,H))

其中

和

對任意的t∈R和X∈K成立，則稱F是關于t∈R且一致對X∈K(K是L2(P,H)任意緊子集)均方概自守的，此類F的全體記為AA(R×L2(P,H),L2(P,H))。

定義6設F∈C(R×L2(P,H),L2(P,H))，如果F可分解為：

F=G+φ,G∈AA(R×L2(P,H),L2(P,H)),φ∈SMC0(R×L2(P,H),L2(P,H))

其中

SMC0(R×L2(P,H),L2(P,H))

則稱F是關于t∈R且一致對X∈K(K是Lp(P,H)的任意緊子集)均方漸近概自守的，此類F的全體記為AAA(R×L2(P,H),L2(P,H))。

定義7X上的有界線性算子集合{U(t,s):t≥s,t,s∈R}，如果滿足：

(1)U(s,s)=I，U(t,s)=U(t,r)U(r,s)(t≥r≥s,t,r,s∈R);

(2)(t,s)∈{(τ,σ)∈R2,τ≥σ}→U(t,s)是強連續的。

那么它被稱為是卷積族。

‖(A(t)-λ0I)R(λ,A(t)-λ0I)×[R(λ0,A(t))-R(λ0,A(s))]‖≤L|t-s|α|λ|β

對t,s∈R,λ∈∑θ∶={λ∈C-{0}∶|argλ|≤θ}。

定義8設(X(t))t∈R是一個隨機連續的隨機過程，如果它滿足下列的隨機積分方程：

(2)

對于所有t≥a和每一個a∈R，則稱(X(t))t∈R是方程(1)在R上的一個溫和解。

2 主要結論

主要對方程(1)的均方漸近概自守溫和解的存在性以及唯一性進行討論，有以下結論：

定理1若方程(1)滿足以下假設：

(H1)由滿足“Acquistapace-Terreni”條件一族稠定線性閉算子A(t):D(A(t))?L2(P,H)→L2(P,H)生成的卷積族{U(t,s)}是一致指數穩定的，也就是存在常數M≥1和δ>0滿足：

‖U(t,s)‖≤Me-δ(t-s)，?t≥s

(H2)卷積族{U(t,s),t≥s}滿足下列條件：對任意的實數序列{s′n}n∈N，都存在它的一個子列{sn}滿足對任意的ε>0,存在一個N∈，滿足當n>N時,有：

‖U(t+sn,s+sn)-U(t,s)‖≤εe-δ(t-s)

‖U(t-sn,s-sn)-U(t,s)‖≤εe-δ(t-s)

對所有的t≥s，其中δ>0是假設(H1)中所取常數。

(H3)函數Fi:R×L2(P;H)→L2(P;H),(t,X)Fi(t,X)(i=1,2)和G:R×L2(P;H)→L2(P;H),(t,X)G(t,X)關于t∈R且一致對于每一個X∈L2(P;H)是均方漸近概自守的。另外F1,F2和G是相對于X一致關于t滿足Lipschitz條件的，即存在常數Ki>0(i=1,2,3)使得

E‖Fi(t,X)-Fi(t,Y)‖2≤KiE‖X-Y‖2,i=1,2

E‖G(t,X)-G(t,Y)‖2≤K3E‖X-Y‖2

對于所有的隨機過程X,Y∈L2(P;H)，t∈R。

則方程(1)存在唯一的均方漸近概自守溫和解X(t)，且可表示為：

(3)

式中t∈R。

證明在AAA(R,L2(P,H))上定義映射φ：

(4)

由引理1可得，AAA(R,L2(P,H))在‖·‖∞下是一個Banach空間。下證φ是一個從AAA(R,L2(P,H))到自身的壓縮映射。

第一步： 先證φ是一個從AAA(R,L2(P,H))到自身的映射。

先在AAA(R,L2(P,H))上定義三個非線性算子，如下：

為證(φX)(t)∈AAA(R,L2(P,H)),僅需證(φiX)(t)∈AAA(R,L2(P,H)),i=1,2,3。結合假設(H3)和文獻[21]中引理10，可知F1(s,X(s))∈AAA(R,L2(P,H)),所以可記F1(s,X(s))=f1(s)+f2(s)，其中

f1(s)∈AA(R,L2(P,H))，f2(s)∈SMC0(R,L2(P,H))

因此有

(5)

V(t)∈SMC0(R,L2(P,H))

綜上得(φ1X)(t)∈AAA(R,L2(P,H))。

下證(φ2X)(t)∈AAA(R,L2(P,H))。結合假設(H3)和文獻[21]中引理10可知F2(s,X(s))∈AAA(R,L2(P,H))，因此記F2(s,X(s))=I1(s)+I2(s),其中I1(s)∈AA(R,L2(P,H))，I2(s)∈SMC0(R,L2(P,H))。故有:

由假設(H1)、(H2)、(H3)及文獻[21]可知，L(t)∈AA(R,L2(P,H))，根據AAA(R,L2(P,H))的定義，故只需證N(t)∈SMC0(R,L2(P,H))。

(6)

對式(6)最后三部分分別加以討論。

對于第一部分，結合Cauchy-Schwarz不等式和(H1)可得：

對第二部分，結合Cauchy-Schwarz 不等式和(H1)可得：

整理可得：

(7)

證明(φ3X)(t)∈AAA(R,L2(P,H))的過程與證明(φ2X)(t)∈AAA(R,L2(P,H))的過程類似，故省略。至此證得了式(4)定義的φ是從AAA(R,L2(P,H))到自身的映射。

第二步： 證明φ是一個壓縮映射。根據不等式(a+b+c)3≤3a2+3b2+3c2,對任意X,Y∈AAA(R,L2(P,H))可得：

E‖(φX)(t)-(φY)(t)‖2

=E‖{(φ1X)(t)+(φ2X)(t)+(φ3X)(t)}-{(φ1Y)(t)+(φ2Y)(t)+(φ3Y)(t)}‖2

(8)

對式(8)的最后三項分別加以討論。利用Cauchy-Schwarz不等式和上述列出(H1)～(H3)，可得：

(9)

對于第二部分，用第一部分相同的方法，可得：

(10)

對于第三部分，將再一次使用Ito等距積分、Cauchy-Schwarz不等式以及(H1)～(H3)可得：

由式(9)～式(11)可得：

(11)

也就是說：

(12)

結合式(12)有：

(13)

由‖·‖∞的定義并結合式(13)得：

由(H4)可得映射φ為關于Θ的壓縮映射，因此，由壓縮定理可得，φ在AAA(R,L2(P,H))上有且僅有一個X，滿足φX=X,即：

對任意的t∈R成立。上式即為前面的(3)式。將t=a代入(3)式,兩端同時乘以U(t,a)，并結合U(t,σ)=U(t,a)×U(a,σ)，對于一切t≥s成立，可得：

(14)

又對t≥a有，將式(14)代入溫和解的定義式(2)，有：

這就證明了式(2)與式(3)等價，因此，可得方程(1)有唯一的均方漸近概自守溫和解。