分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Hirota方程的顯示解

何黎霞， 孫峪懷

(1.四川工商學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院， 成都 611730; 2.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 成都 610011)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程具有濃厚的物理背景和重要的科學(xué)價(jià)值。它不但可以描述反常擴(kuò)散的問(wèn)題，而且在黏彈性流體力學(xué)、機(jī)器人、數(shù)字圖像處理、控制論、金融和熱傳導(dǎo)等眾多領(lǐng)域中也有廣泛應(yīng)用。

為了更好地理解分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程所刻畫的變化現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律以及現(xiàn)實(shí)背景，方程的顯示精確解的構(gòu)建尤為重要。近些年來(lái)，已有許多成功求解分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的顯示解的有效方法，如廣義G′/G-展開法[1]、F-展開法[2]、改進(jìn)的Kudryashov方法[3]、不變子空間方法[4-6]、動(dòng)力系統(tǒng)分支方法[7-8]、exp-函數(shù)法[9]、改進(jìn)的子方程法[10-11]、擴(kuò)展sinh-Gordon方程展開法[12]、G′/(G′+G+A)展開法[13]、李群分析法[14]、(G′/G,1/G)-函數(shù)展開法[15]和完全判別系統(tǒng)法[16-17]等。

本文考慮分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Hirota方程[18]：

(1)

分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Hirota方程是描述光孤子在色散光纖中的傳播的重要模型，因此構(gòu)建它的精確行波解具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。Hadi等用展開直接代數(shù)方法構(gòu)造了方程(1)的三角函數(shù)解、有理函數(shù)解以及雙曲函數(shù)解[19]。本文擬用完全判別系統(tǒng)法研究方程(1)，以構(gòu)造該方程更為豐富的顯示精確解。

1 方法的簡(jiǎn)述

劉成仕借助多項(xiàng)式的完全判別系統(tǒng)，首次提出了完全判別系統(tǒng)法求解非線性偏微分方程[20-22]。該方法的基本思想很簡(jiǎn)單，并且也適用于求解分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程。

考慮如下整合分?jǐn)?shù)階偏微分方程:

P(u,Dtαu,Dxβu,…)=0

(2)

式中P是關(guān)于待求函數(shù)u=u(x,t)及其偏導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式。首先借助分?jǐn)?shù)階復(fù)變換和整合分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，將方程(2)轉(zhuǎn)化為如下常微分方程:

u′(ξ)=G(u,δ1,δ2,…,δm)

式中δ1,δ2,…,δm為參數(shù)。再將上式改寫成積分形式:

式中ξ0為積分常數(shù)，G(u,δ1,δ2,…,δm)是關(guān)于u的多項(xiàng)式。通過(guò)確定參數(shù)δ1,δ2,…,δm的取值范圍，可以得到積分式的不同的解，進(jìn)而得到方程(2)的精確行波解。

2 分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Hirota方程顯示解的構(gòu)造

假設(shè)方程(1)有如下形式的解:

(3)

式中系數(shù)ω和η是常數(shù)。引入式(3)，可得

(4)

(5)

(6)

(7)

φζ2=4φ(φ2+p1φ+p2)

(8)

情形1 當(dāng)Δ=0時(shí)，由于φ>0，有

(9)

若p1<0，由式(9)可以得到方程(1)有如下形式的解:

若p1>0，由式(9)可以得到方程(1)有如下形式的解:

若p1=0，由式(9)可以得到方程(1)有如下形式的解:

情形2 當(dāng)Δ>0，p2=0時(shí)，由于φ>-p1，有

(10)

若p1<0，由式(10)可以得到方程(1)有如下形式的解:

若p1>0，由式(10)可以得到方程(1)有如下形式的解:

情形3 當(dāng)Δ>0且p2≠0時(shí)，令γ1<γ2<γ3，且其中有一個(gè)為零，其余兩個(gè)為F(φ)=0的兩個(gè)實(shí)根，作等量變換φ=γ1+(γ2-γ1)sin2φ，有

(11)

值得注意的是當(dāng)θ1=0時(shí)，Jacobi橢圓函數(shù)sn將會(huì)退化成為函數(shù)sin；當(dāng)θ1=1時(shí)，Jacobi橢圓函數(shù)sn將會(huì)退化成為函數(shù)tanh。因此，可以得到方程(1)有如下形式的解:

(12)

由式(12)可以得到方程(1)有如下形式的解:

值得注意的是,當(dāng)θ2=0時(shí)，Jacobi橢圓函數(shù)cn將會(huì)退化成為函數(shù)cos；當(dāng)θ2=1時(shí)，Jacobi橢圓函數(shù)cn將會(huì)退化成為函數(shù)sech。因此，可以得到式(1)有如下形式的解：

文中得到的顯示解中u1(x,t)、u2(x,t)、u6(x,t)、u7(x,t)以及u10(x,t)為扭結(jié)波解，u3(x,t)、u5(x,t)以及u9(x,t)為三角函數(shù)解，u4(x,t)為有理函數(shù)解，u8(x,t)、u11(x,t)以及u12(x,t)為Jacobi橢圓函數(shù)解，u13(x,t)為周期波解，u14(x,t)為暗孤立波解。

3 結(jié) 論

本文將完全判別系統(tǒng)法應(yīng)用于求解分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Hirota方程，得到了六類顯示精確解，包括扭結(jié)波解、三角函數(shù)解、有理函數(shù)解、Jacobi橢圓函數(shù)解、周期波解和暗孤立波解。與文獻(xiàn)[19]的結(jié)果作對(duì)比，u1(x,t)、u2(x,t)以及u3(x,t)與其結(jié)果一致，其余解均為新顯示解。這些新顯示精確解有助于更好理解光孤子在色散光纖中的傳播的物理本質(zhì)。同時(shí)，結(jié)果表明完全判別系統(tǒng)法是求解非線性分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Hirota方程的有效方法，具有簡(jiǎn)單便捷的優(yōu)點(diǎn)。