一類系數依賴于時間的非線性項的半線性雙波動方程解的爆破研究①

歐陽柏平

廣州華商學院 數據科學學院， 廣州 511300

近年來， 有關半線性波動方程柯西問題的研究受到廣泛的關注． 有很多學者[1-9]研究了如下波動方程的柯西問題

(1)

其中p>1，n≥1和u=u(t，x)∈R，ε>0．

眾所周知， (1)式中的臨界指數Pcrit(n)即Strauss指數在波動方程解的全局性與爆破研究中起著重要作用． (1)式中的臨界指數Pcrit(n)由下面一元二次方程的正根表示

也就是

對于n=1， 有Pcrit(1)=∞．

對于(1)式的研究， 學者們主要采用的方法是基于微分不等式和Kato引理． 然而， Kato引理只適用于二階的微分方程， 對于高階的波動方程(比如四階)， 則需要尋找其他的辦法． 近來有學者采用迭代辦法研究了某些雙曲方程解的全局性和爆破問題[10-16]． 有關其他的偏微分方程解的爆破問題研究可參考文獻[17-19]．

本文研究如下系數依賴于時間的非線性項的半線性雙波動方程解的爆破問題

(2)

其中f(t)=(1+t)-α， 0<α<2，p>1，ε>0， Δ是拉普拉斯算子．

目前， 有關高階的半線性雙波動方程柯西問題解的爆破研究尚未得到展開． 其主要難點在于如何構造測試函數通過迭代方法來解決高階波動方程柯西問題研究中出現的問題． 本文通過選取合適的測試函數進行迭代得到了在非臨界情況下系數依賴于時間的非線性項的半線性雙波動方程解的上界估計．

首先給出(2)式的柯西問題能量解的定義

(3)

對于(3)式， 由分部積分可得

(4)

令t→T， 則u滿足(2)式定義的弱解的定義．

1 本文主要結果

定理1設

Y(n，p，α)=(n+3-2α)p+4-(n-3)p2

(5)

2 爆破時間的上界估計

設

(6)

(4)式中， 取φ≡1， {(s，x)∈[0，t]×Rn： |x|≤R+s}， 可得

(7)

聯立(6)，(7)式， 得到

(8)

對(8)式關于t積分3次， 可得

(9)

因為支集u(t， ·)?Bt+R， ?t∈(0，T)， 由H?lder不等式， 可得

(10)

由(9)，(10)式， 可得

(11)

下面將通過對U(t)的下界進行迭代完成定理的證明． (11)式確定了迭代的框架． 為了推導U(t)的第一個下界估計， 引入如下函數[20]

函數Φ(x)是正的， 并且有下面的性質

定義輔助函數

(12)

對(8)式關于時間t求導數， 得

(13)

應用H?lder不等式于(12)式， 得到

(14)

將測試函數Ψ應用到(3)式， 有

(15)

對(15)式分部積分并注意到Ψ的性質， 可得

(16)

其中

聯立(12)式和(16)式， 得

(17)

設

于是， (17)式可化為

F′(t)+2F(t)≥εI[u0，u1，u2，u3]

(18)

對(18)式積分， 得

(19)

由(19)式和F(t)的定義， 有

(20)

對(20)式關于t求積分， 可推出

(21)

其中δ=min{1-e-2t，te-2t}．

由定理的條件， 可得當t≥t0時， 有

(22)

由Ψ的漸近性， 可得

(23)

由(14)，(22)和(23)式有

(24)

聯立(13)和(24)式可得

(25)

其中t≥t0．

對(25)式求積分， 有

(26)

(26)式可記為

U(t)≥K0(R+t)-α0(t-t0)β0

(27)

接下來， 將通過迭代來推導U(t)的下界

U(t)≥Kj(R+t)-αj(t-t0)βj

(28)

其中非負實序列{Kj}j∈N， {αj}j∈N， {βj}j∈N將在下文定義．

聯立(11)和(28)式， 得

(29)

接著取

(30)

則(29)式可化為

U(t)≥Kj+1(R+t)-αj+1(t-t0)βj+1

(31)

(31)式表明(28)式對于j+1是成立的． 接下來， 將對Kj，αj，βj進行估計．

由(30)式有

(32)

又由于

(33)

聯立(30)和(33)式， 得到

(34)

對(34)式兩邊取對數可得

(35)

令j0=j0(n，p)∈N為滿足

的最小正整數， 從而， 對于j≥j0， 由(35)式可得

(36)

其中E0=E0(n，p)>0．

聯立(28)，(32)和(36)式， 得到

(37)

其中j≥j0，t≥t0．

當t≥R+2t0時， 有log(R+t)≤log(2(t-t0))． 于是(37)式化為

(38)

其中t-t0的指數為

(39)

由于0<α<2， 當n=1，2，3時，p>1； 當n≥4時， 1

取ε0=ε0(u0，u1，u2，u3，n，p，α，R)>0， 使得

從而證明了定理1．