無界域上具有乘積噪聲的隨機(jī)反應(yīng)-擴(kuò)散方程一致隨機(jī)吸引子的存在性①

李博文， 李曉軍

河海大學(xué)理學(xué)院， 南京 210098

本文考慮如下無界域上帶有乘性噪聲的隨機(jī)反應(yīng)-擴(kuò)散方程生成的隨機(jī)動力系統(tǒng)一致隨機(jī)吸引子的存在性：

(1)

其中：υ，λ是正常數(shù)；g(x，t)∈Σ是滿足一定條件的外力項；bj是常數(shù)，f1(u)和f2(u)是滿足一定增長條件和耗散條件的光滑非線性函數(shù)；ωj是定義在概率空間(Ω， F， P)上的雙邊實(shí)值Wiener過程； F是Borelσ-代數(shù)； P是相應(yīng)的Wiener測度； “°”表示隨機(jī)項是在Stratonovich積分意義下的．

本文假設(shè)f1(u)和f2(u)滿足以下條件： 對任意的x∈Rn，u∈R，

f1(u)u≥α1|u|p-β1|u|2，f1(u)u≥0，f′1(u)≥-c，p≥2

(2)

f2(u)u≥α2|u|p-β2，f′2(u)≥-c，p≥2

(3)

|f1(u)|≤α3|u|p-1+c1， |f2(u)|≤α4|u|p-1+c2

(4)

a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)，a(x)>0

(5)

其中：αi>0(i=1，2，3，4)；βi，ci>0(i=1，2)，c>0． 當(dāng)p>2時， 有α1>β1成立．

?a(x)·?F2(u)≥0

(6)

系統(tǒng)(1)是一非自治隨機(jī)系統(tǒng)， 含有確定的非自治項和隨機(jī)項． 由于隨機(jī)項的存在， 在研究隨機(jī)偏微分方程時， 傳統(tǒng)吸引子的理論[1-3]已無法應(yīng)用． 文獻(xiàn)[4-6]將傳統(tǒng)吸引子的概念加以推廣， 提出了隨機(jī)吸引子的概念， 并建立了隨機(jī)吸引子的相關(guān)理論． 之后， 文獻(xiàn)[7]利用該理論研究了非自治隨機(jī)動力系統(tǒng)， 并建立了隨機(jī)吸引子存在的充分必要條件． 文獻(xiàn)[8]研究了含有確定非自治項的隨機(jī)偏微分方程一致隨機(jī)吸引子的存在性， 并給出相應(yīng)的判定定理． 關(guān)于隨機(jī)偏微分方程吸引子的其他結(jié)果可見文獻(xiàn)[12-15]．

本文用文獻(xiàn)[8-10]中的方法研究系統(tǒng)(1)一致隨機(jī)吸引子的存在性． 與以往的工作(如文獻(xiàn)[7， 9])相比， 我們放寬了對系統(tǒng)(1)的非線性項f(x，u)的一些假設(shè)， 即它不一定滿足條件：

(7)

為了表示方便， 設(shè)有以下記號： ‖·‖表示L2(Rn)上的范數(shù)， (·， ·)表示L2(Rn)上的內(nèi)積．

1 預(yù)備知識

本節(jié)將引入非自治隨機(jī)動力系統(tǒng)的一些概念和理論[7-10]．

令(X，d)為可分的Banach空間，X上的非空集間的Hausdorff半距離定義為

對于任意度量空間M， 我們用B(M)表示其上的σ-代數(shù)． 令(Σ，dΣ)為緊的Polish度量空間， 且在如下意義下是不變的：

?tΣ=Σ， ?t∈R

其中?為光滑的平移算子， 若滿足：

1) ?0是Σ上的恒等算子；

2) ?s°?t=?t+s， ?t，s∈R；

3) (t，g)?tg是連續(xù)的．

同時， 我們定義(Ω， F， P)為概率空間， 定義在其上的動力系統(tǒng){θt}t∈R滿足：

1)θ0是Ω上的恒等算子；

2)θtΩ=Ω， ?t∈R；

3)θs°θt=θt+s， ?t，s∈R；

4) (t，ω)θtω是(B(R)×F， F)-可測；

5) R-保測： R(θtF)=R(F)， ?t≤0，F(xiàn)∈F．

分別作用在Σ和Ω上的兩個群{?t}t∈R和{θt}t∈R稱為基流．

定義1對于φ(t，ω，g，x)： R+×Ω×Σ×XX， 若滿足：

1)φ是(B(R+)×F×B(Σ)×B(X)， B(X))-可測的；

2)φ(0，ω，g， ·)是X上的恒等映射， ?g∈Σ，ω∈Ω；

3) 對每個固定的g∈Σ，x∈X，ω∈Ω， 有如下余圈性質(zhì)成立：

φ(t+s，ω，g，x)=φ(t，θsω， ?sg)°φ(s，ω，g，x)， ?t，s∈R+

則稱φ(t，ω，g，x)為定義在X， (Σ， {?t}t∈R)和(Ω， F， P， {θt}t∈R)上的非自治隨機(jī)動力系統(tǒng)．

令D是X中的隨機(jī)集族組成的集合．

定義2稱K=K{K(ω)}ω∈Ω為φ的D一致吸收集， 若對任意的ω∈Ω和B∈D， 都存在T=T(ω，B)， 使得

φ(t，θ-tω，Σ，B(θ-tω))?K(ω)， ?t≥T

其中

稱K={K(ω)}ω∈Ω為φ的D一致吸引集， 若對任意的ω∈Ω， 有

定義3假設(shè)φ是定義在Banach空間X上的非自治隨機(jī)動力系統(tǒng)， 并且關(guān)于符號空間Σ和X連續(xù)． 若對任意的B∈D，ω∈Ω與序列{tn}， 滿足0

定義4若A屬于D， 且是最小的緊D一致吸引集， 則稱隨機(jī)集A={A(ω)}ω∈Ω為φ的D一致吸引子．

定義5若對所有的β>0，ω∈Ω， 滿足

定理1[8]假設(shè)φ是定義在Banach空間X上的非自治隨機(jī)動力系統(tǒng)， 并且關(guān)于符號空間Σ和X連續(xù)． 若φ有閉的D一致吸收集B∈D， 且φ在X上是D一致(拉回)漸近緊的， 那么φ有唯一的D一致隨機(jī)吸引子A={A(ω)}ω∈Ω∈D， 其中

2)g的殼是平移不變的， 即H(g0)=?tH(g0)， ?t∈R；

5) 對任意的g∈H(g0)， 都有G(g)≤G(g0)．

2 方程所對應(yīng)的隨機(jī)動力系統(tǒng)

本節(jié)中， 我們建立方程(1)所對應(yīng)的連續(xù)隨機(jī)動力系統(tǒng)． 定義在R上的群(θ1， t)t∈R：

θ1， t(h)=h+t，t，h∈R

則(R， (θ1， t)t∈R)是一個參數(shù)動力系統(tǒng)． 考慮概率空間(Ω， F， P)， 其中Ω={ω=(ω1，ω2， …，ωk)∈C(R， Rk)：ω(0)=0}， F是Borelσ-代數(shù)， P是相應(yīng)的Wiener測度． 定義(Ω， F， P)上的群(θ2， t)t∈R：

θ2， tω(s)=ω(s+t)-ω(t)，ω∈Ω，t，s∈R

則(Ω， F， P， (θ2， t)t∈R)是一個遍歷度量動力系統(tǒng)．

為了定義(1)所生成的連續(xù)隨機(jī)動力系統(tǒng)， 我們需要將(1)式轉(zhuǎn)換成一個帶隨機(jī)變量的非自治動力系統(tǒng)．

給定布朗運(yùn)動驅(qū)動的Ornstein-Uhlenbeck過程的穩(wěn)態(tài)解：

t

(8)

(9)

(10)

又令

(11)

其中u是方程(1)的解． 則v滿足方程：

(12)

初值為

v(x，τ)=vτ(x)=e-δ(θ2， tω)uτ(x)，x∈Rn

(13)

通過Galerkin方法可知， 對于任意的t>τ，τ∈R，vτ∈L2(Rn)， 在假設(shè)(2)-(5)下， 方程(12)存在唯一的解v=v(t，τ，ω，g，vτ)， 且v(t，τ，ω，g，vτ)關(guān)于初值vτ(x)連續(xù)(見引理4)．

φ(t，τ，ω，g，uτ)=u(t+τ，τ，θ2， -τω， ?2， -τg，uτ)=eδ(θ2， τω)v(t+τ，τ，θ2， -τω， ?2， -τg，vτ)

(14)

其中uτ∈L2(Rn)，t∈R+，τ∈R，ω∈Ω， 從而φ是系統(tǒng)(1)所對應(yīng)的非自治隨機(jī)動力系統(tǒng)．

(15)

令D為

D={D={D(τ，ω)：τ∈R，ω∈Ω}：D滿足(15)式}．

(16)

3 解的一致估計

為了證明φ于L2(Rn)中D一致吸引子的存在性， 我們將給出系統(tǒng)(1)的一致估計， 并且說明當(dāng)時間足夠大時， 方程解的尾部估計是一致小的． 首先， 我們證明φ于L2(Rn)中存在D一致吸收集．

‖v(τ，τ-t，θ2， -τω， ?2， -τg，vτ-t(θ2， -τω， ?2， -τg))‖2≤C(1+r1(ω))

(17)

證將(12)式與v在L2(Rn)中做內(nèi)積， 可得

(18)

現(xiàn)在對(18)式進(jìn)行逐項估計， 結(jié)合條件(2)-(5)， 可得：

(19)

(20)

對于(18)式中最后一項， 利用Cauchy-Schwarz不等式， 可得

(21)

由于a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)， 結(jié)合(18)-(21)式可知

(22)

舍去(22)式中的不等式右邊第一項， 在(τ-t，τ)上應(yīng)用Gronwall引理， 得到

(23)

在(23)式中， 用θ2， -τω替代ω， 用?2， -τg替代g， 得到

(24)

由(10)式可知

(25)

這意味著存在κ>0， 使得對任意的s<-κ， 滿足

(26)

結(jié)合(25)-(26)式， 可知

(27)

(28)

因此， 將(28)式代入(27)式中， 可得

(29)

注意到{D(τ-t，θ2， -tω)}∈D是緩增的， 對任意的vτ-t∈D(τ-t，θ2， -tω)， 有

(30)

令

(31)

由此， 引理得證．

給定ω∈Ω， 令

K(τ，ω)={u∈L2(Rn)： ‖u‖2≤C(1+r1(ω))}

(32)

可知{K(τ，ω)：τ∈R，ω∈Ω}∈D是一個φ的D一致吸收集．

(33)

證用T替代τ， 并用θ2， -τω替代ω， 用?2， -τg替代g， 代入(23)式中， 則對每個T≥τ-t，t≥1， 有

(34)

(35)

對(22)式應(yīng)用Gronwall引理， 當(dāng)τ-t

(36)

故有

(37)

用θ2， -τω替代ω， 用?2， -τg替代g， 代入(37)式， 并結(jié)合(35)式， 我們得到

(38)

用τ-1替代T， 代入(38)式中， 可得

(39)

易知， 對于s∈[τ-1，τ]，

由于隨機(jī)變量z(θ2， tω)是緩增的，vτ-t∈D(τ-t，ω)， 結(jié)合(25)-(28)式， 于是有

因此， 存在TD(τ，ω)≥1， 使得當(dāng)t≥TD(τ，ω)時，

顯然，r2(ω)是緩增的． 由此， 引理得證．

‖?v(τ，τ-t，θ2， -τω， ?2， -τg，vτ-t)‖2≤r(ω)

(43)

其中r(ω)是緩增隨機(jī)變量．

證將(12)式與-Δv在L2(Rn)中作內(nèi)積可得

(44)

首先我們對(44)等式右邊進(jìn)行逐項估計．

考慮第一項， 根據(jù)條件(2)-(5)， 利用Young不等式， Holder不等式和Cauchy-Schwarz不等式可得

考慮第二項，

(47)

由(44)-(47)式可知

(48)

類似引理2， 令TD(τ，ω)≥1是正常數(shù)． 當(dāng)B={B(ω)}ω∈Ω∈D時， 將(48)式在(s，τ)上積分， 其中s∈(τ-1，τ)， 我們有

(49)

將(49)式對s在(τ-1，τ)上積分可得

(50)

在(50)式中用θ2， -τω替代ω， 用?2， -τg替代g， 類似引理1中做法， 結(jié)合(26)和(50)式可得

(51)

結(jié)合引理1和引理2可知， 對任意的t≥TD(τ，ω)≥1， 有

(52)

注意到a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)，a(x)>0， 故r2(ω)是緩增的， 容易證明r(ω)是緩增的， 由此引理得證．

證令v1和v2是方程(12)-(13)的兩個解， 令w(t)=v1(t)-v2(t)， 則w(τ)=v1， τ(x)-v2， τ(x)， 且w(τ)滿足

(53)

將(53)式與w(t)在Rn上做內(nèi)積， 我們得到

(54)

由條件(2)-(5)可得

(55)

(56)

(57)

結(jié)合(53)-(57)式可知

(58)

故有

(59)

舍去不等式右邊第一項， 并運(yùn)用Gronwall引理

(60)

由此， 引理得證．

(61)

證令ρ為一個光滑函數(shù)， 且對于任意的s∈R+， 有0≤ρ(s)≤1， 且滿足

(62)

(63)

接下來對(63)式采取逐項估計

(64)

對于非線性項， 可得

(65)

對(63)式中的最后一項，

(66)

綜合(63)-(66)式， 可得

(67)

對(67)式在(τ-t，τ)上運(yùn)用Gronwall引理， 并用θ2， -τω替代ω， 用?2， -τg替代g， 我們得到當(dāng)τ∈R，t≥0且ω∈Ω時， 有

(68)

現(xiàn)對(68)式中不等式右邊進(jìn)行逐項估計． 首先由(30)式得到， 對任意的ε>0， 存在T1=T1(τ，ω，D，ε)≥1， 使得對所有的t≥T1， 滿足

(69)

用s替代τ， 其中τ-t

(70)

(71)

用τ-t替代T， 由(33)式可知， 對任意的t≥T3和k≥R2， 存在T3=T3(τ，ω，D，ε)>T1和R2=R2(τ，ω，ε)>0， 滿足

(72)

再次利用命題2， 結(jié)合(25)-(29)式， 設(shè)a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)， 對任意的t≥T4和k≥R3， 存在T4=T4(τ，ω，D，ε)>T1和R3=R3(τ，ω，ε)>0， 滿足

(73)

令T*=T*(τ，ω，D，ε)=max{T1，T2，T3，T4}，R*=R*(τ，ω，ε)=max{R1，R2，R3}， 結(jié)合(68)-(73)式可得， 對所有的t≥T*和k≥R*， 有

(74)

故有

(75)

由此， 引理得證．

4 一致吸引子的存在性

證由引理4知， 方程(1)的解關(guān)于初值Lipschitz連續(xù)， 應(yīng)用引理1，2，3，5， 即可得證明．

下面給出本文所得結(jié)論：

證由引理1、 引理5及引理6， 并應(yīng)用定理1即可得結(jié)論．