Darcy-Cahn-Hilliard系統(tǒng)的全局吸引子①

肖翔宇， 蒲志林

四川師范大學 數(shù)學科學學院， 成都 610066

Darcy-Cahn-Hilliard系統(tǒng)是對于多孔介質(zhì)或Hele-Shaw細胞中的兩相不可壓縮流體的一個經(jīng)典的擴散界面模型[1-3]， 形如

[p]=γκ， (x，t)∈?ΩT

[u·n]=0， (x，t)∈?ΩT

而在本文中所考慮的Darcy-Cahn-Hilliard系統(tǒng)是

u=-p-γφμ， (x，t)∈ΩT

(1)

(2)

φt+u·φ-εΔμ=0， (x，t)∈ΩT

(3)

(4)

其中：ΩT=Ω×(0，T)； ?ΩT=?Ω×(0，T)； ?Ω代表Ω的邊界，Ω?R2是有界區(qū)域， 具有光滑邊界；f(s)代表非線性項；ε，γ>0， 本文為了簡化， 令ε=γ=1． 方程(1)-(4)具有下列初邊值條件：

(5)

(6)

φ(·， 0)=φ0(·)，x∈Ω

(7)

其中： 向量u(x，t)代表流體速度， 標量p(x，t)代表壓力項， 標量μ(x，t)代表相場函數(shù)，φ(x，t)代表化學勢． 在方程(1)中令γ=0可得到Darcy方程[4-5]， 當方程(3)，(4)中少了u·φ時可得到Cahn-Hilliard方程[6-8]．

方程(1)-(7)是由Lee， Lowengrub和 Goodman所提出的， 其模型是Boussinesq-Hele-Shaw-Cahn-Hilliard模型[1]的特例， 將方程(1)-(7)稱為DCH(Darcy-Cahn-Hilliard)系統(tǒng)．

定義如下能量方程：

(8)

(9)

系統(tǒng)解的長時間動力學行為和正則性一直備受關注． 文獻[2]研究了一類非自治Cahn-Hilliard-Darcy系統(tǒng)解的適定性和長期動力學行為， 在H2(Ω)中， 他們建立了拉回吸引子的存在性， 證明了在時間趨于無窮時， 任意全局弱解或強解收斂于單個穩(wěn)態(tài)， 并得到了其收斂速度． 眾所周知， 耗散演化方程解的漸近行為可以用它的全局吸引子來恰當?shù)孛枋觯?在許多問題中， 初始狀態(tài)的影響因子在一段時間以后就消失了， 因此永久狀態(tài)是極其重要的．

總的來說， 在某種意義上， 全局吸引子是相空間中一個較小的子集， 它捕獲了所涉及的無限維動力學系統(tǒng)的所有重要信息， 其中包括所有的穩(wěn)態(tài)、 周期軌道和不穩(wěn)定流形． 文獻[10]對Cahn-Hilliard-Brinkman系統(tǒng)在Hs(Ω)(s=1，2，3，4)中全局吸引子的存在性以及分數(shù)維空間全局吸引子的存在性進行了證明． 本文對Darcy-Cahn-Hilliard系統(tǒng)在L2(Ω)，H1(Ω)中全局吸引子的存在性進行研究．

在本文中， 取非線性項條件為f(s)=s3-s， 所有的Lp范數(shù)都用‖·‖p表示，Hs范數(shù)用‖·‖Hs表示， 用(·， ·) 表示L2內(nèi)積．

本文將得到弱解的一些能量估計以及漸近估計； 定義半群S(t)， 通過一些漸近的能量估計以及結合半群理論、 空間嵌入定理以及緊性引理來證明L2(Ω)，H1(Ω)全局吸引子的存在性．

1 弱解的適定性

通過分部積分將方程組變形， 得到方程弱解[11]的形式

(u，q)=0， ?q∈H1(Ω)

(10)

〈φt，v〉+(μ，v)-(φ·u，v)=0， ?v∈H1(Ω)

(11)

(μ，ψ)-(φ，ψ)-(φ3-φ，ψ)=0， ?ψ∈H1(Ω)

(12)

該形式方程組也滿足方程(5)，(6)，(7)的初邊值條件

(13)

(14)

φ(·， 0)=φ0(·)，x∈Ω

(15)

定理1假設φ0∈H1(Ω)和J(φ0)≤C0， 方程組(10)-(15)存在以下形式的弱解

(p+φμ，v)=0， ?v∈H1(Ω)

(φt，q)+(μ，q)+(φ(p+φμ)，q)=0， ?q∈H1(Ω)

(μ，φ)-(φ，φ)-(f(φ)，φ)=0， ?φ∈H1(Ω)

φ∈L∞((0，T)；H1(Ω))∩L2((0，T)；H3(Ω))

μ∈L2((0，T)；H1(Ω))

當任意的t∈(0，T)， 方程組(10)-(15)滿足以下估計：

證利用伽遼金近似方法， 即用有限維逼近無限維， 對φ，p，μ構造出近似解． 我們將使用H1(Ω)的一組有限維的正交基向量{ωi}i=1，…，m， 這些基向量所張成的空間我們記為Wm， 其中我們找到

代入方程(10)-(12)可得

(pm+γφmμm，q)=0 ?q∈H1(Ω)

(16)

(17)

(18)

(19)

對方程(19)兩邊同時對時間變量t求積分， 得

因此

φm∈L∞((0，T)；H1(Ω))

um∈L2((0，T)；L2(Ω))

μm∈L2((0，T)；H1(Ω))

利用方程(4)，

故φm∈L2(0，T；H3(Ω))．

在方程(3)中內(nèi)乘?v∈H1(Ω)， 令Φ表示將標準的L2空間映射到H1空間的投射算子，

對于‖φm‖∞， 利用Gagliardo-Nirenberg不等式[12]

最后再結合Aubin-Lions引理以及勒貝格控制收斂定理[13]得證．

下面進行一些能量估計．

在方程(10)中取q=p， 在方程(11)中取v=μ， 在方程(11)中取ψ=-φt， 并將3式相加得到：

(20)

對任意的T>0， 同時對方程(20)取積分(0，t)，t∈(0，T)， 則有：

(21)

(22)

再利用方程(21)， 得到

油頁巖資源的主要用途是通過干餾生產(chǎn)頁巖油，同時還可以得到瓦斯尾氣、干餾污水、油泥、頁巖廢渣等副產(chǎn)品。為了使油頁巖資源物盡其用，真正做到“吃干榨凈”，根據(jù)各產(chǎn)品的性質(zhì)，確定了油頁巖煉油主、副產(chǎn)品的加工利用方案，在得到各種高附加值產(chǎn)品、獲得更高經(jīng)濟效益的同時，也使油頁巖資源的利用形成了循環(huán)經(jīng)濟產(chǎn)業(yè)鏈，獲得了較好的社會效益與環(huán)境效益。撫順礦業(yè)集團在油頁巖資源綜合利用方面的經(jīng)驗值得推廣與借鑒。

(23)

(24)

對方程(4)的空間變量進行求導， 得到

μ=-Δφ+3φ2φ-φ

利用范數(shù)估計以及Ladyzhenskaya不等式

我們得到

因此有

(25)

利用嵌入不等式

則有

(26)

接下來證明弱解的唯一性．

定理2假設φ0∈H1(Ω)和J(φ0)≤C0， 若函數(shù)空間Γ滿足額外的光滑性條件：

u∈L3((0，T)；L2(Ω))

μ∈L3((0，T)；H1(Ω))

證假設(φ1，p1，μ1)和(φ2，p2，μ2)是方程組(10)-(15)的兩組弱解， 令φ=φ1-φ2，u=u1-u2，p=p1-p2，μ=μ1-μ2． 我們將兩組弱解分別代入方程(10)-(12)， 再合并得到

u=-p-φ1μ-φμ2

(27)

φt+u·φ1+u2·φ=Δμ

(28)

(29)

在方程(28) 兩邊同時乘φ， 在方程(29)兩邊同時乘μ， 再對空間變量求積分， 將兩個方程相加， 并利用Ladyzhenskaya不等式以及Agmon不等式， 得

(30)

在方程(29)中乘Δφ， 對空間變量積分， 得

在方程(27)中乘u， 在方程(28)中乘μ， 在方程(29)中乘-φt， 分別同時積分并相加

(31)

因此方程(31)可變形為

(32)

由方程(30)，(31)，(32) 可得

結合定理假設條件以及Gronwall不等式[14]， 知

即φ1=φ2．

2 漸近能量估計與全局吸引子

在方程(1)，(3)，(4)中分別乘u，μ，φ， 并同時對空間變量求積分， 3個方程相加， 由分部積分得

(33)

對于等號右邊的項， 我們利用龐加萊不等式以及不等式估計有

(34)

利用2F(s)≤f(s)s， Young不等式以及方程(33)，(34)得到

通過Gronwall不等式得

‖φ‖H1≤C5

(35)

(36)

在方程(11)中令v=Δ2φ， 則有

〈φt，Δ2φ〉+(u·φ，Δ2φ)=(Δμ，Δ2φ)

利用Young不等式與Ladyzhenskaya’s不等式得

以及Agmon不等式

接著

利用(22)，(24)，(25)，(26)式以及Gronwall引理， 當t≥T+1， 得

‖φ‖H2≤C7

(37)

為了得到全局吸引子， 先介紹引理1． 首先定義半群S(t)， 即一簇作用在H1上的非線性算子

并且滿足：

S(0)=I

S(t+τ)=S(t)S(τ)

引理1[15]若S(t)有一個有界的吸收集B1， 并且這個吸收集B1在H1(Ω)是相對緊的， 則S(t)存在全局吸引子Λ．

定理3假設u0∈H1(Ω)， 在L2(Ω)，H1(Ω)中， 方程組(10)-(15)存在全局吸引子Λ0，Λ1．

證令

由方程(35)以及方程(37)知， 對S(t)來說， 在L2(Ω)中，B0是一個有界的吸收集， 在H1(Ω)中B1是一個有界的(H1，H1)吸收集． 再由引理1 和緊性嵌入定理知H1L2，H2H1， 得到在L2(Ω)，H1(Ω)中， 方程組(10)-(15)分別存在全局吸引子Λ0，Λ1．