理論/實踐相融合的有限元課程教學改革與實踐

楊旭鋒，劉永壽

（1. 西南交通大學 機械工程學院，四川 成都；2. 西北工業大學 力學與土木建筑，陜西 西安）

一 引言

有限元法是一種求解連續復雜結構響應的數值計算方法，其廣泛應用在航空航天、土木工程、軌道車輛、水利工程、生物力學、醫療機械等多個領域[1-2]。目前我國工業領域的大型企業，都已將計算機輔助分析（CAE）仿真分析作為結構設計人員的必備技能，強度校核也早已成為設計人員開展設計的必經階段。工業4.0 時代，頻繁提到的高精尖技術如“數字孿生”“在線監測”“故障診斷”“剩余壽命評估”“輕量化設計”“可靠性設計”等，無一不以有限元法為基礎[3-4]。目前，我國大部分高等院校的土木、機械、力學等專業，都已將有限元法作為本科生的專業必修課[5-6]。有限元法也承載著助力學生將已有的數力學知識融會貫通并解決復雜工程問題的使命[7]。

二 問題描述

西南交通大學機械工程學院作為一家具有濃郁交通特色的工科類院校，考慮到有限元法在軌道交通、汽車、工程機械、工業機器人、機床等領域的廣泛應用，為本科生開設了《有限元法及應用》的課程。目前該課程學時數目為32，為本科生專業必修課。考慮到學時數目的限制，在開設之初，側重于有限元基礎理論的講解。這門課為學生講解了四方面內容[8]：桁架和鋼架有限元分析、彈性力學基礎知識、連續體有限元分析和等參單元。理論內容綜合涉及了大學的多個數學力學知識，例如多元函數的偏微分方程、矩陣論、數值計算方法、材料力學、彈性力學等。部分內容涉及到研究生才學到的數學知識，如基于Lagrange 基函數構造復雜單元的形函數、高斯數值積分、基于最小二乘理論進行應力磨平等。涉及面廣，內容晦澀難懂。單純數學公式的推導、復雜理論的講解，學生不免感到味同嚼蠟、學習興趣難以調動。同時，重理論、輕應用的教學模式，降低了學生利用數學知識解決實際工程問題的能力。

三 教學改革實踐

為了提升課程的教學質量，更好地培養本科生利用數學知識，分析和解決實際問題的能力，本文基于作者在《有限元法及應用》教學中的經驗，開展了一系列的有限元課程教改探索。

在理論講解的同時，輔助以計算機模擬，可以幫助學生理解艱深的數學知識、增強學生解決實際問題的能力。為此，課程團隊針對課程的幾大塊內容，設計合理的計算機模擬實驗，充分將有限元計算機模擬融入到有限元理論教學中。同時，對原有教學內容進行了精煉，探索了線上/ 線下混合教學在課程教學中的應用，并引入“學為中心”的先進教學模式，最大限度激發學生的學習興趣、提高學生的接受程度。

（一） 教學內容的精煉

由于本門課程只有32 學時，為了增加對學生利用仿真軟件解決工程問題能力的培養，需要對原有的教學內容進行壓縮。壓縮的基本原則是，在保留有限元理論全貌的前提下，刪減細枝末節的知識點。以此原則為指導，對教學內容進行了精煉，結果見表1。（1）新的教學內容基本刪除或弱化了三維空間問題的知識點，重在講解簡單的二維平面問題；而空間問題重在二維向三維的規律性推演。（2）新的教學內容刪除或弱化了彈性力學基礎知識和等參單元，因其涉及的數學知識太過艱深，且與工程應用偏離較大。（3）保留的內容基本涵蓋了有限元中的矩陣運算、單元剛度矩陣組裝等關鍵特點，學生通過精簡知識的學習，仍然能夠理解有限元法的求解過程，仍然能夠利用數學知識完成簡單平面問題的解題。

表1 教學內容的精煉

（二） 理論驗證

通過理論的學習，學生應當對有限元分析的基本概念、建模、求解有充分的認識。但是，這些內容涉及矩陣分析，公式推導仍然很多。僅僅依靠教師一言堂式的講解，難以觸及有限元分析的本質。為此，基于Matlab，設計完整的桁架、鋼架有限元、平面應力問題的數值模擬實驗，對理論知識進行驗證。Matlab 是專門針對矩陣運算而開發的軟件，具有強大的矩陣運算功能。因此，非常適合有限元理論的輔助學習。

對于桿系結構，從單元剛度矩陣的建立、方向余弦矩陣的建立、矩陣的分塊到總體剛度矩陣的組裝、求逆、內力和應力的求解、分析結果的可視化等一套完整的流程，全部采用Matlab 實現，一步一步給出有限元分析的結果。從而讓學生徹底掌握桿系結構有限元分析的基本流程。對于平面應力問題，編寫Matlab 程序，展示三角形單元和四邊形單元的劃分、節點和單元的存儲、應力位移和應變三者的相互關系、單元剛度矩陣的建立（積分方式推導）、總體剛度矩陣的組裝、求逆、位移和應力的求解、主應力和主方向的求解、分析結果的可視化等關鍵步驟，每一步都將結果呈現出來，從而讓學生徹底掌握連續體有限元分析的基本流程。

（三） 基于Ansys 的有限元模擬

Matlab 只適用于演示簡單的有限元算例，對于理論的深入理解有幫助。但是，對于解決復雜工程問題卻顯得力不從心。為此，在本課程教學過程中，作者設計了多個基于Ansys 軟件的工程問題求解案例，從而加強學生對專業有限元分析軟件的學習。

本門課在原有理論內容的基礎上，增設了Ansys 軟件的講解的內容，共計12 節。這些內容包括Ansys 軟件前處理、求解和后處理，以及多個工程案例講解。表2 給出了Ansys 軟件入門的講解內容與課時安排。在工程案例中，精選了空間鋼架、桁架結構、板殼結構、連續體結構、接觸非線性結構靜強度分析等，如圖1 所示。這些案例，重在讓學生掌握結構化網格的剖分、載荷與邊界條件的施加、不同類型結構單元的選擇與結果處理等內容。

表2 基于Ansys 的有限元模擬教學內容

圖1 基于Ansys 的有限元模擬的工程案例

（四） 線上/線下的有機融合

由于本門課程只有32 學時，時間很短。課程內容講完，所余課時較短，難以集中給出上機時間，讓學生完成所有案例。因此，作者嘗試了線上/線下教學模式的融合。受本次疫情期間的線上教學的啟發，錄制了上述計算機模擬教學的視頻，視頻經壓縮后，上傳至百度云平臺。而后組織和管理學生利用課余時間開展線上視頻學習，并根據視頻中的操作流程，動手實現上述案例，并形成報告。

線下教學，進行計算機模擬關鍵步驟的講解和學生所遇問題的答疑。同時為增強學生的學習興趣，引入了“學為中心”的先進教學模式。將學生分為多個小組，進行分組合作性學習。每個小組重點學習單個計算機模擬實驗，按照線上視頻預先學習的操作步驟，開展翻轉課堂教學，課上由各個小組的推薦人員進行有限元模擬實驗的操作演示教學。以此方式，既可以提高上課效率，又可以提高學生的參與度。

（五） 綜合評價機制

由于教學內容的改進，針對本課程的評價方法也應當相應改變。課程團隊研究了“線上+線下”“平時成績+ 期末成績”的雙重評價機制。其中平時成績占比50%，期末考試50%。為考核學生對Ansys 軟件的掌握情況，將學生利用課余時間對教學案例的實現情況進行考核。同時布置了案例庫中未涉及的例子，作為平時作業。二者一起作為平時成績的考核內容。為防止學生抄襲，特將有限元分析的各項輸入參數（載荷、彈性模量、關鍵幾何尺寸）與學生本人學號掛鉤，以保證每名學生都有單獨的題目。

四 結語

經過一系列的改革，學生的學習興趣明顯提高，多數學生能夠在興趣的驅動下積極完成平時作業，學生的掛科率也在降低。從期末學生的教學評價結果來看，學生對本門課的滿意度相較往年也有顯著提高。從大四學生畢業后的反饋來看，多數學生表示本門課對其完成畢業設計——解決實際的工程問題，有較大幫助。盡管取得了一定成果，課程團隊仍會在日后的教學活動中，積極總結、不斷聆聽、持續改進，從而使該門課不斷適應時代的發展。