一類具有l(wèi)ogistic源的高維Keller-Segel模型的爆破

劉夢(mèng)琦， 李嘉文， 韓永杰

(西華大學(xué)理學(xué)院， 成都 610039)

其中χ>0，λ≥0，μ≥0，k>1，證得當(dāng)n≥5時(shí)若則問題解在有限時(shí)間爆破. 這表明在高維情況下即便有 logistic源的存在也不能排除爆破的發(fā)生.

1 引 言

趨化是環(huán)境中化學(xué)物質(zhì)影響物種運(yùn)動(dòng)的一種生物現(xiàn)象，可以驅(qū)動(dòng)細(xì)菌的定向運(yùn)動(dòng)或部分定向運(yùn)動(dòng)，也是細(xì)胞遷移的重要手段之一[1-3].1970年，Keller和Segel[4,5]根據(jù)這種運(yùn)動(dòng)提出了如下模型:

(1)

考慮到很多情況下化學(xué)物質(zhì)的擴(kuò)散速度要比細(xì)胞擴(kuò)散速度快得多，方程組(1)可簡(jiǎn)化為如下拋物-橢圓模型:

(2)

(ii)如果

|?v(xj,tj)|→∞，其中(xj,tj)→

(x0,T),j≥0}，

r∈(0,R)

(3)

令Ω=Rn，μ=0，u0為徑向?qū)ΨQ的非負(fù)函數(shù).關(guān)于方程組(2)的柯西問題有，如下結(jié)果[12,13]:

由細(xì)胞動(dòng)力學(xué)理論，在大時(shí)間情況下細(xì)胞的增殖與死亡也應(yīng)該被考慮.因此我們有如下的具有l(wèi)ogistic增長(zhǎng)項(xiàng)的模型:

其中f(u)=λu-μuk，λ≥0，μ≥0，χ>0，k>1， Ω?Rn(n≥1)是具有光滑邊界的有界區(qū)域.關(guān)于方程組(4)的齊次Neumann初邊值問題的主要結(jié)果如下:

(i) 如果n=2，k≥1，初始時(shí)刻質(zhì)量大于8π，則方程組的解在有限時(shí)間爆破[14];

如果將第二個(gè)方程變?yōu)関t=Δv-uv，k=2，則方程組存在整體有界經(jīng)典解[18].

本文研究如下模型:

(5)

t∈[0,Tmax)，

這里w(s,t)相當(dāng)于一種質(zhì)量的轉(zhuǎn)換.這種方法基于ODI分析[20]，該方法已經(jīng)被證明可以用于有限時(shí)間爆破的證明[16,17]. 為了后面方便計(jì)算，記

(6)

本文主要結(jié)果如下：

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 解的局部存在性、正性

(7)

引理2.2方程組(5)的解(u,v)對(duì)所有t∈(0,Tmax)滿足u(x,t)>0，v(x,t)>0.

證明 令截?cái)嗪瘮?shù)ξ∈C∞(R)，

因?v∈L∞((0,Tmax);Lq(Rn))，由Gagliardo-Nirenberg不等式和H?lder不等式可知，存在C1>0和C2>0使得

由截?cái)嗪瘮?shù)的定義可知，存在C3>0和C4>0滿足

定義

則yR(t)滿足

對(duì)于p∈(1,∞),有

根據(jù)引理2.1，當(dāng)R→∞時(shí)有

因此，對(duì)任意的t∈(0,Tmax)，當(dāng)R→∞時(shí)有yR(t)→0. 再根據(jù)強(qiáng)極值原理可知u為正. 又因?yàn)?/p>

所以可以直接得到v>0.證畢.

引理2.3假設(shè)λ≥0，μ≥0，對(duì)任意t∈(0,Tmax)，則m(t)≤m0eλt.

證明 由H?lder不等式和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式可知，存在常數(shù)A>0滿足

‖u(·,t)?v(·,t)‖L1(Rn)≤

‖u(·,t)‖L2n/n+1(Rn)·‖?v(·,t)‖L2n/n-1(Rn)≤

根據(jù)引理2.1，當(dāng)R→∞時(shí)有

引用引理2.2中的截?cái)嗪瘮?shù)ζ(x)，由方程組(5)中第一個(gè)方程可知

所以存在常數(shù)c1,c2>0滿足

由常數(shù)變易法可知

c2‖u(·,t)?v(·,t)‖L1(BR+1BR))ds.

再由引理2.1可知u∈C0([0,Tmax);L1(Rn)∩Lκ(Rn)).令R→∞，得

2.2 方程組到單個(gè)拋物方程的轉(zhuǎn)換

設(shè)u0∈C1(Rn)是徑向?qū)ΨQ的.由引理2.1知解(u,v)是徑向解. 令u=u(r,t)，v=v(r,t)，r=|x|∈[0,∞). 對(duì)任意t∈(0,Tmax)，有

受文獻(xiàn)[19]的啟發(fā)，引入

t∈[0,Tmax)

(8)

則

因u非負(fù), 所以ws(s,t)>0在(0,∞)×[0,∞)上，且存在η>1，t∈[0,Tmax)，s∈[0,∞)使得

w(s,t)≤m(t)η

(9)

根據(jù)方程組(5)第二個(gè)方程有

結(jié)合方程組(5)第一個(gè)方程可得

其中f(u)=λu-μuk.從而w滿足如下單個(gè)拋物方程：

s∈(0,∞),t∈[0,Tmax).

所以，

(11)

3 解的懪破

引理3.1假設(shè)λ≥0，μ≥0，n>2，u0(x)是徑向的，(u,v)為模型(5)在Rn×(0,Tmax)上的解.則對(duì)任意α>1，p∈(0,1)，t∈(0,Tmax)有

(12)

其中w0為(11)式中所定義.

證明 將(10)式的第一個(gè)不等式兩邊同乘以e-s(s+ε)-αwp-1(ε>0)，然后在(0,∞)上積分可得

I1+I2+I3,s∈(0,∞).

對(duì)I1分部積分，有

根據(jù)引理2.2可知u>0.所以

又因?yàn)?/p>

所以

由分部積分可知

根據(jù)上述分析得到

對(duì)t∈(0,Tmax)成立. 由單調(diào)收斂定理，當(dāng)ε→0時(shí)(12)式成立.

其中w∈C1(0,∞),

證明 根據(jù)Fubini定理有

因α>1，p∈(0,1)，故

對(duì)任意ε>0，應(yīng)用Young不等式可知C1>0滿足

綜上，結(jié)合引理3.1我們可以找到合適的α>1，p∈(0,1)，使得所需積分不等式成立.證畢.

CeΛtt， ∈(0,Tmax)，

其中的w0(s)由(11)式給出.

p∈[0,1]，α≥1

(13)

滿足

根據(jù)連續(xù)性可知，存在α0>1，p0∈(0,1)，使得對(duì)任意p∈[p0,1)，α∈(1,α0]有

g(p,α)≥0

(14)

(15)

由引理3.1可知

J1+J2+J3+J4-J5-J6，

其中

由Young不等式，存在C2>0滿足

及C3>0滿足

所以有

這里的g(p,α)為(13)式所定義.由(14)式可知g(p,α)≥0.由(9)式和引理2.3可知

w(s,τ)≤ηm(τ)≤ηm0eλτ，s∈(0,∞)，

τ∈(0,Tmax).

從而可以找到常數(shù)C6>0滿足

t∈(0,Tmax).

綜上，取Λ=λg(p,α)，則存在C>0滿足

其中

因1-α+p>0，所以有

t∈(0,Tmax).

引理得證.

為了更好地運(yùn)用引理3.3中的積分不等式, 我們首先陳述下面的Gronwall引理：

引理3.4[10]令α>0，δ>0，β>0. 若對(duì)某個(gè)T>0，使得非負(fù)函數(shù)y∈C0[0,T]對(duì)所有的t∈(0,T)滿足

(16)

由引理3.3, 對(duì)任意的t∈(0,Tmax)有

且

所以有

令

則φε(s)是非負(fù)函數(shù)，且當(dāng)ε→0時(shí)φε(s)→m0η對(duì)所有的s∈[0,1]成立. 因

綜上，有

令