基于顯式模型預測控制的輪轂驅動電動車垂向振動研究

李仲興， 李忠遠， 劉晨來

(江蘇大學 汽車與交通工程學院， 江蘇 鎮江 212013)

環境和能源問題已成為國際社會廣為關注的主題，電動汽車作為一種環境友好和低碳經濟的交通工具應運而生。輪轂驅動電動車具有結構緊湊、傳動效率高和動力可控等優點，已成為研究的熱點領域[1]；但由于其采用分布式的布置方式，造成非簧載質量增加，影響了車輛的行駛平順性和操縱穩定性。

針對以上問題，國內外學者在懸架控制及阻尼調節方面展開研究并取得一系列成果。鐘銀輝等[2]探究了開關磁阻電機激勵對車輛性能的影響，并基于FxLMS算法進一步實現對主動懸架的控制，抑制了振動負效應；汪若塵等[3]提出了一種集成電磁懸架的懸置式新結構，并采用天棚控制策略進行分析，驗證了所提新結構以及控制方法的可行性；李哲等[4]構建不平衡徑向力建立懸架耦合模型，并提出基于多目標粒子群算法的電磁主動懸架優化設計方法，通過對控制器參數的優化設計，有效削弱振動負效應；李佩琳等[5]提出一種考慮時滯的主動懸架H∞控制策略，實現了對帶有時滯主動懸架系統的有效控制；Wang等[6]設計了一種有限頻率狀態反饋H∞控制器，實現了對目標頻率范圍的干擾抑制；Ibrahim等[7]提出基于模糊控制和H∞控制的主動懸架控制策略，并通過仿真試驗驗證了所提方法的有效性；Luo等[8]基于音圈電機作為作動器，構建主動懸架系統，提出了一種串級控制方法，試驗表明主動懸架性能得到明顯改善。

綜上所述，目前對輪轂驅動電動車的研究主要集中考慮懸架和輪轂電機兩方面因素，對輪胎的考慮較少，并且控制方法多為在線計算，計算耗時較長。據此本文提出一種顯式模型預測控制(explicit model predictive control, EMPC)策略，建立1/4輪轂電機與空氣懸架(hub motor-air suspension, HM-AS)系統模型,考慮輪胎內部垂向力，EMPC采用離線計算、在線查找的方式，并基于多參數二次規劃理論構建顯式多面體分段仿射系統，綜合考慮時域和頻域兩方面因素，降低車身垂向加速度、輪胎動載荷和輪轂電機偏心距，有效抑制振動負效應，改善車輛的行駛平順性、操縱穩定性和電機性能。

1 1/4 HM-AS系統模型

1.1 不平衡電磁力模型

本文輪轂電機選用外轉子永磁無刷直流電機。輪轂電機的氣隙磁場包括永磁體磁場和電樞反應磁場。在極坐標系下，分別計算永磁體、電樞反應磁場，并采用線性疊加法，將上述兩者相加，得到輪轂電機偏心狀態下徑向氣隙磁場和切向氣隙磁場[9]

Ber(r,α,t)=[Bmr(r,α,t)+Bar(r,α,t)]εδ

(1)

Bet(r,α,t)=[Bmt(r,α,t)+Bat(r,α,t)]εδ

(2)

式中，Bmr和Bar為非偏心時永磁體和電樞繞組的徑向磁場；Bmt和Bat為非偏心時永磁體和電樞繞組的切向磁場；r為極坐標系極徑；α為極坐標系極角；εδ為偏心時磁導修正系數。

偏心時磁導修正系數εδ為

α+φ)

(3)

其中，

式中：e為輪轂電機偏心距；δ0為實際氣隙長度；μr為相對回復磁導率；hm為永磁體厚度。

輪轂電機工作時，定轉子之間產生偏心，進一步產生垂向不平衡電磁力Fez為

2[Ber(r,α,t)·Bet(r,α,t)]cosα}dα

(4)

1.2 剛性環輪胎模型

本文考慮垂向振動，建立剛性環輪胎模型。從文獻[10]中可以得知，不考慮輪胎胎體形變時，輪胎帶束運動可視為剛體運動，因此可以將輪胎胎體部分視為剛性環。輪轂電機與車輪通過螺栓固定連接，且輪轂電機外轉子與車輪同步運動。從圖1可以看出，剛性環輪胎模型在垂向上簡化為車輪、環形彈簧和減振器，并引入接地彈簧來表示輪胎形變，計算輪胎與地面在垂直方向上的垂向力[11]。圖1中：mt為輪胎質量；mms為定子質量；mw_mr為車輪與轉子質量；kbeaz為垂向軸承剛度；kt_rd為輪胎徑向剛度；ct_rd為輪胎徑向阻尼；kcz為輪胎殘余剛度。

圖1 剛性環輪胎模型與BLDC模型結構Fig.1 Structure of rigid ring tire model and BLDC model

1.3 四質量系統模型

HM-AS系統結構組成如圖2所示：包括輪轂電機、空氣懸架和輪胎。以輪轂電機氣隙為分界面，將輪轂電機分為內定子與外轉子，結合剛性環輪胎模型、空氣懸架模型并引入由電磁作動器產生的主動力，將傳統1/4車輛二自由度振動模型轉化為1/4車輛四自由度振動模型，其垂向振動模型如圖3所示，振動微分方程為

(5)

圖2 輪轂電機與空氣懸架結構Fig.2 Structure of hub motor and air suspension

圖3 四質量系統模型Fig.3 Four mass system model

其中，

式中：ms為簧載質量；zs、zt、zms、zw_mr分別為簧載質量、定子質量、車輪與轉子質量、輪胎質量垂向位移；q為路面激勵；g為重力加速度；Ae為空氣彈簧有效面積；k為多變系數；pa為大氣壓強；p0為空氣彈簧初始氣壓；fd為懸架動行程；V0為空氣彈簧初始體積；cs為減振器阻尼系數；Fspr為空氣彈簧力；Fdam為阻尼力；Fbeaz為電機垂向軸承力；Fs為主動力；Ft輪胎內部垂向力。

1.4 路面模型

本文采用隨機路面作為激勵，路面功率譜密度的冪函數表達式[12]為

(6)

式中：n為空間頻率；n0為參考空間頻率；Gq(n0)為路面不平度系數。

建立基于濾波白噪聲的時域隨機路面模型，其表達式為

(7)

式中：n00為路面空間截至頻率；w(t)為白噪聲激勵；v為車速。

本文以B級路面為例，即路面不平度系數Gq(n0)=64×10-6m3，車速v=30 km/h，隨機路面輸入下的車輪垂向位移如圖4所示。

圖4 隨機路面輸入下的車輪垂向位移Fig.4 Wheel vertical displacement under random road input

2 HM-AS系統顯式模型預測控制

2.1 MPC控制器設計

MPC的控制思想是明確使用系統預測模型來預測系統未來時刻的輸出，在每個采樣時刻，MPC通過有限時域內的滾動優化使性能指標最小，在線計算獲得最優控制序列，并將第一個控制量作用于系統，同時在下一時刻根據系統輸出和預測之間的誤差校正未來輸出。根據式(5)中所示的振動微分方程，系統的狀態空間可以寫為

(8)

矩陣A、B進一步計算為

系統輸出定義車身垂向加速度、懸架動行程、輪轂電機偏心距和輪胎動載荷為

(9)

同樣，矩陣C、D進一步計算為

由于MPC用于解決離散時域內的最優問題，因此對式(8)進行離散化處理，進一步以狀態空間的形式獲得滿足MPC控制器設計要求的離散時間模型為

(10)

其中，

式中：Ts為離散時域步長；τ為積分時間常數。

MPC控制器的設計目標是找到最優控制率u(k)，以主動力約束和動力學方程為基礎，在行駛平順性、操縱穩定性和電機使用壽命方面優化車輛主動懸架和電機的性能。本研究考慮懸架動行程約束|fd|≤0.05 m，同時考慮主動力約束|Fs|≤5 000 N，選擇最優預測時域Np、最優控制時域Nu0、R=RT>0，定義二次成本函數為

(11)

式中：NP為預測時域；Nm為控制時域；Q為目標權重矩陣；R為輸入權重；yref為目標參考軌跡，在本研究中表示車身垂向加速度、懸架動行程、輪轂電機偏心距和輪胎動載荷參考值。

然后，采用滾動時域優化策略，得到車輛主動懸架系統MPC的控制律：

(1) 在k時刻獲得系統狀態xk；

(2) 利用混合整數規劃理論求解下列二次問題；

(12)

(3) 將計算出的第一個控制量作用于系統優化問題；

(4) 將預測時域向前移動一步，在k+1時刻重復以上過程。

2.2 EMPC控制器設計

Bemporad[13]提出在模型預測控制中引入多參數二次規劃理論(multi-parametric quadratic program, MPQP)，將隱式MPC過渡到EMPC。EMPC引入多參數二次規劃理論，對系統的狀態區域進行凸劃分，離線求解每個狀態分區上的線性狀態反饋最優控制律，并得到顯式多面體分段仿射(polyhedral piece-wise affine, PPWA)系統[14]。EMPC在線實時控制時，根據系統狀態值查找所在多面體分區，接著調用對應的顯式線性控制律得到最優控制律，由于無需反復在線優化，相比隱式MPC，效率明顯提高[15-18]。

圖5所示為本文所提基于EMPC控制理論的HM-AS系統控制框圖，實線代表離線求解過程，虛線代表在線控制過程。EMPC控制策略分為三部分，首先根據動力學理論，建立預測時域內的目標函數及約束條件，將對提升行駛平順性、操縱穩定性和電機性能的問題轉換為求解最優主動力的問題，然后采用EMPC控制方法，運用MPQP理論，離線求解并得到多面體分段仿射系統，接著通過顯式控制律求得每個狀態分區上的最優控制向量，最后通過在線查找狀態定位分區，確定對應分區最優控制向量，進而有效控制HM-AS系統的垂向振動。

圖5 EMPC HM-AS系統控制框圖Fig.5 EMPC HM-AS system control block diagram

當給定狀態變量x(k)時，在每個采樣時刻，隱式MPC在線求解二次規劃(quadratic programming, QP)問題，而EMPC離線求解給定x(j)中所有x(k)值的QP。隱式MPC和EMPC的解是等價的，因此EMPC保留了MPC解的特性。由式(13)導出MPC的解可以用分段仿射函數的形式得到，表示為

(13)

式中：x(k)為狀態變量；矩陣Fi和向量gi分別為固定反饋增益和位移常數。

當前狀態x(k)為每個多面體x(j)的一部分，并且這些集合組成狀態空間中的多面體分區，即x(j)=X1,X2…XN。多面體集x(j)用半空間的交點表示為

x(j)={x(k)∈Rn|S1x≤S2}

(14)

利用MPQP理論對EMPC離線計算實現狀態變量凸劃分，經過MATLAB求解，得到117個凸參數分區。圖6為參數分區截面圖及其局部放大圖，其中圖6(a)為在其它維度參數值為零時，狀態變量車輪與轉子垂向速度、車輪與轉子垂向位移兩個維度的截面圖，圖6 (b) 為其它維度參數值為零時，狀態變量車輪與轉子垂向速度、車身垂向速度兩個維度的截面圖，圖6(c) 為其它維度參數值為零時，狀態變量車輪與轉子垂向位移、車身垂向位移兩個維度的截面圖。由圖6可以看出截面分區關于原點對稱，且多面體在零附近區域相對比較集中，滿足控制要求。

圖6 參數分區截面圖Fig.6 Parameter partition sections

經過上述求解，得到狀態參數的所有分區，以及對應分區上最優控制量與初始狀態的顯式函數關系，建立顯式多面體PPWA系統，通過在線搜索，進一步快速有效的根據當前定位分區和PPWA系統實現系統最優控制。

3 仿真結果分析

為評價HM-AS系統的控制性能，將本文所提EMPC控制方法與被動懸架、運用天棚控制策略的主動懸架進行對比，由于系統中引入了輪轂電機，其高頻振動會影響系統的振動特性，因此，選取車身垂向加速度、輪胎動載荷和輪轂電機偏心距作為評價指標，并通過仿真試驗驗證所提EMPC控制方法的有效性。在EMPC控制器中將預測時域設置為10，控制時域設置為2，采樣時刻設置為0.05 s，通過對不同加權參數的EMPC控制器進行反復性能比較，得到了滿意的控制效果。

3.1 時域分析

分別對車身垂向加速度、輪胎動載荷和輪轂電機偏心距進行分析，仿真結果如圖7所示。HM-AS系統性能均方根值對比，如表1所示。

(a) 車身垂向加速度

(b) 輪胎動載荷

(c) 輪轂電機偏心距圖7 EMPC控制效果對比Fig.7 EMPC control effect comparison

表1 HM-AS系統性能均方根值對比Tab.1 Comparison of root mean square values of HM-AS system performance

從圖7和表1中可知，HM-AS系統通過顯式模型預測控制，降低了車身垂向加速度、輪胎動載荷和輪轂電機偏心距的RMS值，相較于被動懸架分別降低了28.02%、27.85%和23.44% ，相較于運用天棚控制策略的主動懸架分別降低了16.50%、20.09%和18.46%。因此，所提EMPC控制方法改善了車輛行駛平順性、操縱穩定性和輪轂電機性能，驗證了所提控制方法的有效性。

3.2 頻域分析

為進一步驗證所提EMPC控制方法的性能，通過仿真試驗對車身垂向加速度、輪胎動載荷和輪轂電機偏心距進行頻域分析，仿真結果如圖8所示。

(a) 車身垂向加速度頻域響應

(b) 輪胎動載荷頻域響應

(c) 輪轂電機偏心距頻域響應圖8 EMPC控制效果功率譜密度對比Fig.8 Comparison of power spectral density of EMPC

從圖8中可知，采用本文所提EMPC控制方法的HM-AS系統，車身垂向加速度和輪轂電機偏心距功率譜密度在低高頻均低于被動懸架和運用天棚控制策略的主動懸架的功率譜密度，能夠有效改善車身垂向加速度和輪轂電機偏心距，明顯提升行駛舒適性、平順性和輪轂電機性能；輪胎動載荷功率譜密度在中低頻均低于被動懸架和運用天棚控制策略的主動懸架的功率譜密度，在一定程度上提升了操縱穩定性。驗證了所提EMPC控制方法的有效性。

4 結 論

本文分析輪轂電機、空氣懸架和車輪間的作用機理，建立了四自由度HM-AS系統模型?；诙鄥刀我巹澙碚摚愿纳栖嚿泶瓜蚣铀俣?、輪胎動載荷和輪轂電機偏心距為目標，提出一種基于系統模型的主動懸架EMPC控制策略，將MPC反復在線計算的閉環系統轉化為對應的PPWA系統，離散計算獲得車身垂向速度、車身垂向位移等狀態變量間的最優控制律，并依據分區的顯式最優控制律實現HM-AS系統的最優控制，顯著提升了HM-AS系統的實時性。通過仿真分析，所提出的顯式模型預測控制方法顯著提升了車輛主動懸架的性能：在時域內，有效減小車身垂向加速度、降低車輪動載荷和輪轂電機偏心距；在頻域內，有效降低車身垂向加速度、車輪動載荷和輪轂電機偏心距的功率譜密度，充分改善了車輛行駛平順性、操縱穩定性和輪轂電機性能，仿真分析驗證了所提EMPC控制方法的有效性。