動作電位動態變化對螺旋波演化行為的影響*

關富榮 李成乾 鄧敏藝?

1) (廣西師范大學物理科學與技術學院,桂林 541004)

2) (廣西核物理與核技術重點實驗室,桂林 541004)

1 引言

螺旋波是非線性時空系統遠離熱力學平衡態下自組織形成的波斑圖[1],它廣泛存在于物理[2]、化學[3]、生物系統[4]中,研究表明:生物系統中的螺旋波對生物的功能有著重要影響,如大腦皮層中出現的螺旋波在介觀尺度上能組織和調節神經元的集體活動,既有助于皮層中神經元的正常信息處理,也能誘發癲癇病理性活動斑圖[5].在老化的心臟中,螺旋波可自發地出現,但由于螺旋波是自維持波,其頻率高于竇房結的起搏頻率,因此當心臟組織中出現螺旋波時會導致心動過速,而螺旋波破碎成時空混沌將導致心顫,危及生命[6].大量研究表明,螺旋波是引起人類心房顫動[7,8]、心室顫動[9,10]等復雜心律失常的原因之一,由于存在潛在應用價值,心臟等可激發介質中螺旋波的動力學[11]、螺旋波的產生及其控制[12-14]已成為斑圖動力學研究的熱點問題.

心臟是典型的可激發系統,在進行體力活動時,心臟的跳動頻率高于正常頻率,此時心臟收縮和舒張的相對持續時間隨之調整,以確保心室血液的充盈和正常循環.如果心跳頻率增加而收縮期沒有改變,會導致舒張期不呈比例減少,意味著下一次收縮前心室血液不充盈,結果使動作電位持續時間減少,原因是所有的離子過程還未完全恢復到靜息態,減少的跨膜電流會導致第二個動作電位的持續時間比第一個動作電位短[15].心肌細胞的動作電位時長(action potential duration,APD)隨上一個周期的靜息時間長度(也稱舒張間隔,diastolic duration,DI)變化關系(曲線)通常稱為APD 恢復關系(曲線)[16-19],當舒張間隔很長時對應的動作電位時長本文稱為穩態動作電位時長(即穩態APD).由于動作電位時長恢復曲線的變化在生物體的正常節律調節中起著有重要作用,它與心律失常、螺旋波破碎機制的關系受到了研究者的極大關注[20-29].實驗和理論研究發現,APD 恢復曲線傾斜度的不均勻分布對心律失常、螺旋波失穩起著重要作用[20-23],陡峭的APD 恢復曲線容易引起室顫[24,25],通過藥物平緩APD 恢復曲線的斜率能達到緩解心律失常的治療效果[25,26];傾斜度大于1 的APD 恢復曲線使得細胞動作電位在高頻刺激下容易誘發出持續的APD 長短交替,這時很小的舒張間隔變化都會導致APD 的劇烈變化,進而引起細胞不應期的變化[27,28],還會導致螺旋波破碎[29].

2005 年,Clayton 和Taggart[30]發現斜率大于1 的APD 恢復曲線不是引發螺旋波破碎的必要條件,空間上具有兩個恢復曲線斜率都小于1 的區域且這兩個區內元胞連續兩次激發產生的APD 差別很大時也會導致螺旋波破碎;2006 年,Nash 等[31]測量了14 名患者的整個心室外膜組織上256 個點的動作電位恢復曲線斜率,觀察到動作電位恢復曲線斜率分布極不均勻,其中54%的記錄點處的斜率分布在[0,1)范圍內,20%的記錄點的斜率分布在[1,1.5)范圍內,約11%的記錄點的斜率分布在[1.5,2)范圍內,其余記錄點斜率分布在[2,4.1]范圍內,他們還通過數值模擬觀察到螺旋波在恢復曲線斜率大于1 情況下既可能破碎、也可能不破碎,但是未能解釋其原因.從上述研究可以看出,APD恢復曲線的傾斜度對螺旋波演化行為的影響尚未完全清楚,需進一步探討,而APD 恢復關系中的穩態APD 對螺旋波的影響仍缺乏研究.

元胞自動機是研究復雜系統的重要輔助手段,具有物理圖像清晰、無截斷誤差、完全的并行性等優點,在心肌組織螺旋波動力學和電生理特性建模的研究中得到廣泛應用[32-35],先后用于研究非均勻心肌組織中螺旋波自發產生和終止以及靶波到時空混沌態的轉變[32];正常和心肌缺血情況下的心電圖走勢[33,34];心房顫動的隨機產生和終止的機制[35],這些研究豐富了心肌組織中螺旋波動力學的認知并拓寬元胞自動機的應用.本文將心肌細胞APD恢復關系引入到元胞自動機模型中,研究不同傾斜程度的APD 恢復曲線和穩態APD 對螺旋波演化行為的影響,發現APD 恢復曲線斜率大于1 并不一定導致螺旋波破碎,也可使螺旋波漫游,甚至還可以使螺旋波保持穩定,對產生這些現象的物理機制做了解釋,并根據數值模擬結果提出消除螺旋波的方法.

2 考慮APD 恢復關系的元胞自動機模型

取具有500×500 個格點的二維正方形點陣,可激發心肌細胞均勻分布在這個點陣的格點上,稱為元胞,相鄰元胞間距為1.元胞在正方形點陣上的位置用坐標 (i,j) 表示,其t時步的狀態用ui,j(t) 表示,對應心肌細胞的膜電位,采用擴展型Moore 鄰居,元胞鄰域半徑為r(即在鄰域半徑內有(2r+1)2-1個鄰居),元胞狀態總數為n+1,即元胞 (i,j) 于t時刻的狀態ui,j(t) 在集合{0,1,2,···,n(n≥2)}中取值,其中ui,j(t)=0 表示靜息態,ui,j(t)=1 表示激發態,ui,j(t)=2,3,···,n表示不應態.不同狀態之間的演化規則為

式中Mi,j代表t時步以靜息態元胞 (i,j) 為中心、半徑為r的鄰域范圍內處于激發態鄰居元胞的個數,K為元胞激發閾值,n稱為元胞的APD,初始元胞的APD 記作n0.在元胞自動機模型中引入文獻[17,31,36]給出的APD 恢復關系:

式中α就是穩態APD,α,β,γ為常數.不同DI 對應的恢復曲線斜率定義為

為了對(2)式的APD 恢復曲線有直觀印象,圖1給出了α=40 時不同β,γ下的APD 恢復曲線和斜率λ隨舒張間隔DI 的變化.從圖1 可以看出,不同參數的曲線在DI 較小情況下的傾斜程度不同(即最大斜率不同),在γ不變的情況下增大β,曲線的傾斜度增大,最大斜率相應增大;對于同一條APD 恢復曲線,不同DI 值對應不同的斜率.所有曲線有相同的特點:曲線斜率隨著DI 增加而單調減少,當 D I ≥8 個時步時,曲線的斜率小于1;當DI ≥30個時步時,曲線斜率趨于0,APD 達到穩態APD,γ越小越容易達到穩態APD.在數值模擬中,α,β和γ都是可調參數,APD 對應元胞自動機模型中的參數n;DI 為元胞在相繼兩次激發之間處于靜息態的時長,簡稱靜息時長,其影響著元胞在下一激發周期的APD.數值模擬時我們始終保持r=3,K=6 不變,采用映射型邊界條件,即分別以系統的4 條邊界為鏡面向外拓展寬為r=3的虛擬區域,將系統內距邊界小于3 的元胞的狀態鏡面反射到邊界外,并以頂點為對稱點將系統4 個邊角區域的元胞狀態映射出去.在執行映射型邊界條件后,邊界處的元胞就與系統內其余元胞具有相同的鄰居個數.

圖1 在 α=40 和不同 β,γ 下APD 恢復曲線(a)和斜率 λ 隨舒張間隔DI 的變化(b)Fig.1.APD restitution curve (a) and the change of its slope λ with diastolic interval (DI) (b) for α=40 and different values of β and γ .

3 在不同傾斜度的APD 恢復曲線下的數值模擬結果

在不考慮APD 恢復關系(A PD=n0=40,r=3,K=6)情況下產生螺旋波初態,其是漫游螺旋波,波頭軌跡接近長條型矩形閉合回路,長度約40 個格點,絕大部分元胞的靜息時長DI=1 時步.然后在系統中考慮APD 恢復關系并以此時為計時起點,研究不同傾斜程度的APD 恢復曲線和穩態APD 對螺旋波動力學的影響.

為研究在不同傾斜度的APD 恢復曲線下的螺旋波演化行為,保持α=40,γ=10 不變,通過調節β來改變APD 恢復曲線的傾斜度,觀察不同β下初態螺旋波的演化行為.從圖1 可以看出,引入APD 恢復關系后,元胞的APD 最初從n0=40 將減小到DI=1 對應的最小值,之后元胞的APD動態變化.數值模擬發現,當β≤10 時,初態漫游螺旋波演化成穩定螺旋波,說明APD 恢復關系可以使不穩定螺旋波變得穩定;當 11 ≤β≤14 時,螺旋波發生漫游,且β越大,螺旋波漫游的幅度越大,漫游情況如圖2 所示,圖2 中白色對應元胞處于靜息態,黑色線對應元胞處于激發態,灰色區對應元胞處于不應態,黑色線與白色區的邊界線之間的灰色區寬度除以每時步波傳播的距離對應元胞的APD,白色條紋越寬代表DI 值越大.從圖2 可以看出,螺旋波漫游導致DI,APD 分布略有不均勻,但沒有引起傳導障礙,所以螺旋波波臂沒有折斷;當β≥15 時,螺旋波發生波臂斷裂和破碎,其破碎方式有三種.

圖2 在參數 α=40 ,γ=10 ,β=14 下不同時刻的膜電位斑圖 (a) t=0 ;(b) t=20000 ;(c) t=60000 ;(d)t=100000Fig.2.Patterns of the membrane potential at different time moments for α=40 ,γ=10 and β=14 :(a) t=0 ;(b) t=20000 ;(c) t=60000 ;(d) t=100000 .

第一種破碎方式是:螺旋波先發生漫游,然后波臂在波頭附近斷裂,最終導致螺旋波完全破碎,這種由于漫游導致的螺旋波破碎稱為多普勒失穩[37],如圖3 所示.在圖3 中,為了同時顯示處于不應態的元胞APD,在作膜電位斑圖時,將元胞APD 在[31,40]范圍的不應態元胞統一用紅色顯示(記為A 態),元胞APD＜31 的不應態元胞用綠色顯示(記為B 態),激發態和靜息態元胞分別用黑色和白色顯示,之后的斑圖也以相同方式顯示.從圖3 可以看出,引入APD 恢復關系后,白色線逐漸變寬,因為元胞的APD 瞬間減小到n ≈26 (參見圖1),致使元胞在演化過程中提前返回到靜息態.一方面由于元胞APD 減小,使波頭加快旋轉而漫游,白色線逐漸演化成粗細極度不均勻的線(DI 分布極度不均勻);另一方面,波頭加快旋轉使螺旋波的中心區黑色線曲率增大,致使大部分元胞都處于B 態,而處于A 態的元胞則呈零散分布,即在螺旋波波頭附近,A 態元胞與激發態相鄰且呈小的輻射狀分布,導致傳導障礙使波臂折斷.而在螺旋波外圍,位于波后的A 態元胞呈小塊狀分布,不與激發元胞相遇,因此不引起傳導障礙(參見圖3(c),(d)).隨著螺旋波波臂多次折斷,所有A 態元胞都呈輻射狀分布,最終使螺旋波完全破碎(參見圖3(e)—(h)),可見多普勒失穩是螺旋波波頭漫游使其附近大量A 態元胞分布呈輻射狀導致傳導障礙造成的.

圖3 在參數 α=40 ,γ=10,β=15 下不同時刻的膜電位斑圖,白色代表靜息態;黑色代表激發態;綠色(紅色)代表元胞APD在[26,30] ([31,40])范圍的不應態 (a) t=0 ;(b) t=400 ;(c) t=490 ;(d) t=510 ;(e) t=560 ;(f) t=1800 ;(g) t=2000 ;(h)t=3070Fig.3.Patterns of the membrane potential at different time moments for α=40 ,γ=10 and β=15 .The white and black represent the rest-state and excited state,respectively,the green (red) represents the refractory states in which the APD of the cell is in the range of [26,30] ([31,40]):(a) t=0 ;(b) t=400 ;(c) t=490 ;(d) t=510 ;(e) t=560 ;(f) t=1800 ;(g) t=2000 ;(h) t=3070 .

第二種破碎方式是:螺旋波波臂先在外圍折斷,最終導致螺旋波完全破碎,這種螺旋波破碎方式稱為愛克豪斯失穩[37],如圖4 所示.從圖4 可以看出,引入APD 恢復關系后,白色線逐漸變寬(參見圖4(b)),是因為元胞的APD 瞬間減小到n ≈23(參見圖1),元胞的APD 變化相比于圖3 的情況進一步增大.從圖4(b)—(e)可以看出,在元胞APD變小后,螺旋波波臂保持均勻,說明螺旋波是穩定螺旋波,正因為是穩定螺旋波,使得由處于B 態元胞組成的螺旋波首先在其外圍出現呈小三角形分布的A 態元胞,導致螺旋波波臂折斷,隨后在折斷處形成新的螺旋波(見圖4(f)).隨著螺旋波繼續演化,在t=310 時步,螺旋波波頭周圍才出現A 態元胞大范圍呈小塊狀分布或小塊輻射狀分布,這種分布不會導致波臂折斷,因螺旋波不漫游,螺旋波中心區保持完好.螺旋波最終破碎是在外圍形成的螺旋波與原螺旋波相互碰撞的結果,系統最終演化為多螺旋波態(參見圖4(h)).

圖4 在參數 α=40 ,γ=10,β=18 下不同時刻的膜電位斑圖,作圖方式與圖3 一致 (a) t=0 ;(b) t=40 ;(c) t=220 ;(d) t=250 ;(e) t=255 ;(f) t=310 ;(g) t=2850 ;(h)t=34300Fig.4.Patterns of the membrane potential at different time moments for α=40 ,γ=10 and β=18,the drawing method is consistent with Fig.3:(a) t=0 ;(b) t=40 ;(c) t=220 ;(d) t=250 ;(e) t=255 ;(f) t=310 ;(g) t=2850 ;(h) t=34300 .

第三種破碎方式是:APD 和DI 大幅度振蕩變化導致螺旋波破碎成時空混沌,如圖5 所示.從圖5可以看出,引入APD 恢復關系后,元胞APD 從n0=40瞬間減小到n ≈10 (根據方程(2)可以得出),白色線逐漸變得很寬(螺旋波波頭附近除外),直到所有元胞處于B 態.在下一次激發時,除螺旋波中心區外,其他位置的元胞又恢復至A 態,形成螺旋狀分布,在螺旋波波頭附近與B 態元胞分布區域相遇(參見圖5(b)),導致傳導障礙使螺旋波波頭消失,出現新的斷點,此時螺旋波不再旋轉,而是斷點回縮(參見圖5(c)),直到傳導障礙消失后,螺旋波又開始旋轉(參見圖5(d)),從效果上看,螺旋波類似作大幅度漫游.從圖5(d),(e)可以看出,由于A 態元胞和B 態元胞分布區在波頭附近相遇,導致螺旋波波臂在波頭附近折斷,脫離主體這段小波演化成由處于B 態的元胞組成的小螺旋波.隨著系統演化,A 態和B 態元胞分布區交替出現,且總在螺旋波波頭附近相遇,產生傳導障礙,最終使螺旋波破碎成時空混沌.我們把元胞APD 大幅度振蕩變化稱為APD 交替,可認為螺旋波破碎是由于APD 按A→B→A→B 方式交替(記為AB 交替)變化導致的,APD 交替變化在心律失常中是常見的現象[27,28].

圖5 在參數 α=40 ,γ=10 ,β=33 下不同時刻的膜電位斑圖,作圖方式與圖3 一致 (a) t=0 ;(b) t=50 ;(c) t=60 ;(d)t=100;(e) t=130 ;(f) t=150 ;(g) t=200 ;(h)t=500Fig.5.Patterns of the membrane potential at different time moments for α=40 ,γ=10 and β=33,the drawing method is consistent with Fig.3:(a) t=0 ;(b) t=50 ;(c) t=60 ;(d) t=100 ;(e) t=130 ;(f) t=150 ;(g) t=200 ;(h) t=500 .

以上結果表明,在不同β值下,螺旋波破碎方式存在明顯的不同:第一、第二種螺旋波破碎不存在大范圍APD 交替變化,只是局部存在APD 非均勻分布導致傳導障礙使螺旋波破碎,由于形成的APD 非均勻分布具有偶然性,因此螺旋波完全破碎需要經過很長時間.第三種螺旋波破碎由于APD 按AB 方式交替導致,螺旋波完全破碎需要的時間很短,這種破碎方式可以使心臟由心動過速快速轉變為心室纖維性顫動,危害很大.

為了解參數β,γ同時變化對螺旋波的影響,圖6給出了在β-γ參數平面上的相圖.為了解釋圖6的結果,在給定參數β,γ下計算總平均斜率,該值用如下方式得到:首先將t時步各激發元胞的DI 值求和后求平均,得到t時步的平均DI,此時可通過(3)式算出平均斜率,接著將 1-t0(t0為螺旋波完全破碎前的某個時刻)這段時間內各時刻平均DI 求和再平均,得到總平均DI,最后利用(3)式算出作為該組參數的總平均斜率.對于不破碎螺旋波,取t0=2000 時步,如果螺旋波很快漫游出系統,則取螺旋波消失前某個時刻為t0值,圖7 給出了隨β,γ變化的直方圖.

圖6 在 β-γ 參數平面上的相圖Fig.6.Phase diagram on β-γ parameter plane.

從圖6 和圖7 可以看出:760 組參數中有216 組參數出現穩定螺旋波且集中分布在一個大的區域,穩定螺旋波對應參數的總平均斜率一般在[0.0476,0.8671]范圍內變化,有2 組參數的總平均斜率超過1,這兩組參數是 (β,γ)=(3,1),(4,1),表明總平均斜率大于1 也能使螺旋波穩定.有85 組參數出現螺旋波漫游且幾乎分布在一個大的區域,漫游螺旋波的總平均斜率在[0.5297,2.2073]范圍內變化,其中有4 組參數的總平均斜率高于1,這四組參數是 (β,γ)=(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),可見總平均斜率大于1 不一定使螺旋波破碎.當β≥18時,出現第一種、第三種螺旋波破碎和螺旋波漫游出邊界消失,不存在穩定和漫游螺旋波,其中有167 組參數出現第一種螺旋波破碎方式,這種破碎方式的總平均斜率在[1.1198,1.2754]范圍內變化,有98 組參數出現第三種螺旋波破碎方式,這種破碎方式的總平均斜率一般在[1.0014,1.0233]范圍內變化,有4 組參數的總平均斜率小于1,這四組參數是 (β,γ)=(19,19),(19,20),(22,18),(22,19),說明總平均斜率小于1 也可以使螺旋波破碎;從圖6 可以看出,對于第一、第三種螺旋波破碎方式,其參數混合地分布在γ≥10 的區域,表明這兩種破碎方式具有偶然性,對參數變化比較敏感.有168 組參數出現螺旋波漫游出邊界消失且幾乎分布在一個大的區域(對應γ ＜10),螺旋波消失對應的總平均斜率約在[1.2738,2.9874]范圍內變化,這表明要讓螺旋波漫游出系統消失,需要的恢復曲線斜率非常大.有26 組參數出現第二種螺旋波破碎方式,而且主要以孤立方式出現,這種破碎方式的總平均斜率在[1.0301,1.1196]范圍內變化,可見第二種螺旋波破碎少見.

上述結果表明:用恢復曲線總平均斜率是否大于1 來判斷螺旋波的演化行為是否穩定和漫游存在不可靠因素,為了解釋其原因,圖8 給出了幾組螺旋波穩定、漫游、破碎和消失對應的參數下λt隨時間的變化.從圖8(a),(b)可以看出,即使總平均斜率大于1,只要平均斜率保持不變(即元胞的APD和DI 保持不變),螺旋波也可以穩定,同理對漫游螺旋波也成立(參見圖8(d)),這個結果說明要消除心律失常應盡可能使心肌細胞的APD 和DI 保持不變.圖8(a),(b)為總平均斜率大于1 的特殊情況,一般情況下穩定螺旋波對應的平均斜率變化如圖8(c)所示.

從圖8(e)可以看出,即使總平均斜率大于1,只要平均斜率隨時間大幅度快速振蕩,也可以保證螺旋波不破碎而處于漫游態.對于一般漫游螺旋波,其總平均斜率小于1,平均斜率隨時間在某個固定值附近小幅振蕩(見圖8(f)).

圖8 不同參數(螺旋波態)下恢復曲線的平均斜率隨時間變化 (a) β=3 ,γ=1 (穩定);(b) β=4 ,γ=1 (穩定);(c) β=7,γ=17(穩 定);(d) β=4 ,γ=2 (漫 游);(e) β=5 ,γ=1 (漫 游);(f) β=10 ,γ=9 (漫 游);(g) β=13,γ=5 (第一種破碎);(h) β=18,γ=11 (第二種破碎);(i) β=38,γ=15 (第三種破碎);(j) β=19 ,γ=19 (總平均斜率小于1 的破碎);(k) β=31,γ=5(消失);(l) β=32 ,γ=8 (消失)Fig.8.Evolution of the average slope of the restitution curve for different parameters (spiral wave states):(a) β=3 ,γ=1(stable);(b) β=4 ,γ=1 (stable);(c) β=7 ,γ=17 (stable);(d) β=4 ,γ=2 (meandering);(e) β=5,γ=1 (meandering);(f) β=10,γ=9 (meandering);(g) β=13,γ=5 (first type of breakup);(h) β=18 ,γ=11 (second type of breakup);(i) β=38,γ=15(third type of breakup);(j) β=19 ,γ=19 (breakup with total average slope less than 1);(k) β=31 ,γ=5 (disappear);(l) β=32,γ=8 (disappear).

對于破碎的螺旋波,其對應平均斜率隨時間變化一般在某個大于或等于1 的值附近小幅振蕩(見圖8(g)—(i)),但存在平均斜率在小于1 的范圍內振蕩的情況(參見圖8(j)),其總平均斜率也小于1.為了對總平均斜率小于1 下螺旋波的破碎有直觀印象,圖9 給出了在圖8(j)參數下不同時刻的膜電位斑圖.從圖9 可以看出,引入APD 恢復關系后,白色線沒有加寬,而是出現元胞APD 相差很大的兩個螺旋狀區域(A,B 狀態區),這兩塊區通過細的白色線分離開(參見圖9(b),(c)),但在波頭附近相遇,導致傳導障礙使螺旋波波臂在波頭附近折斷,脫離主體的這段小波演化成螺旋波(參見圖9(c),(d)),而原螺旋波停止旋轉,直到波頭附近恢復為綠色區.由于兩塊元胞APD 相差很大的螺旋狀區域大小交替變化,且都在螺旋波波頭附近相遇,致使螺旋波波臂在波頭附近陸續出現折斷現象,脫離主體的這段小波同樣演化成螺旋波,這些螺旋波相互作用,最終導致螺旋波破碎.與圖3 所示的第一種破碎不同的是,圖9 顯示的這種破碎在初始階段螺旋波不發生漫游.與圖5 所示的動作電位按AB 交替變化導致的第三種破碎不同的是,圖9 顯示動作電位按A→AB→B→BA→A 交替變化.存在兩條白色線,第一條白色線位于激發態波前,第二條白色線位于A,B 狀態分布區之間,如圖9(b)所示,其實際上是t=0 時刻的靜息態線所在位置,它是這樣產生的:在波傳播的過程中,激發波線前方的靜息態元胞相繼變成B 態,而最先變成B 態的元胞返回到靜息態時,有與之相鄰元胞仍處于A 態,導致第二條白色線出現,它是由于AB 兩種狀態的元胞APD 相差一倍多引起的.當然,如果分別計算螺旋波波頭周圍和螺旋波外圍的APD 恢復曲線總平均斜率,可以發現:在螺旋波中心區的總平均斜率大于1,因為波頭周圍元胞處于B 態,APD 較小,而靜息時長是1 個時步;在螺旋波其他區的總平均斜率接近0,使得整體總平均斜率比1 小很多,這就是為什么A,B 兩種元胞態分布區總在波頭附近相遇導致傳導障礙.

圖9 在參數 α=40 ,γ=19 ,β=19 下不同時刻的膜電位斑圖,作圖方式與圖3 相同 (a) t=0 ;(b) t=27 ;(c) t=37 ;(d) t=40 ;(e) t=57 ;(f) t=80 ;(g) t=90 ;(h) t=113 ;(i)t=1900Fig.9.Patterns of the membrane potential at different time moments for α=40 ,γ=19 and β=19 .The drawing method is consistent with Fig.3:(a) t=0 ;(b) t=27 ;(c) t=37 ;(d) t=40 ;(e) t=57 ;(f) t=80 ;(g) t=90 ;(h) t=113 ;(i) t=1900 .

對于消失的螺旋波,其參數的平均斜率隨時間大幅度慢振蕩,最大平均斜率可達到5,最小接近0,如圖8(k),(l)所示,正是這種大幅度慢振蕩,螺旋波出現呼吸效應(即APD 大幅度交替變化),從而引起螺旋波波頭間歇性遇到傳導障礙而作漂移運動,其效果表現為螺旋波在短時間內大幅度漫游,迫使螺旋波運動出邊界消失,因此可以通過使心肌細胞動作電位大幅度交替變化來消除螺旋波.

上述研究結果表明,螺旋波的演化與恢復曲線傾斜度有關,螺旋波破碎與恢復曲線總平均斜率大于或等于1 有密切聯系,但是恢復曲線總平均斜率大于1 并不一定導致螺旋波破碎,只要恢復曲線平均斜率隨時間大幅度高頻振蕩或者保持不變,也可以只導致螺旋波漫游,甚至穩定;此外,恢復曲線總平均斜率小于1,螺旋波也不一定保持不破碎態,只要出現元胞的APD 大幅度交替變化,A 態和B 態元胞分布區在螺旋波波頭附近相遇,波在傳播過程中就會因遇到不應態元胞而導致傳導障礙,誘發螺旋波波臂折斷,這種現象頻繁出現就會導致螺旋波破碎.

4 在不同穩態APD 恢復曲線下的數值模擬結果

前面只探究了在不同傾斜度的APD 恢復曲線下的螺旋波演化行為,為了探究不同穩態APD 對螺旋波的影響,首先取不同n0來產生初態螺旋波,其可以是穩定或漫游螺旋波,然后在固定值γ=9及不同參數α和β情況下觀察螺旋波的演化行為,圖10 給出了在β-α參量平面上的相圖.從圖10可以看出,在給定β的情況下,逐漸增大穩態APD(即α),螺旋波出現從破碎→漫游→消失的轉變過程,而且都有這樣的特點:1) 當α比n0小足夠多時,螺旋波會按第一種方式破碎,當α比n0大足夠多時,螺旋波會消失,這是由于引入APD 恢復關系后,元胞APD 劇增,元胞返回到靜息態的時間延長,導致整體出現傳導障礙,因此可以通過增大心肌細胞穩態動作電位來消除心臟中的螺旋波;2)當n0=25,40,55 時,126 組參數中分別有19,44,69組參數處于漫游螺旋波態,比例依次為0.1508,0.3492,0.5476,說明增大初態螺旋波各元胞的APD,有利于避免螺旋波破碎.

圖10 在不同 n0 情況下 β-α 參數平面上的相圖 (a) n0=25 ;(b) n0=40 ;(c) n0=55 .Fig.10.Phase diagram on β-α parameter plane for different values of n0 :(a) n0=25 ;(b) n0=40 ;(c) n0=55 .

5 結論

本文采用二維可激發介質元胞自動機模型,研究了元胞APD 按不同的APD 恢復曲線動態變化后對螺旋波的影響,探討螺旋波失穩的機制,研究發現:不同傾斜度的APD 恢復曲線可以使不穩定螺旋波變得穩定,也可以使螺旋波漫游、破碎和消失.對于穩定和漫游螺旋波,對應的APD 恢復曲線總平均斜率一般小于1,但也存在總平均斜率大于1 的情況下仍不出現傳導障礙,是因為APD 恢復曲線平均斜率保持不變(即元胞APD 和DI 保持不變),或者平均斜率大幅度高頻振蕩.螺旋波破碎通常與APD 恢復曲線總平均斜率大于1 有關,但是少數情況下出現APD 恢復曲線總平均斜率比1 小很多時也會導致螺旋波的破碎,原因是復雜的A 態、B 態交替引發傳導障礙而使螺旋波破碎,如果A 態、B 態交替使螺旋波波頭消失,新出現的斷點只作漂移運動,直到傳導障礙消失才繼續旋轉,這種情況會導致螺旋波漫游出系統消失,其與APD 恢復曲線的平均斜率大幅度慢振蕩有關.如果初態元胞APD 比APD 恢復曲線的穩態APD小很多時,還會導致螺旋波直接消失,這時恢復曲線平均斜率不再振蕩,因此增大穩態APD,有利于螺旋波穩定不破碎和消失,但是初態APD 比APD恢復曲線的穩態APD 大很多時,可導致螺旋波破碎.觀察到三種螺旋波破碎方式,即多普勒失穩、愛克豪斯失穩、APD 交替變化導致螺旋波破碎,其中多普勒失穩和APD 交替變化導致的螺旋波破碎所占比率最大,愛克豪斯失穩占比很小,這些現象在心臟系統中都觀察到了,我們的結果有助于理解心臟系統中螺旋波的演化機制,為心律失常的治療和螺旋波的控制提供有用信息.