金屬基底上光學偶極納米天線的自發輻射寬帶增強:表面等離激元直觀模型*

張煉 王化雨3) 王寧 陶燦 翟學琳 馬平準 鐘瑩 劉海濤?

1) (南開大學電子信息與光學工程學院,現代光學研究所,天津 300350)

2) (南開大學,天津市微尺度光學信息技術科學重點實驗室,天津 300350)

3) (鄭州師范學院物理與電子工程學院,鄭州 450044)

4) (天津大學精密儀器與光電子工程學院,精密測試技術及儀器國家重點實驗室,天津 300072)

1 引言

光學納米天線[1,2]支持表面等離激元(surface plasmon polariton,SPP),能夠將電磁場限制在遠小于衍射極限區域內[2,3],產生局域表面等離激元共振(localized surface plasmon resonance,LSPR),可實現遠場激勵下電磁場增強[4-7]或輻射源(熒光分子或量子點)激勵下自發輻射增強[8-11],因此被廣泛應用于生物及折射率傳感[2,3],熒光增強[8,9,12-15],拉曼散射增強[16,17],單光子源[2,3,18],發光二極管[3,19],納米激光器[20,21]及非線性增強[22,23]等方面.在過去的幾十年中,由單個或耦合的納米粒子組成的光學納米天線,如金屬納米球[24],金屬納米立方體[16],偶極天線[1,4,25,26],蝶形納米天線[12,26],Sierpinski 分形天線[5],環形天線[8,27,28],孔徑天線(零模波導[14,15],交叉槽納米天線[29])等,已被廣泛研究.

最近,一種金屬鏡面上納米顆粒(nanoparticles on mirror,NPoM)天線結構,憑借其易于制造,且形成的納米間隙尺寸能達到納米甚至亞納米量級等優勢,成為光學納米天線研究的熱點.該結構的納米顆粒和金屬基底之間能形成間隙表面等離激元(gap surface plasmon,GSP)[30,31],將電磁場限制在深亞波長區域內,從而突破光學衍射極限,產生極大的電磁場增強[32-35].對于在納米間隙中放置了輻射源(熒光分子或量子點)的NPoM 結構,GSP 能獲得極小的模式體積V,導致更高的Purcell 因子FP(正比于Q/V,Q是GSP 模式的品質因子)[3,32,36],從而縮短熒光壽命,可用于提升單光子源[2,3,18]、發光二極管[3,19]、納米激光器[21]等高速納米尺度光源的調制速度.此外,由于NPoM 納米間隙中巨大的局域場增強能導致熒光激發速率和自發輻射速率的同時增大[37,38](后者能夠提高輻射源的量子產率),從而顯著提高熒光強度,這對于高亮度光源[2,3,18,19,21]、高靈敏度熒光傳感[2,3,37]、表面增強拉曼散射[16,39,40]等應用有重要意義.

為了解釋光學天線具有上述性能的物理機制,已經建立了一些理論模型.第一種模型將光學天線視為由電阻、電容和電感組成的等效電路[41,42],研究天線的諧振特性,然而無法得到天線的遠場輻射方向圖.第二種模型是基于LSPR,將納米天線視為開放的諧振腔,將光學天線的諧振特性歸因于LSPR 的激勵[43-45].LSPR 可被定義為準簡正模式(quasi-normal mode,QNM)[46-49],當激勵源頻率與QNM 的復數本征頻率的實部相等時,納米光學天線會產生諧振.上述兩種模型中,均未體現SPP 的作用.為了闡明SPP 在天線諧振特性中的關鍵作用,建立了SPP 的Fabry-Perot 模型[50-56],把金屬納米天線看作一個 Fabry-Perot 共振腔.該模型可靈活應用于多種結構,例如,納米棒光學天線[51,52,54]、圓形天線[56],甚至任意形狀的金屬納米顆粒[53]等.然而,其中一些模型雖然能夠較好地復現天線的輻射速率和遠場輻射圖等[51,54],但是其中某些參數是通過假設或擬合得到,缺乏嚴格的電磁學基礎.與此不同,通過考慮天線中SPP 的激發與多重散射過程,能夠建立多重散射SPP 模型,模型中所有參數都是通過Maxwell 方程組第一性原理計算獲得,而無需任何假設或擬合,這保證了模型具有嚴格的電磁學基礎,此類模型已應用到單納米線天線[57]、偶極天線[46,58],甚至具有彎曲臂的分裂環形天線[59],能夠全面預測自發輻射速率增強因子[46,58,59]、近場分布[46,57-59]和遠場輻射角分布[58,59]等.

由于熒光分子或量子點的熒光光譜通常覆蓋一定的波長范圍[12,18],因此設計具有寬波段輻射增強性能的天線具有重要意義.在這方面,采用一種納米線光學納米腔,具備超小的模式體積,能提供30 nm 帶寬的自發輻射速率增強(峰值FP＞ 6)[60].采用金納米環-中心蝴蝶結天線[8]以及金納米環-單蝶形尖峰天線[27],能分別在600 nm 的寬帶內實現FP＞ 1000[8]以及在800 nm 的寬帶內實現FP＞450[27].采用對數周期納米天線,通過調節尺寸參數,能實現寬頻帶的Purcell 因子增強[61].采用V 型槽環諧振器,能在1.0—1.8 eV 的頻率范圍內獲得最大值高于2000 的Purcell 因子[62].采用銀納米顆粒和銀膜組成的NPoM 結構,在500—1000 nm 的波長范圍內自發輻射速率增強因子最大值能達到100 以上[63].采用非對稱等離子體天線,由于每個臂具有不同的共振頻率,也可以產生寬波段Purcell 因子增強[9].

本文提出了一種NPoM 天線結構—金屬鏡面上光學偶極納米天線.該天線的總自發輻射速率增強因子(即Purcell 因子FP)能夠達到5454,遠場輻射速率增強因子達到1041.在近紅外波段,天線能夠實現寬波段自發輻射增強,FP＞ 1000 的波長范圍達到260 nm,并且能夠實現遠場定向輻射.通過改變天線臂間狹縫寬度、兩臂長度,能夠分別調節自發輻射增強的帶寬和增強因子.為了解釋天線上述性能背后的物理機制,本文通過考慮沿天線臂傳播的SPP 的多重散射過程,建立了SPP 半解析模型.模型中所有參數都是通過第一性原理計算獲得,不需要任何擬合過程,這保證了模型具有堅實的電磁學基礎,并且能夠給出定量的預測.該模型能夠全面復現天線的輻射特性,包括總輻射速率、遠場輻射速率、遠場輻射方向圖等.由模型得到了能預測天線諧振的兩個相位匹配條件.模型表明,在相位匹配條件下,SPP 在天線臂上形成了一對Fabry-Perot 共振獲得增強,并傳播到納米間隙內點輻射源位置和散射到自由空間中,由此分別提高了總自發輻射速率和遠場輻射速率;并且,這一對Fabry-Perot 共振產生了一對靠近的諧振峰,由此形成了寬波段自發輻射增強.

2 研究方法

2.1 全波數值計算方法

如圖1(a)所示,本文提出一種金基底上金偶極納米天線結構,由金基底、聚甲基丙烯酸甲酯(polymethyl methacrylate,PMMA)中間介質層及位于上方的偶極金納米矩形天線組成,天線處于空氣環境中(折射率為1).兩天線臂之間的狹縫沿x方向的寬度為w,天線與金基底之間的納米間隙沿z方向的高度為H=10 nm.設天線的兩臂臂長為L,y-z橫截面為正方形(邊長為D=40 nm).取坐標系原點O位于金基底表面上狹縫中心位置.熒光分子或量子點輻射源采用點電流源表示,位于天線與金基底之間的納米間隙內點S處,沿z方向偏振,該偏振方向和其他偏振方向相比能獲得更高的自發輻射速率.金依賴于波長的折射率采用文獻[64]中的數值.

z偏振的點電流源可以表達為電流密度J=δ(x-xs,y-ys,z-zs)z,其中δ為狄拉克函數,(xs,ys,zs)是點源的位置坐標,z為沿z向的單位矢量.取(xs,ys,zs)=(w/2+L—d,0,H/2),其中d=10 nm為點源到天線右端距離.點源的總輻射速率可表達為[58]Γtot=—Re[Ez(xs,ys,zs)]/2,其中Re[Ez(xs,ys,zs)]為點源位置電場z方向分量的實部.總輻射速率Γtot包含兩部分:一部分為非輻射速率Γnr,以熱的形式損耗在金屬內部;另一部分為遠場輻射速率Γrad,該部分能量向天線外輻射到遠場,即Γtot=Γrad+Γnr.Γrad表達為Γrad=A為包含天線和點源的封閉曲面,S為點源激發的電磁場的時間平均坡印廷矢量,n為A上指向外的法向單位矢量.

為了表征自發輻射速率的增強,本文將總輻射速率增強因子(Purcell 因子[36])和遠場輻射速率增強因子分別定義為γT=Γtot/ΓPMMA及γR=Γrad/ΓPMMA.其中ΓPMMA=ηvack02nPMMA/(12π),是全空間為PMMA 的均勻介質中點源的總輻射速率,ηvac為真空中的波阻抗,k0=2π/λ為真空中的波數,nPMMA=1.5 為PMMA 的折射率.為了縮短高速納米光源(如單光子源[2,3,18]、發光二極管[3,19]和納米激光器[21])的熒光壽命,以提高調制速率,需要高的γT值.此外,熒光強度正比于熒光發射體的量子產率,表達為η=其中η0∈(0,1)表示熒光發射體的固有量子產率.對于較高η0的發射體,即η0≈1 (例如量子點[11,18,19],或直接帶隙半導體結構、可見光發射的染料分子、熒光蛋白[3]),納米天線導致的修正后的量子產率可能會降低[3,12,63,65],表達為η≈γR/γT(稱為天線輻射效率)[38,65];而對于具有極低η0的發射體,即η0?1 (例如紅外發射的染料分子、自發熒光的生物結構和硅[3]),納米天線導致的修正后的量子產率可能會增大[3,8,27,63],表達為η≈γRη0.

為了簡化分析和計算,位于點S(xs,ys,zs)振幅為1 的點源,可等效為位于點S(xs,ys,zs)和點S′(—xs,ys,zs)處,振幅均為1/2 的對稱點源(如圖1(b1)所示)和振幅分別為1/2 和—1/2 的反對稱點源(圖1(b2))的疊加,表達式為

圖1 (a) 金基底上金偶極納米天線結構示意圖;(b1),(b2)對稱點源和反對稱點源激勵下,SPP模型中的SPP 模式系數的定義;(c)—(e) SPP模型中用到的SPP散射系數ρ,τ,r,β以及電磁場的定義Fig.1.(a)Schematicdiagramofthegolddipolenanoantennaona goldsubstrate;(b1),(b2) definitionof theSPPmodecoefficients in the SPPmodelunderexcitation by symmetric and anti-symmetricpointsources;(c)-(e)definitionoftheSPPscatteringcoefficie nts ρ,τ,r,βandelectromagneticfields used in the SPP model.

于是,單位振幅點源產生的輻射場為Ψ=Ψsym+Ψasym,其中Ψ=[E,H]表示電場(E)和磁場(H)矢量,Ψsym和Ψasym分別表示對稱、反對稱點源的輻射場.因此,納米間隙中點源的總輻射速率表達為

其中Ez,sym(xs,ys,zs)和Ez,asym(xs,ys,zs)分別是對稱點源和反對稱點源在點S(xs,ys,zs)位置激發的電場z分量.此外,利用Ψ=Ψsym+Ψasym,也可以計算遠場輻射速率Γrad.為了獲得天線輻射的嚴格數據,本文使用全波非周期傅里葉模式法(aperiodic Fourier modal method,a-FMM)[66,67].

2.2 SPP 模型

為了分析天線自發輻射增強的物理機制,接下來將考慮SPP 直觀的激發和多重散射過程,建立一個半解析SPP 模型.將天線臂看成沿x方向平移不變的波導,支持沿x方向傳播的SPP 波導模式.由于所有波導模式構成了一組完備的基函數[68],因此,在天線臂沿x方向的范圍內(—w/2 —L≤x≤ —w/2 或w/2 ≤x≤w/2+L),點源激勵的電磁場能夠表達為天線臂支持的SPP 波導模式的線性疊加.由于天線截面尺寸以及天線與金基底之間的間隙尺寸遠小于波長,因此只有SPP 基模式是束縛的(場沿橫向y和z方向無限遠處衰減為0)和傳播的(傳播常數幾乎為實數),其他高階模式要么是非束縛的,要么是非傳播的[69].因此,對于上述電磁場表達為SPP 波導模式的線性疊加,模型中只考慮SPP 基模式,忽略其他高階模式的貢獻.圖2 給出了使用全波a-FMM[66,67]計算得到的y -z橫截面上SPP 基模式場分布,可見間隙中電場的主要分量為Ez.計算選取波長λ=1 μm,D=40 nm,H=10 nm,計算得到SPP 基模式的等效折射率為neff=3.4304+0.1009i.

圖2 在y-z 橫截面上SPP 基模式電場分量的模值(|Ex|,|Ey|,|Ez|),在(y,z)=(0,H/2)處滿足歸一化Ez=1.圖中疊加的虛線顯示了結構的邊界Fig.2.Moduli of the electric-field components (|Ex|,|Ey|,|Ez|) on the y-z cross section for the fundamental SPP mode satisfying normalization Ez=1 at (y,z)=(0,H/2).The superimposed dashed lines show the boundaries of the structure.

為了求解SPP 系數,可以寫出一組SPP 耦合方程:

其中u=exp(ik0neffd)是SPP 從點源傳播距離d 到達天線端面時累積的相移因子,v=exp[ik0neff(L — d)]是SPP 從點源傳播距離(L — d)到達狹縫時累積的相移因子,k0=2π/λ 是真空中波數,neff是SPP 模式的復數等效折射率(無量綱).ρ 和τ 分別是SPP 在天線臂間狹縫的反射和透射系數,如圖1(c)所示.r 是SPP 在天線端面的反射系數,如圖1(d)所示.β 是單位振幅的點源激勵的SPP 系數,如圖1(e)所示.這里ρ,τ,r,β 是作為散射矩陣元素[70,71],采用全波數值方法a-FM M[66,67]嚴格計算得到.可見,模型中用到的所有物理量都是基于Maxwell 方程組第一性原理計算獲得,無需任何擬合過程,這就保證了模型具備嚴格的電磁學基礎,并且能夠給出定量的預測.此外,β 也可以采用互易定理[68]計算如下:

其 中ΨSPP,±(x,y,z)=ΨSPP,±(0,y,z)exp(±ik0neffx),表示沿x軸正向(+)、負向(—)傳播的SPP 模式,p=z為沿點源偏振方向的單位矢量.方程(4)的優勢在于,當計算得到ΨSPP,±后,如果改變點源的位置(ys,zs)或偏振方向p,不必重復求解Maxwell 方程組,即可得到β.

求解方程(3),可以分別得到對稱、反對稱點源激勵的SPP 模式系數,即

在對稱、反對稱點源激勵下(圖1(b1)和圖1(b2)),天線右臂與金基底之間間隙內電磁場Ψgap,sym和Ψgap,asym可表達為

方程(6)中,Ψ=[E,H]與前文定義一致,Ψsource是振幅為1 的點源直接激發的電磁場,如圖1(e)所示.ΨSPP,+和ΨSPP,—分別是前文定義的右行、左行SPP 基模式場.Ψsource,ΨSPP,+,ΨSPP,—都可以利用全波a-FMM[66,67]進行計算.于是,在單個點源激勵下(圖1(a)),天線右臂與金基底間的間隙內電磁場可以表達為

利用方程(7),即可得到間隙中點源的總自發輻射速率Γtot=— Re[Ez(xs,ys,zs)]/2.

在對稱、反對稱點源激勵下,自由空間中的電磁場Ψsym和Ψasym可表達為

利用方程(9),即可計算遠場輻射速率Γrad.

3 結果與討論

3.1 天線的自發輻射寬帶增強現象

為了研究單個點源輻射波長λ及天線臂間狹縫寬度w對天線輻射特性的影響,根據附錄A 中金基底上單臂納米天線的結果,將偶極天線臂長固定為L=Lres,1=126 nm (圖3(a1)和圖3(b1))及L=Lres,2=272 nm (圖3(a2)和圖3(b2)),繪制了歸一化總自發輻射速率γT=Γtot/ΓPMMA與歸一化遠場輻射速率γR=Γrad/ΓPMMA隨λ變化的函數曲線,其中選取不同的天線臂間狹縫寬度w=5,10,15,20,25,30,35 nm.全波a-FMM 的計算結果(圓圈)表明,在諧振峰處,偶極天線能夠實現γT,γR的顯著增強(γT?1,γR?1).例如,當L=Lres,1,w=35 nm 時,在波長λ=1.01 μm處γT,γR分別達到5454 及1041.如2.1 節所述,高的γT,γR值對于高速納米光源[2,3,18,19,21]、表面增強熒光[8,9,12-15]或拉曼散射[16,17,39,40]等應用非常重要.在這方面,對于其他具有寬波段輻射增強性能的天線,例如,金納米環-中心蝴蝶結天線[8]可實現最高γT≈ 2100,γR≈ 1700,金納米環-單蝶形尖峰天線[27]可實現最高γT≈ 760,γR≈ 520,V 型槽環諧振器[62]可實現最高γT≈ 2400,非對稱等離子體天線[9]可實現最高γT≈ 4500,γR≈ 1800.和上述天線相比,本文提出的偶極天線能獲得更高的γT和數量級相當的γR,并且,該偶極天線屬于NPoM 結構[30-35],在制備方面具有能夠精確形成納米間隙的優勢.此外,本文計算的天線尺寸在實驗中能夠實現,已有研究可制備偶極天線臂長為幾十nm[43],兩臂間狹縫寬度達到5 nm[25].對于實驗制備偶極天線可能出現的棱邊、棱角圓角化,附錄B中的計算結果表明,天線圓角化只會導致諧振波長移動,對γT和γR發生增強的帶寬及其在諧振峰位置的數值影響很小.

圖3 在單個點源激勵下,偶極納米天線的歸一化總輻射速率Γtot/ΓPMMA((a1),(a2))和歸一化遠場輻射速率Γrad/ΓPMMA((b1),(b2)),顯示為點源輻射波長λ 的函數.結果分別采用a-FMM 嚴格計算(圓圈)和SPP 模型(實線)得到.(a1),(b1)天線臂長L=Lres,1=126 nm.(a2),(b2) L=Lres,2=272 nm.不同天線臂間狹縫寬度w 對應不同顏色的曲線.灰色曲線對應單臂納米天線的結果.豎直點劃線顯示了方程(10)預測的諧振波長Fig.3.Normalized total emission rate Γtot/ΓPMMA ((a1),(a2)) and normalized radiative emission rate Γrad/ΓPMMA ((b1),(b2)) of the dipole nanoantenna under a single point-source excitation plotted as functions of the excitation wavelength λ.The results are obtained with the rigorous a-FMM calculation (circles) and the SPP model (solid curves),respectively.(a1),(b1) Antenna arm length L=Lres,1=126 nm.(a2),(b2) L=Lres,2=272 nm.Different widths w of the slit between the antenna arms correspond to curves of different colors.The gray curves show the results of a single-arm nanoantenna.The vertical dash-dot lines show the resonant wavelengths predicted by Equation (10).

值得注意的是,圖3 顯示出成對、可調的共振峰,由此產生自發輻射速率的寬帶增強現象.對于圖3(a1)和圖3(b1)中L=Lres,1的天線,γT,γR的諧振峰總是成對出現.隨著狹縫寬度w的增大,雙諧振峰逐漸接近,當繼續增大w時,雙峰逐漸演變成單峰,且越來越尖銳,趨于單臂納米天線的結果.當w從10 nm 增大到35 nm 時,γT＞ 1000 的波長范圍可由[932,1200] nm 連續變化到[938,1100]nm.與γT類似,也可以通過改變w來連續調節γR獲得增強的波長范圍.將左、右諧振峰的諧振波長分別記為λres,1,λres,2,可以發現γT,γR諧振峰的諧振波長一致.例如,在圖3(a1)和圖3(b1)中,用兩條豎直藍色(或紅色)點劃線標出了w=5 nm(或w=10 nm)時,γT及γR雙諧振峰的諧振波長,分別為λres,1=0.96 μm,λres,2=1.20 μm (或λres,1=0.97 μm,λres,2=1.10 μm),其物理機制將在下一節討論.當w=10 nm 時,在λres,2=1.10 μm位置,天線輻射效率為γR/γT=22.95%,表明天線具有較好的遠場輻射性能.對圖3(a2)和圖3(b2)中L=Lres,2的天線,γT,γR也出現了與L=Lres,1的天線類似的雙諧振峰.當w從10 nm 增大到25 nm 時,γT＞ 1000 的波長范圍可由[960,1090] nm連續變化到[962,1060] nm.當w=10 nm 時,在諧振波長λres,1=0.99 μm 位置,天線輻射效率為γR/γT=4.92%.對于相同的w取值,天線臂長度從L=Lres,1增大到L=Lres,2,γT與γR的峰值及獲得增強的帶寬均明顯減小,并且在諧振波長位置,天線的輻射效率明顯下降.

3.2 天線自發輻射增強特性基于SPP 模型的機理分析

為了揭示數值結果背后的物理機制,我們使用SPP 模型來預測γT與γR.如圖3 所示,SPP 模型預測(實線)與全波a-FMM 計算(圓圈)結果符合較好,這證實了模型的有效性.然而,在諧振峰附近,SPP 模型存在一定的誤差.該誤差表明,除了模型中考慮的SPP 基模式以外,模型中忽略的其他高階模式(非束縛態模式、非傳播模式)[68,69]也對天線輻射有貢獻.

其中arg()表示輻角;k0=2π/λ是真空中波數;M,N取整數,分別是對稱、反對稱點源激勵下的諧振級次.方程(10)由方程(5)分母模值|1—u2v2r(ρ±τ)|取極小值得到,這要求arg[u2v2r(ρ±τ)]取2π 的整數倍(即方程(10)),以及|u2v2r(ρ±τ)|=|uv|2|r||ρ±τ| ≈ 1,后者基于以下考慮得到.首先,SPP 反射、透射系數ρ和τ需要滿足相干形式的能量守恒關系[72],即|ρ+τ| ≈ 1,|ρ—τ| ≈ 1(當w=10 nm,λ=1 μm 時,|ρ+τ|=0.9939,|ρ—τ|=0.9676);其次,SPP 在天線兩端的反射較強,即|r| ≈ 1(當λ=1 μm 時,|r|=0.9793);再次,結構中支持的SPP 為傳播模式,其等效折射率neff虛部很小(λ=1 μm 時,neff=3.4304+0.1009 i),從而使得SPP 傳播一個天線臂距離的衰減|uv|=exp[—k0Im(neff)L] ≈ 1.

方程(10)可用于確定發生自發輻射增強時的天線參數.例如,對于方程(10a),可寫成超越方程λ=f(λ)的形式,其中

neff,r,ρ,τ均為波長λ的緩變函數.該超越方程可通過線性插值迭代法[73,74]求解,得到λ=λres,sym,為對稱點源激勵下的諧振波長.用同樣的方法可求解方程(10b),確定λ=λres,asym,為反對稱點源激勵下的諧振波長.

如圖4 所示,利用方程(10),預測了不同狹縫寬度w對應的諧振波長λres,sym/asym,預測結果與圖3 中a-FMM[66,67]嚴格計算結果吻合(有λres,sym=λres,1,λres,asym=λres,2),這證實了模型方程(10)的有效性.圖4 表明,有λres,sym＜為金基底上單臂納米天線的諧振波長,如圖4 中水平黑色點劃線所示(由附錄A 中方程(A5)確定),黑色點劃線上方為偶極天線在反對稱點源激勵下的諧振波長λres,asym,下方為偶極天線在對稱點源激勵下的諧振波長λres,sym.隨著w增大,λres,sym與λres,asym逐漸靠近,并逐漸趨于,使得發生自發輻射增強的帶寬減小,這與圖3 所示結果一致.以上結果可解釋如下.隨著w增大,狹縫處SPP 的透射系數τ趨于0,反射系數ρ趨于SPP在天線端面的反射系數r(如圖1(c)和圖1(d)所示),這使得方程(10)中arg(ρ+τ)與arg(ρ—τ)均趨于相同的數值arg(r),于是方程(10)趨于單臂納米天線的諧振條件(附錄A 中方程(A5)),這使得λres,sym和λres,asym均趨于

圖4 偶極納米天線諧振波長λres 隨狹縫寬度w 變化的曲線.圖中λres,sym=λres,1,λres,asym=λres,2,λres,1,λres,2 為圖3 中γT 或γR 的諧振波長.方形、圓圈為a-FMM 嚴格計算結果.實線、虛線為SPP 模型方程(10)預測的結果.紅色、藍色曲線對應天線臂長L=Lres,1=126 nm [對應方程(10)中M=N=1],洋紅、青藍色曲線對應L=Lres,2=272 nm(對應M=N=2).水平點劃線為方程(A5)預測的單臂納米天線的諧振波長Fig.4.Resonant wavelength λres of the dipole nanoantenna plotted as a function of the slit width w.There are λres,sym=λres,1 and λres,asym=λres,2,with λres,1 and λres,2 being the resonant wavelengths of γT or γR shown in Figure 3.The squares and circles show the results obtained with the rigorous a-FMM calculation.The solid and dashed curves show the predictions of the SPP model Equation (10).The red and blue curves correspond to the antenna arm length L=Lres,1=126 nm (obtained for M=N=1 in Equation(10)).The magenta and cyan curves correspond to L=Lres,2=272 nm (obtained for M=N=2).The horizontal dash-dot line shows the resonant wavelength of the single-arm nanoantenna predicted by Equation (A5).

下面基于SPP 模型方程,解釋天線產生諧振并引起自發輻射增強的原因.首先,當預測諧振條件的方程(10)得到滿足時,SPP 沿天線臂往返傳播一周所累積的相移(方程(10)左側)為2π 的整數倍,這使得經過多重散射后的SPP 產生相長干涉疊加,從而形成SPP 的Fabry-Perot 共振.然后,根據方程(7),這些共振激發的SPP(具有較大系數)將增強點輻射源位置的電場,最終增大總自發輻射速率Γtot,如圖3(a1)和圖3(a2)所示.對于遠場輻射速率Γrad,根據方程(9),這些共振激發的SPP(具有較大系數會增強其產生的散射場,并最終增強Γrad,如圖3(b1)和圖3(b2)所示.

圖3 顯示了隨著天線臂長L的增大,發生諧振時γT,γR的峰值減小.為了解釋該現象,發生諧振時,方程(5)給出的SPP 系數的分母模值滿足:

其中Im()表示虛部.當L增大時,方程(11)右端增大,使得SPP 系數減小,進而使得γT,γR均減小.

3.3 近場分析

圖5 顯示了在單個點源激勵下,采用全波a-FMM[66,67]嚴格計算得到的偶極天線發生諧振時的近場分布.該結果對應圖3(或圖4)中天線臂長度L=Lres,1及L=Lres,2,狹縫寬度w=10 nm,以及諧振波長λres,1,λres,2(或λres,sym=λres,1,λres,asym=λres,2,分別對應對稱、反對稱點源激勵下的M,N諧振級次,見方程(10)).圖5(a1)和圖5(c1)表明,對于對稱諧振級次(M=1,2),Re(Ez)關于x=0呈對稱分布.圖5(b1)和圖5(d1)表明,對于反對稱諧振級次(N=1,2),Re(Ez)關于x=0呈反對稱分布.這可以通過SPP 模型來理解.該模型預測,在諧振條件(方程(10a))下,單個點源中包含的對稱點源激發的場產生諧振(即方程(5b)—(5d)給出的對稱點源激發的SPP 系數取極大值),因此強于單個點源中包含的反對稱點源激發的場,這使得對稱點源激發的場成為電磁場的主要成分,于是電磁場顯示出和對稱點源一致的對稱性(如圖5(a1)和圖5(c1)所示).同理,在諧振條件(方程(10b))下,電磁場將顯示出和反對稱點源一致的對稱性(如圖5(b1)和圖5(d1)所示).圖5(a2)—(d2)顯示了|Ez|近場分布,其中在點源對應的(x,y)坐標位置出現了一個亮點,這是由于點源位置Im(Ez)存在趨于無窮大的奇異性.

基于激光掃描（LiDAR）和同步定位與制圖（SLAM）技術能夠精確地采集室內外三維激光點云數據，而不依賴GPS或使用復雜的慣導系統。使用SLAM算法,通過三維激光掃描實現地圖的建立。在儀器通過時，不間斷地采集精細的二維地圖數據，并記錄光學數據以及LiDAR的時間位置信息，然后根據光學數據建立彩色三維點云數據，將二維平面視圖轉換為三維立體環境。在數據采集過程中，可實時觀察采集數據的質量，并能指導數據現場采集工作，避免采集過程中出現遺漏、錯誤等情況，確保一次性完成數據采集，提高了工作效率。

圖5 單個點源激勵下,天線納米間隙內(z=H 下1 nm 截面上)主要電場分量Ez 的近場分布 (a1),(a2),(b1),(b2) 天線臂長L=Lres,1=126 nm,λres,sym=0.97 μm,λres,asym=1.10 μm (分別對應方程(10)中M=1 和N=1);(c1),(c2),(d1),(d2) L=Lres,2=272 nm,λres,sym=0.99 μm,λres,asym=1.05 μm (分 別對應M=2 和N=2);(a1)—(d1) 顯示了Re(Ez);(a2)—(d2) 顯示了|Ez|.Ez 做了歸一化(除以ΓPMMA)Fig.5.Near-field distribution of the main electric-field component Ez in the antenna nanogap (on the cross-section of 1 nm below z=H) under excitation by a single point source:(a1),(a2),(b1),(b2) For antenna arm length L=Lres,1=126 nm and wavelengths λres,sym=0.97 μm,λres,asym=1.10 μm (respectively corresponding to M=1 and N=1 in Equation (10));(c1),(c2),(d1),(d2) for L=Lres,2=272 nm and λres,sym=0.99 μm,λres,asym=1.05 μm (respectively corresponding to M=2 and N=2);(a1)-(d1)show Re(Ez);(a2)-(d2) show |Ez|.Ez is normalized (divided by ΓPMMA).

圖5 表明,隨著諧振級次增大(M或N從1 增大到2),天線單臂上的駐波振幅極大值點數量增加(從2 個增加到3 個),并且場逐漸變弱.這也可以通過SPP 模型來理解.駐波源于天線臂上兩個反向傳播SPP 的疊加,當諧振級次增大時,相應的天線臂長增大(見方程(10)),使得駐波振幅極大值點個數增多.同時,根據方程(11),隨著發生諧振時天線臂長L增大,SPP 模式系數減小,使得納米間隙中電磁場Ψgap(方程(7))減弱,這與模型預測的總自發輻射速率Γtot的降低一致(見圖3).

3.4 遠場輻射角分布

圖6 給出了在圖3(a1)和圖3(b1)的諧振波長位置,天線的遠場輻射角分布P(θ,?)=|S(r,θ,?)|/SPMMA.其中|S(r,θ,?)|是以點輻射源為中心、半徑r?λ、在空氣區域半球面上的時間平均坡印亭矢量的模.θ和?分別為極角和方位角.SPMMA=ΓPMMA/(4πr2)是位于均勻PMMA 環境中的點源在半徑為r的球面上的平均能流密度.當r→∞時,P(θ,?)將漸近地與r無關.S(r,θ,?)采用近場-遠場變換方法[75]計算得到.該方法需要利用包圍天線和點源的一個封閉曲面上的電磁場,后者可利用全波a-FMM[66,67](第1,3 列)或SPP模型方程(9)(第2,4 列)計算得到.結果表明,對于不同的狹縫寬度w=5,15,35 nm,在諧振波長λres,sym,λres,asym位置(對應諧振級次M=1(第1,2 列),N=1(第3,4 列)),SPP 模型與a-FMM 結果吻合,驗證了模型的有效性.

下面考察諧振級次及狹縫寬度w對天線遠場輻射角分布P(θ,?)的影響.圖6 表明,遠場輻射角分布強烈地依賴于諧振級次,這是由于天線遠場輻射特性由近場分布決定[51,59],后者由反向傳播的SPP 的駐波形成,其分布強烈依賴于諧振級次(如圖5 所示).隨著w的增大,對于M=1 諧振級次,P(θ,?)極大值的個數由2 個減少為1 個(右側極大值逐漸消失),最終P(θ,?)極大值位置位于(θ,?)=(47°,180°).對于N=1 諧振級次,隨著w的增大,P(θ,?)極大值的個數始終只有一個,P(θ,?)極大值的位置從(θ,?)=(3°,180°)逐漸偏移到(θ,?)=(25°,180°),逐漸接近M=1 級次的P(θ,?)(同時諧振波長λres,asym接近λres,sym),其原因見圖4 結果的模型分析.對比M=1 和N=1諧振級次的P(θ,?),可見后者數值更大,并且具有更好的定向輻射特性,即能夠在一定的物鏡數值孔徑(NA=sinθ)對應的中心角區(極角θ≤60°)內取較大的數值.這有利于提高物鏡的熒光收集效率,從而提高收集的熒光強度,對表面增強熒光[8,9,12-15]或拉曼散射[16,17,39,40]、超亮及高速光源[2,3,18,19,21]等應用有重要意義.

圖6 在單個點源激勵下,偶極納米天線的遠場輻射角分布P(θ,?).計算選取圖4 中天線臂長L=Lres,1=126 nm,以及不同的天線臂間狹縫寬度w 對應的諧振波長λres,sym(第1,2 列),λres,asym(第3,4 列) (a1)—(a4) w=5 nm,λres,sym=0.96 μm,λres,asym=1.2 μm;(b1) —(b4) w=15 nm,λres,sym=0.98 μm,λres,asym=1.06 μm;(c1)—(c4) w=35 nm,λres,sym=0.99 μm,λres,asym=1.02 μm.疊加的圓和徑向線分別對應極角θ 和方位角?Fig.6.Angular distributions P(θ,?) of the far-field emission for the dipole nanoantenna under excitation by a single point source.The calculations are for antenna arm length L=Lres,1=126 nm and resonance wavelengths λres,sym (columns 1 and 2) and λres,asym(columns 3 and 4) corresponding to different widths w of the slit between the antenna arms (as shown in Fig.4).(a1)-(a4) w=5 nm,λres,sym=0.96 μm,λres,asym=1.2 μm;(b1)-(b4) w=15 nm,λres,sym=0.98 μm,λres,asym=1.06 μm;(c1)-(c4) w=35 nm,λres,sym=0.99 μm,λres,asym=1.02 μm.The superimposed circles and radial lines correspond to the polar angle θ and azimuth angle ?,respectively.

4 結論

本文提出了一種具有寬波段自發輻射增強性能的金屬基底上光學偶極納米天線.全波數值計算結果表明,對于位于納米間隙內的輻射源,該天線的總輻射速率與遠場輻射速率增強因子分別達到5454 和1041(對應天線輻射效率19.09%).在近紅外波段,自發輻射增強(Purcell 因子超過1000)的波長范圍達到260 nm.通過改變天線臂間狹縫寬度、兩臂長度,能夠分別調節自發輻射增強的帶寬和增強因子,便于設計.該天線能夠在一定的物鏡數值孔徑對應的中心角區(極角θ≤ 60°)內獲得較強的遠場輻射,從而提高物鏡收集的熒光強度.并且,該天線屬于NPoM 結構,具有能夠精確形成納米間隙的優勢.基于上述性能,該天線能夠為熒光分子或量子點(其熒光光譜覆蓋一定的波長范圍)提供寬波段的自發輻射增強,對于高速及高亮度納米光源、高靈敏度熒光分子傳感等相關應用具有重要意義.

為了闡明天線自發輻射增強性能背后的物理機制,本文考慮天線臂上SPP 激發和多重散射的直觀物理過程,建立了一個半解析模型.該SPP 模型中所有參數都是基于Maxwell 方程組第一性原理計算獲得,不需要任何擬合過程,這保證了模型具有堅實的電磁學基礎,能夠給出定量的預測.模型能夠全面復現天線的輻射特性,包括總輻射速率、遠場輻射速率、遠場輻射方向圖等.由模型得到了兩個相位匹配條件,其能夠預測天線發生諧振時的參數,表明在此條件下,SPP 在天線臂上形成一對Fabry-Perot 共振獲得增強,該增強的SPP傳播到納米間隙內點源位置或散射到自由空間中,由此分別提高了總自發輻射速率或遠場輻射速率.并且,這一對Fabry-Perot 共振產生了一對相互靠近的諧振峰,由此形成了寬波段自發輻射增強.

附錄A 單臂納米天線的自發輻射增強特性與偶極天線臂長的確定

為確定正文中偶極天線的臂長,這里考慮如圖A1(a)所示的金基底上單根矩形金納米線構成的光學天線(下文簡稱為“單臂納米天線”).設單位系數z偏振點源位于(xs,ys,zs)=(L/2 —d,0,H/2),取坐標原點O位于金基底表面上天線中心位置.d,H,天線尺寸,折射率等的取值與正文偶極天線相同.取波長λ=1 μm,計算了歸一化總輻射速率γT=Γtot/ΓPMMA和歸一化遠場輻射速率γR=Γrad/ΓPMMA隨天線臂長L變化的曲線,如圖A1(c)所示.a-FMM[66,67]嚴格計算結果表明(藍色、紅色圓圈分別顯示了γT,γR),γT與γR呈現準周期諧振峰,前2 個峰值位置為Lres,1=126 nm,Lres,2=272nm.在諧振峰位置,γT與γR均顯著增強(γT?1,γR?1),并且峰值數值隨L增大逐漸下降,最大峰值出現在L=Lres,1,此時有γT=7089,γR=1574.

圖A1 (a) 金基底上單臂納米天線示意圖;(b) 在單個點源激勵下,SPP 模型中SPP 模式系數a1,a2,b1,b2 的定義;(c) 歸一化總輻射速率Γtot/ΓPMMA(藍色曲線)和歸一化遠場輻射速率Γrad/ΓPMMA(紅色曲線)隨天線臂長L 變化的曲線(固定波長λ=1 μm).圓圈和實線分別為全波a-FMM,SPP 模型的結果.豎直綠色虛線顯示了方程(A5)確定的發生諧振的LFig.A1.(a) Schematic diagram of a single-arm nanoantenna on a gold substrate;(b) definition of the SPP mode coefficients a1,a2,b1,b2 in the SPP model under a single point-source excitation;(c) normalized total emission rate Γtot/ΓPMMA (blue curves) and normalized radiative emssion rate Γrad/ΓPMMA (red curves) of the antenna plotted as functions of the antenna arm length L (for fixed wavelength λ=1 μm).The circles and solid curves show the results of the full-wave a-FMM and SPP model,respectively.The vertical green dashed lines show the L at resonance determined by Equation (A5).

為了解釋數值結果,下面建立SPP 模型來預測γT,γR,模型的建立過程與偶極天線類似.圖A1(b)給出了模型中的SPP 模式系數,其中a1,a2分別是由點源出發向天線左端、右端傳播的SPP 系數,b1,b2是由天線左端、右端出發向點源傳播的SPP 系數.為了確定SPP 系數,可以列出一組SPP 耦合方程:

于是,單臂納米天線與金基底之間的間隙內電磁場Ψgap及自由空間中的電磁場Ψrad可表達為

方程(A3)和(A4)中,電磁場Ψsource,與波導模式場ΨSPP,±的定義和計算方法與偶極天線相同(見正文方程(6)和方程(8)后).得到Ψgap,Ψrad后,即可分別用于計算總輻射速率Γtot和遠場輻射速率Γrad.如圖A1(c)所示,SPP 模型(實線)與全波a-FMM(圓圈)計算得到的Γtot(藍色曲線),Γrad(紅色曲線)吻合,驗證了模型的有效性.此外,值得注意的是,當改變天線長度L、點源到天線右端距離d時,SPP 模型的執行不必重復求解Maxwell 方程組(這是由于SPP 模型方程對L,d的依賴關系是解析化的,見方程(A2)),而全波a-FMM[66,67]的執行需要重復求解Maxwell 方程組,因此,SPP 模型具有更高的計算效率.這一點對于正文中偶極納米天線的SPP 模型也是成立的.與正文方程(10)類似,對于單臂納米天線,Γtot和Γrad取極大值要求SPP 系數取極大值,進而要求方程(A2)分母的模值取極小值,可得如下相位匹配條件:

其中K取整數,對應不同的諧振級次.對比方程(10)和方程(A5),可見前者取τ=0,ρ=r即成為后者,原因是偶極天線取天線臂間狹縫尺寸w→∞即成為單臂納米天線.利用方程(A5),對于固定的波長λ,有k0=2π/λ,neff,r均與天線臂長L無關,于是可確定天線發生諧振時的臂長L=Lres.方程(A5)確定的Lres(取K=1,2,3,4)如圖A1(c)中的豎直綠色虛線所示,可見能準確預測諧振峰的位置,驗證了方程(A5)的有效性.與正文方程(10)類似,方程(A5)的物理含義為,SPP 沿天線往返傳播一周所產生的相移(方程(A5)左側)為2π 的整數倍,使得多重散射的SPP 發生相長干涉疊加,由此形成了SPP 的Fabry-Perot 共振.

固定波長λ=1 μm 時,基于圖A1(c)中的a-FMM 嚴格計算結果或SPP 模型方程(A5),即可確定前2 個諧振峰對應的單臂納米天線長度Lres,1=126 nm,Lres,2=272 nm(對應K=1,2),這作為正文第3 節的計算中偶極天線的天線臂長度.由此可以預期,當偶極天線的天線臂間狹縫尺寸w→∞時,偶極天線趨于單臂納米天線,則偶極天線的諧振波長必然趨于1 μm,如正文圖3 和圖4 所示.

附錄B 棱邊、棱角圓角化對偶極天線性能的影響

對于實驗制備偶極天線可能出現的棱邊、棱角圓角化,其對偶極天線性能的影響將在這里討論.如圖B1 所示,天線棱邊、棱角圓角化分別采用與矩形表面相切的圓柱面、球面,設其半徑為R.圖B2 給出了R=2,4,6 nm 時(粉色、青色、藍色曲線),偶極天線的歸一化總輻射速率γT=Γtot/ΓPMMA(圖B2(a))和歸一化遠場輻射速率γR=Γrad/ΓPMMA(圖B2(b))隨點源輻射波長λ變化的曲線.計算采用有限元法(finite element method,FEM),使用商用軟件COMSOL Multiphysics 執行.計算固定天線臂長L=Lres,1=126 nm,臂間狹縫寬度w=10 nm.圖B2 中R=0 (紅色曲線)為無圓角化時,全波a-FMM 的計算結果(即圖3(a1)和圖3(b1)中紅色圓圈曲線).結果表明,隨著圓角化半徑R增大,γT,γR的諧振波長減小,然而,γT,γR發生增強的帶寬及其在諧振峰位置的數值變化很小.

圖A1 偶極天線棱邊、棱角圓角化后的俯視圖(a)、側視圖(b).圖中紅點代表輻射點源Fig.B1.Top view (a) and side view (b) of the dipole antenna with rounded edges and corners.The red dot represents the emission point source.

圖A2 對于不同圓角化半徑R 的偶極天線(對應不同顏色的曲線),在單個點源激勵下,歸一化總輻射速率Γtot/ΓPMMA (a)和歸一化遠場輻射速率Γrad/ΓPMMA (b)隨波長λ 變化的曲線.計算采用a-FMM(紅色曲線)和FEM(粉色、青色、藍色曲線).選取天線臂長L=Lres,1=126 nm,臂間狹縫寬度w=10 nmFig.B2.For the dipole antenna with different radii R of rounded edges and corners (corresponding to curves of different colors),the normalized total emission rate Γtot/ΓPMMA (a) and normalized radiative emission rate Γrad/ΓPMMA (b) under excitation by a single point source,which are plotted as functions of wavelength λ.The calculation is performed with the a-FMM (red curves) and the FEM (pink,cyan,and blue curves).The antenna arm length is L=Lres,1=126 nm,and the width of the slit between the antenna arms is w=10 nm.