排列組合解題中的“物理”操作

魯和平

排列組合是高中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)章節(jié)，它對(duì)考查學(xué)生思維的嚴(yán)密性、深刻性、廣闊性等具有不可替代的作用，也為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)“組合數(shù)學(xué)…‘概率統(tǒng)計(jì)”奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).但在排列組合解題中，有些題目所需要的思維方式，卻超出了數(shù)學(xué)的范疇.如果僅僅停留在數(shù)學(xué)苑網(wǎng)“深挖洞”，可能最終導(dǎo)致無功而返.如果進(jìn)一步拓廣思維視野，跳出數(shù)學(xué)的方寸天地，就會(huì)豁然開朗，姑且把這種思維方式，稱為“物理”操作.簡而言之，就是要通過一系列的“物理”操作，才能完成解題過程.

一、重構(gòu)操作

即根據(jù)題目的意思，在保持原題本質(zhì)不變的前提下，重新設(shè)計(jì)操作程序，使新的操作設(shè)計(jì)更加貼近題意，更具“數(shù)學(xué)化”.

例1 袋子里有紅、黑、白、黃四種顏色的大小相同的小球各10個(gè).每種顏色的10個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、…10.若從中任取4個(gè)小球，這4個(gè)小球顏色互不相同，且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的不同取法共有多少種？

解析首先假想準(zhǔn)備10個(gè)無顏色無標(biāo)號(hào)的10個(gè)大小相同的小球.①將其中的6個(gè)球擺好，這6個(gè)球連同左右兩邊一共形成7個(gè)空位，②在上述7個(gè)空位中，插入另外4個(gè)小球，共有C7種，并將這4個(gè)小球做好記號(hào)，③將上述10個(gè)小球從左到右標(biāo)上序號(hào)：1，2，3，…10.④將插入并做好記號(hào)的4個(gè)小球取出，給小球依次在“紅、黑、白、黃”四種顏色中任選一種涂色，則4個(gè)小球的涂色方法數(shù)為：A4.⑤則合乎題意的不同取法共有：Ⅳ=C4.A：= 840種.

例2從1，2，3，…，9中任取5個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求其中僅含有兩個(gè)連續(xù)的數(shù)，且這兩個(gè)連續(xù)的數(shù)相鄰的五位數(shù)有多少個(gè)？

解析①將余下的4個(gè)數(shù)，當(dāng)作4個(gè)相同的小球擺成一排，則一共留出（包括左右兩邊）5個(gè)空位.

②將連續(xù)的2個(gè)數(shù)看作2個(gè)小球，捆綁成1個(gè)小球，插入5個(gè)空位中的1個(gè)空位.

③將余下的4個(gè)空位中插入另外3個(gè)小球.

④標(biāo)記插入的4個(gè)單位的“球”，

⑤將這8個(gè)小球（實(shí)質(zhì)上是9個(gè)）從左至右依次編號(hào)1、2、3、…、9.

⑥取出插入的4個(gè)單位的“球”，

⑦將這有編號(hào)的4個(gè)單位的“球”全排列成五位數(shù).

⑧依題意，滿足要求的五位數(shù)共有：G3.C4.A2.A4=960個(gè)，

二、退步操作

對(duì)于有范圍限制的排列組合問題，可以先退步思考，滿足題設(shè)條件，使限制范圍變得單一常規(guī)，再根據(jù)組合模式，尋找進(jìn)一步的解題方法.

例3將15個(gè)大小相同的小球放人標(biāo)有“1，2，3，4”編號(hào)的盒子里.則每個(gè)盒子里放入的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)數(shù)的放法一共有多少種？

解析①如圖l所示，預(yù)先在2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)盒子里依次投入1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)小球，則剩余9個(gè)小球，②將剩余的9個(gè)小球擺成一排，中間留出8個(gè)空位，③在上述8個(gè)空位里，任意插入3塊隔板.④則滿足題意的方法一共有：C8=56種.

例4已知M={l，2，3，…，12}，從集合M中任取4個(gè)數(shù)，要求這4個(gè)數(shù)中，至少有2個(gè)數(shù)相鄰，問共有多少種取法？

解析①從集合M中任取4個(gè)數(shù)，共C12 種.②將剩余的8個(gè)數(shù)，當(dāng)作8個(gè)相同的小球擺成一排，一共留出包括左右兩邊9個(gè)空位，③在9個(gè)空位中插入4個(gè)小球，并標(biāo)上記號(hào)，④將上述12個(gè)球，從左至右，按1，2，3，…，12編號(hào).⑤將標(biāo)上記號(hào)后插入的4個(gè)小球取出，則這4個(gè)小球號(hào)碼各不

三、配位操作

對(duì)于“搭配”問題，可以先進(jìn)行配位操作，使之成為一個(gè)“大單位”的“元素”，再按照常規(guī)思路考慮.

例6公園里有3人坐在8把椅子上，坐好后，若每人的左右兩邊都要有空椅，則有多少種不同的坐法？

解析①先將不坐人的5把椅子排成一排，中間一共留下4個(gè)空位.②將3個(gè)人安排，每人坐一把椅子，③將“人+椅子”看作1個(gè)單位的“人”，在上述4個(gè)空位中選擇3個(gè)空位推進(jìn)去，④滿足題意的坐法共有：A4= 24種.

四、無為操作

對(duì)于有些題目，表面上看是有序排列問題，但深入細(xì)究，卻是組合問題.因?yàn)楦鱾€(gè)元素是相異的，本身就存在天然的次序，這就需要“無為而治”，相反地，如果真正“有為操作”，則會(huì)弄巧成拙.

例7把五位數(shù)abcde中滿足“a>b>c.c

解析①從“0，1，2，3，…，9”中任取5個(gè)數(shù)，共有c5。種，將取出的5個(gè)數(shù)中最小的數(shù)賦給c.②從取出的5個(gè)數(shù)剩余的4個(gè)數(shù)取出2個(gè)數(shù)，共有C2種，將取出的2個(gè)數(shù)中較大的賦給a，較小的賦給b.③將5個(gè)數(shù)中還剩余的2個(gè)數(shù)，較大的數(shù)賦給e，較小的賦給d.④綜上所述：五位“凹數(shù)”一共有：C10.C4= 1512個(gè)，

五、筑巢操作

對(duì)于有些排列組合問題，單從表面思考，很難找到突破口.若將此問題放置在一個(gè)大的背景下思考，則會(huì)迅速迸發(fā)出思維的火花，給一個(gè)較難的問題，安置一個(gè)大背景，形象地稱之為“筑巢操作”.

例8在平面直角坐標(biāo)系中，x軸正半軸上有5個(gè)點(diǎn)，，軸正半軸上有3個(gè)點(diǎn)，將x軸上這5個(gè)點(diǎn)與y軸上這3個(gè)點(diǎn)，連成15條線段，這15條線段在第一象限的交點(diǎn)最多有多少個(gè)？

解析如圖3所示，①從x軸正半軸上的5個(gè)點(diǎn)中任選2個(gè)點(diǎn)，共有C5種.②從y軸正半軸上的3個(gè)點(diǎn)中任選2個(gè)點(diǎn)，共有C3種.③以上選出的4個(gè)點(diǎn)，共可構(gòu)成C3.C2=30個(gè)四邊形，④每個(gè)四邊形的對(duì)角線都有1個(gè)交點(diǎn).⑤滿足題意的交點(diǎn)最多有30個(gè)，

六、符號(hào)操作

對(duì)于題目所描述的現(xiàn)象，可以抽象為用數(shù)學(xué)符號(hào)來闡釋，把這一類操作稱為“符號(hào)操作”，它的好處在于能迅速建立操作與數(shù)學(xué)符號(hào)的有機(jī)聯(lián)系，為數(shù)學(xué)化解決問題做好鋪墊.

例9 A，B，C，D，E站成一圈傳球，每人只能將球傳給其左右相鄰兩人中的一人.由A開始傳出（算作第一次），經(jīng)過10次傳球后又回到A的傳球方式共有多少種？

解析記向左傳為“+1”，向右傳為“一l”.由A開始傳出10次球后，又回到A，就是在10個(gè)“1”前面添加正號(hào)或負(fù)號(hào)，使其代數(shù)和為10，或0.或- 10.

①當(dāng)代數(shù)和為“10”時(shí)，全是“+”，有1種，

②當(dāng)代數(shù)和為“- 10”時(shí)，全是“一”，有1種.

③當(dāng)代數(shù)和為“0”時(shí)，即有5個(gè)“+”.5個(gè)“一”，共有C510= 252種，

④綜上所述：滿足題意的傳球方式有：1+1+252= 254種.

（收稿日期：2022 -03 - 12）