“齊次化”思想在求解數學問題中的應用

楊玉坡

在許多問題解決的過程中，經常利用一些定理、公式等本身有“比值”這一基本特征來構造相關數學元素的“齊次”結構解答問題，這就是數學解題中的“齊次化思想”，運用“齊次化”思想，可以較快地尋找到解決問題的思路或使問題得到較好地解答，

點評由題意化簡所給的三角函數式，然后利用關于sinθ，cosθ的“齊二次”式后，利用同角的“商數關系”分子、分母同時除以cos2θ轉化為tanθ的式子代人求值.齊次化思想在求解本題中得到了很好地體現.

點評 本題（ I）首先利用正弦定理將條件3csinB= 4asinC化為關于邊長a、b的“齊一次”式，進而得到a，b，c的比例關系，然后利用余弦定理得到關于a，b，c的“齊二次”式，代入求得cosB的值，充分體現了“齊次化”思想的應用.

點評 本題（I）直接利用余弦定理的“齊二次”結構建立邊c的方程求解;（Ⅱ）利用正弦定理的“齊一次”結構變形后，利用三角恒等變換和誘導

點評該解法首先進行“1”的代換：1 =2a +b.化為關于a，b的二次齊次分式后變形為基本不等式的結構形式，利用基本不等式求得最值.

通過以上幾個方面的應用可以看到，這些可以借助“齊次化”解決的問題的一個共同背景是：某個目標值的取值并不依賴于哪個變量，而是依賴于這些變量的“比值”，這樣，構造齊次式以后，可以讓這些比值“顯現”出來，從而解決問題.

（收稿日期：2022 -03 -03）