高考不等式恒成立問題研究

楊小兵

不等式恒成立問題是高考的重點、熱點、難點，它具有知識、邏輯、思維、心理上的難度，涉及不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程等主干知識，是對數(shù)學(xué)知識的綜合考查，在每年的高考試題命制當中備受命題人的青睞，不等式恒成立問題對學(xué)生的基本知識、基本技能、數(shù)學(xué)思維要求較高，既需要良好的基本功又需要一定的數(shù)學(xué)思維，在解題過程中滲透著對數(shù)學(xué)思想方法的考查.本文對近年高考試題進行研究，篩選了一些典型的試題，總結(jié)出不等式恒成立問題四種常見類型和八種解決方法.

評注 先進行等價轉(zhuǎn)換，再從圖像變換的角度理解f（x+1）=2f（x），再結(jié)合函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖像，進而求解不等式.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”，數(shù)與形是數(shù)學(xué)最基本的研究對象，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換，“數(shù)”具有抽象性，“形”具有直觀性，數(shù)形結(jié)合將抽象思維和形象思維相結(jié)合，使研究的問題得到簡化，

評注 分類討論法是處理含參不等式恒成立問題的常用方法，分類時首先應(yīng)該選擇分類的對象（即對什么量進行分類）.其次確定分類的標準（即怎樣分類），再次深化分類的層次（即是否二級分類、三級分類等），然后用所選級標準進行檢驗篩選.最后總結(jié)概括結(jié)論，分類討論的關(guān)鍵是如何找到分類的標準，做到不重不漏，并力求最簡.

評注 換元法是高中數(shù)學(xué)常用方法，其實質(zhì)是轉(zhuǎn)化和等量代換，同時是將一個復(fù)雜的式子看作整體進行換元，可以起到簡化問題結(jié)構(gòu)使問題清晰明了，特別是函數(shù)式中出現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)式、對數(shù)函數(shù)式、三角函數(shù)式等可以考慮利用換元法，需要注意的是“換元必換限”，即進行換元后，定義域也隨之改變，

評注 分離參數(shù)法可以使所得函數(shù)不含參數(shù)，進而將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，其缺點是有時函數(shù)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，可能含有超越函數(shù)式、需要多次求導(dǎo)、極值點不好確定、不存在極值等問題.

評注 先進行等價轉(zhuǎn)換，構(gòu)造一個新的函數(shù)，那么可以將所證不等式轉(zhuǎn)化為-6≤f（x）-x≤0，再令g（x）=f（x）-x，進而對g（x）進行求導(dǎo)，通過g’（x）的正負，判斷g（x）在給定區(qū)間的單調(diào)性和極值即可得證

評注 求解參數(shù)范圍的不等式恒成立問題是高考的重點也是難點.賦值法分為兩步：首先確定不等式在所給區(qū)間成立的必要條件，其次再證明充分性，在確定必要條件時可以在所給區(qū)間取一個特殊值求出參數(shù)范圍，所取特殊值一般為端點、零點、極值點、或隱含于所給區(qū)間，處理解析式中含有多個超越函數(shù)（三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）、參數(shù)不易于分離、不易求最值的參數(shù)不等式等能夠減少不必要的討論，使問題簡潔明了.

評注 首先需要有整體的思維將不等式兩端分別看成兩個函數(shù)，其次進行等價轉(zhuǎn)換，再次根據(jù)切線斜率求出k的值，最后討論構(gòu)造函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)最小值、最大值進而得到答案.

數(shù)學(xué)知識體系中的各個知識點并不是孤立存在的，各個知識之間存在一定的關(guān)聯(lián)，正是因為這種知識之間的聯(lián)系，對于同一個問題可以從不同的角度采取不同的方法進行解決.本文從四個角度、八種方法對不等式恒成立問題進行了解析，但是不等式恒成立問題的類型遠不止這四種，近年高考對雙量詞的不等式恒成立問題考查較少，但是這個大類型是不等式恒成立問題的難點，希望有興趣的讀者自行研究.