旋轉盤面上靜摩擦力變化問題的討論

孫林源

習題講評教學是高考復習過程中最為常見的課型之一，習題講評的效果優劣直接影響課堂教學的效果，在高三教學聽課調研活動中，常看到教師就題論題，蜻蜓點水，對試題講不清、講不透：學生看似聽著明白，但試題一換包裝，學生照樣不會.究其原因還是課堂過多關注知識與技能訓練，對學生能力的培養做的不夠，在習題講評中立足試題，關注變式，追根究底，揭示本質，突顯高階思維能力的培養;善于運用分析、綜合、評價、反思的教學手段改進課堂教學，助力核心素養的培育.

靜摩擦力是高中物理比較難的知識點之一，因其產生的原因是由于物體間具有相對運動的趨勢，而又未發生相對運動，因而在判斷起來難度較大.通常解決問題的做法是假設法，假設兩個物體之間的接觸面光滑，進而判斷出物體之間相對運動的方向，以此來判斷靜摩擦力的方向;而其大小則是根據平衡條件或者牛頓第二定律列式子進行求解.但是遇到與圓周運動結合的題目，處理起來又比較麻煩，尤其是靜摩擦力大小方向均會隨著圓周轉動而發生變化的題目，學生更加迷茫，理解起來也比較難，本文就水平轉動轉盤上靜摩擦力變化問題進行重點討論，試著總結解決此類問題的方法，如有不當之處，敬請批評指正.

例題如圖l所示，一水平圓形轉盤上放置有兩木塊A、B，質量都為m，距圓心O的距離分別為2r和r.兩木塊與轉盤之間的動摩擦因數均為μ，兩木塊之間用一根不可伸長的輕繩連接，開始時輕繩處于水平狀態但無拉力.現轉盤繞圓心開始緩慢加速（在任意時刻均可近似認為是勻速轉動），設木塊與圓盤之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，輕繩可承受的拉力足夠大，重力加速度為g.

（1）為使兩木塊與轉盤始終保持相對靜止，試求轉盤角速度的最大值ωm;

分析 開始時轉盤緩慢轉動，轉盤對木塊A、B的靜摩擦力都可以提供木塊A、B做圓周運動的向心力，A、B之間的輕繩處于水平但無拉力，此時木塊A、B的靜摩擦力不相等，A在外側，所需要的向心力較大，A所受的靜摩擦力較大，這時是不是隨著轉盤角速度的增大，一定是木塊A先達到最大靜摩擦力？（你確定嗎？）

假設木塊A先達到最大靜摩擦力，此時轉盤的角速度為ω1

由此可見，當角速度ω>ω1，時，隨著角速度的逐漸增大，木塊B所受的靜摩擦力FB將逐漸減小，（注意此時木塊A所受的靜摩擦力達到了最大靜摩擦力）

會不會木塊B所受的靜摩擦力保持不變，木塊A所受的靜摩擦力隨轉盤角速度的逐漸增大而逐漸增大呢？顯然不會！（因為此時木塊，4所受的靜摩擦力達到了最大靜摩擦力，不可能再隨著轉盤角速度的逐漸增大而再增大了.）

故木塊A在這兩個時刻所受到的靜摩擦力大小之比為1：2.

點評本題關鍵之處在于判斷木塊A、B所受靜摩擦力誰先達到最大，隨輕繩被拉緊后，誰的靜摩擦力會發生變化以及如何變化的問題，需要認真討論，可采用假設法進行推理;經過上述過程分析之后，題目解答就清晰明了.

變式1如果題干不變，請計算木塊B在這兩個時刻所受到的靜摩擦力大小之比為多少？

思考 你認為難點是什么？木塊B所受靜摩擦力的方向如何？變化了沒有？大小怎么計算？請思考一下.

解析顯然，題目變形后，本質沒變.只是問法變化，難點就是木塊B所受靜摩擦力會隨著轉盤角速度的增大而發生變化，其大小會先增大，再減小，再反向增大;方向是先指向圓心，后變為背離圓心，

點評 木塊B所受靜摩擦力的方向變化，是解決這道題必須要思考的問題.由于不知道角速度為多少時，木塊B的靜摩擦力會發生變化，因此求解時，要采用假設法進行分析;如果結果算出靜摩擦力為正值，說明假設成立;如果算出來為負值，必須進行說明靜摩擦力的方向與假設的方向相反，同時，會關注到木塊A的靜摩擦力不變的事實，這為精確計算做好了鋪墊.（當然，根據上面的分析是可以求出木塊B靜摩擦力為零時轉盤的角速度的具體值的，你可以試試看.）

是不是覺得這類題目的分析，你一定掌握了吧！真的嗎？試試下面的改編題，

由于分析此類試題關鍵問題在于題干分析與討論，對所設問的問題回答不算難事，因此下面的題目改編，就重點關注題干的改編上.

改編如圖4所示，一水平圓形轉盤上放置有兩木塊A、B，A的質量為m，B的質量為3m;距圓心O的距離分別為2r和r.兩木塊與轉盤之間的動摩擦因數均為肛，兩木塊之間用一根不可伸長的輕繩連接，開始時輕繩處于水平狀態但無拉力，現轉盤繞圓心開始緩慢加速（在任意時刻均可近似認為是勻速轉動），設木塊與圓盤之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，輕繩可承受的拉力足夠大，重力加速度為g.

試分析兩木塊與轉盤始終保持相對靜止的運動過程，并求出轉盤角速度的范圍.

分析開始時轉盤緩慢轉動，轉盤對木塊A、B的靜摩擦力都可以提供木塊A、B做圓周運動的向心力，A、B之間的輕繩處于水平但無拉力，此時木塊A、B的靜摩擦力不相等，A在外側，所需要的向心力較大.A所受的靜摩擦力較大.

不妨換一下研究對象進行分析，

假設木塊B先達到最大靜摩擦力，此時轉盤的角速度為ω1，

是不是這樣分析：當角速度ω>ω1時，隨著角速度的逐漸增大，木塊B所受的靜摩擦力Fa將逐漸增大.（因為此時木塊，4所受的靜摩擦力達到了最大靜摩擦力）直到木塊B的靜摩擦力也達到了最大，隨后平衡系統被打破，

請問情況真的是這樣嗎？請畫出此時的木塊A.B的狀態示意圖，仔細想一想木塊A、B以后將會如何運動呢？

疑惑如圖5所示為此時木塊A、B的狀態圖，

木塊A、木塊B同時都達到了最大靜摩擦力，其最大靜摩擦力方向都指向圓心，那么轉盤加速度再增大時，不就是木塊A、木塊B都有背離圓心向外運動的趨勢嗎？輕繩會不斷拉緊，只要輕繩沒有被拉斷，木塊A、B系統永遠不會有滑動！系統永遠會保持相對靜止！這是真的嗎？

這個問題可以通過實驗去檢驗.經過真實的實驗操作，會看到，只要轉盤的角速度增大到某一數值時，木塊A、B系統的相對平衡就會被打破.并不會按照上述的分析，轉盤的角速度可以無限大時，系統還會保持相對平衡.

那么，問題出現在哪里呢？你是不是也覺得分析無懈可擊呢？

解惑 審視一下解題過程，應該會找到問題出現的地方可能是：

仍按照前面分析思路進行這樣的假設，假設木塊A所受靜摩擦力不變（因為此時木塊A靜摩擦力恰好達到了最大，所以認為是不變！）.物塊B所受靜摩擦力會隨著轉盤角速度的增大而繼續增大！那么，會不會存在這個可能呢？木塊B的靜摩擦力保持不變！隨著轉盤角速度的逐漸增大，木塊A的靜摩擦力逐漸減少呢？

點評 通過例題和改編題的分析不難看到，這類試題分析的難度較大，由于靜摩擦力會隨著轉盤角速度的變化而變化，并且題目條件發生改變時，對于哪個木塊的靜摩擦力會發生變化，那個木塊的靜摩擦力不會變換，判斷起來有很大的難度，迷惑性太大了！

怎么辦？總不能就題論題吧？是不是總感覺有某種規律性的東西在呢？

歸因對比例題和改編題，不難發現它們的不同之處在于：木塊所受的向心力不一樣：

例題中：mArAω22>mBrBω2且A在外，B在內.整個系統隨著轉盤角速度的增大，所需要的向心力也在增大，系統提供的靜摩擦力也隨之增大;從供需關系上看，首先是木塊B先滿足需求，后是木塊A滿足需求，當兩者都滿足需求時靜摩擦力也恰好達到最大，系統相對平衡就會打破，系統將會沿著BA方向移動.

改編題中：mArAω2

可不可以大膽地這樣推測：當mArAω2=mBrBω2時，系統將保持相對平衡，不會移動;直至輕繩被拉斷為止.

這是不是可以作為一個結論去應用呢？

驗證觀察圖7的幾幅圖片，直觀的運用上面結論去判斷，然后再深入分析一下，檢驗結論是否正確，判斷結果圖7a滿足mArAω2< mBrBω2，所以系統必然最后沿AB連線方向移動，系統相對平衡被打破;其過程是隨著轉盤角速度的增大，木塊靜摩擦力都增大，一定是最外面的木塊A先達到最大靜摩擦力;隨后轉盤角速度的增大，輕繩產生拉力，木塊B靜摩擦力保持不變，木塊A的靜摩擦力方向不變先逐漸減小到零，后靜摩擦力方向反向，大小逐漸增大，增大到最大靜摩擦力;后隨轉盤角速度再增大，木塊B的靜摩擦力接著逐漸增大，直到達到最大靜摩擦力，隨后系統相對平衡打破，系統將沿AB方向移動，

圖7b滿足mArAω2< mBrBω2，所以系統必然最后沿AB連線方向移動，系統相對平衡被打破：其過程是隨著轉盤角速度的增大，木塊靜摩擦力都增大，一定是最外面的木塊B先達到最大靜摩擦力：隨后轉盤角速度的增大，輕繩產生拉力，木塊B靜摩擦力保持不變，木塊A的靜摩擦力方向不變先逐漸減小到零，后靜摩擦力方向反向，大小逐漸增大，增大到最大靜摩擦力;隨后系統相對平衡打破，系統將沿AB方向移動，

圖7c滿足mArAω2>mBrBω2所以系統必然最后沿BA連線方向移動，系統相對平衡被打破：其過程是隨著轉盤角速度的增大，木塊靜摩擦力都增大，一定是最外面的木塊B先達到最大靜摩擦力;隨后轉盤角速度的增大，輕繩產生拉力，木塊A靜摩擦力保持不變，木塊B的靜摩擦力方向不變先逐漸減小到零，后靜摩擦力方向反向，大小逐漸增大，增大到最大靜摩擦力;后隨轉盤角速度再增大，木塊A的靜摩擦力接著逐漸增大，直到達到最大靜摩擦力，隨后系統相對平衡打破，系統沿BA方向移動.

通過以上討論，希望能給大家帶來一定的啟發.當然，也可能有一些不太準確的說法，敬請提出批評.