摭談彈力和摩擦力突變問題

孟擁軍

彈力和摩擦力是被動力，即沒有獨立自主的大小或方向，要看物體受到的主動力及運動狀態而定，從而處于“被動”地位.當物體的受力情況或運動情況發生變化時，物體受到的彈力、靜摩擦力的大小、方向通常會發生變化，表現出它們對物體運動情況和受力情況的變化具有被動適應性.實際問題中正因為它的應變性，從而產生一些彈力或摩擦力突變的臨界問題.彈力和摩擦力的突變（如從有到無，從無到有或方向改變，由靜到動或由動到靜等），又會導致物體的受力和運動性質的突變，其突變點（時刻或位置）往往具有很深的隱蔽性，若對彈力和摩擦力的產生、性質和特點不夠理解，沒掌握方法，很難分析出臨界態，挖出隱含條件，稍不留神就錯了.這種問題是高中物理的一大難點.

一、彈力突變問題

繩、桿和接觸面產生彈力時，它們的形變量一般極其微小，恢復形變的時間忽略不計，所以它們形成的彈力可以突變，而彈簧、橡皮筋和蹦床的形變，恢復形變時發生位移較大，恢復時不可忽略，所以它們形成的彈力不可以突變，

例1 如圖1所示，質量為m的小球被一根橡皮筋AC和一根繩BC系住，當小球靜止時，橡皮筋處在水平方向上.思考下列問題：

（1）當小球靜止時，AC相BC對小球的拉力為多大？

（2）在AC被突然剪斷的瞬間，BC對小球的拉力為多大？

（3）在BC被突然剪斷的瞬間，AC對小球的拉力為多大？

（4）若將AC換成細繩，在BC被突然剪斷的瞬間.AC對小球的拉力為多大？

分析與解當小球靜止時，由三力平衡條件可知：FBC= mg/cosθ，FAC=mgtanθ.在AC被突然剪斷的瞬間，小球向下擺動，小球從靜止開始做加速圓周運動，在此瞬間FBC - mgcos0=0，所以BC對小球的拉力FBC= mgcosθ.可見BC對小球拉力發生突變，但不是零，在BC被突然剪斷的瞬間，因為橡皮筋的彈力不能突變，所以FAC= mgtanθ.若將AC換成細繩，在BC被突然剪斷的瞬間，小球向下擺動，小球從靜止開始做加速圓周運動，此瞬間小球速度為0，所需向心力為0，所以FAC=0，即繩子彈力可突變為0.

反思由以上解答可以發現：解決此類“突變”問題，首先分析物體“突變”前的受力情況，找出其大小關系.其次分析“突變”瞬間，哪些量發生了變化，哪些量未發生變化，特別要關注研究對象的運動情況，根據運動的供需關系確定研究對象在突變后所受的合力.

二、摩擦力突變問題

靜摩擦力是被動力，其大小和方向一般根據物體的運動狀態，利用平衡條件或牛頓定律分析計算得到，方向的確定還經常用假設法.如假設接觸面絕對光滑，此時物體的運動狀態是否與給定狀態相矛盾，它們的特點可以概括為“按需施給”.摩擦力突變問題的類型如下：

1.“靜一靜”突變

物體在靜摩擦力和其他力的作用下處于相對靜止狀態，當作用在物體上的其他力的合力發生變化時，如果物體仍然保持相對靜止狀態，則物體受到的靜摩擦力將發生突變.

例2如圖2所示，質量為m的物塊放在固定斜面上處于靜止狀態，分析下列問題：

（1）物塊受到的摩擦力;

（2）給物塊一個沿斜面向上的力F作用，仍處于靜止狀態，分析物塊受到的摩擦力;

（3）給物塊一個沿斜面向上的力F作用，F的大小隨時間變化的規律如圖3所示，取沿斜面向上為摩擦力F，的正方向，定性畫出在O-t。時間內物體所受的摩擦力F隨時間￡的變化規律的圖象？

分析與解（1）物塊在斜面上始終處于平衡狀態，沿斜面方向受力平衡，則有Ff= mgsinθ，方向沿

反思 彈力或靜摩擦力的大小和方向由物體所受到的其它力的情況及運動狀態決定.當物體受力情況變化時，為適應這種變化，物體受到的彈力和靜摩擦力大小、方向將隨之變化.所以分析彈力或靜摩擦力時，首先要分析物體的運動狀態和其他外力的情況，然后運用運動狀態的條件和牛頓定律建立Ff與t的函數關系.

2.“動一靜”突變

在滑動摩擦力和其他力作用下，物體突然停止相對滑動時，物體將不受滑動摩擦力作用，或滑動摩擦力“突變”成靜摩擦力.

例3（2021遼寧卷）機場地勤工作人員利用傳送帶從飛機上卸行李.如圖5所示，以恒定速率v1.=0.6 m/s運行的傳送帶與水平面間的夾角a=37°，轉軸間距L=3.95 m.工作人員沿傳送方向以速度v2，=1.6 m/s從傳送帶頂端推下一件小包裹（可視為質點）.小包裹與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.8.取重力加速度g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37° =0.8.求：

（1）小包裹相對傳送帶滑動時加速度的大小a;

（2）小包裹通過傳送帶所需的時間t，

分析與解（1）小包裹的速度v2，大于傳送帶的速度v1，所以小包裹受到傳送帶的摩擦力沿傳送帶向上，根據牛頓第二定律可知

延伸思考遇到摩擦力“動一靜”轉化的問題有兩個類別：（1）滑動摩擦力隨正壓力的變化而變化，如圖6（a）所示，靠在豎直粗糙墻壁上的物塊在t=0時被無初速釋放，此時開始受到一隨時間變化規律為F=kt的水平力作用，開始，物體與墻的相對速度為0，因為F=0，所以物塊在重力作用下開始向下滑動.下滑過程中物體受到的滑動摩擦力為f=μN= μkt，與時間成正比，隨時間的推移f增大，物體減速運動，當速度減到零時，此時物體墻壁相對速度為零.易錯點是：物體在速度為0之前滑動摩擦力大于mg，在速度為0之后處于靜止狀態，f=G，所以速度為0的前后時刻，即“動一靜”轉化，摩擦力有突變.（f-t圖如圖6（b）所示）.

（2）接觸面的正壓力不變，但有相對運動，當接觸面的相對速度為0時，接下來是相對靜止呢還是相對滑動呢？這是一個轉折點.摩擦力總阻礙物體間相對滑動，既然相對速度為0，就一定相對靜止嗎？問題是保持相對靜止時，沿接觸面方向的其他外力的合力（F供）與最大靜摩擦力的關系如何，若F供≤fmax，則相對靜止，實際的靜摩擦力等于F供;若F供>fmax會相對滑動，這時受到了滑動摩擦力的作用，方向沿與相對運動的方向相反. 3.“靜一動”突變 在靜摩擦力和其他力作用下處于相對靜止狀態，當其他力變化時，如果物體不再保持相對靜止狀態，則物體受到的靜摩擦力將“突變”成滑動摩擦力

例4（2021高考全國乙卷）水平地面上有一質量為m.的長木板，木板的左端上有一質量為m，的物塊，如圖7所示.用水平向右的拉力F作用在物塊上，F隨時間t的變化關系如圖8（a）所示，其中F.、F2分別為t1、t2時刻F的大小.木板的加速度a1隨時間t的變化關系如圖8（b）所示.已知木板與地面間的動摩擦因數為μ1，物塊與木板間的動摩擦因數為μ2.假設最大靜摩擦力均與相應的滑動摩擦力相等，重力加速度大小為g，則（

）.

分析與解 本題通過物塊木板模型，分別以F-t圖像和a-t圖像給出解題信息，考查摩擦力“靜一動”轉化，要求考生能從運動和相互作用的視角進行推理論證.由8（b）可知，在0-t1時間內，木板加速度為零，木板靜止，在t1～t2時間內，木板加速度逐漸增大，￡，時間后，木板加速度為恒量.由圖8（a）可知，在0-t時間內，物塊與木板之間摩擦力為靜摩擦力，物塊靜止，木板靜止.在t1-t2時間內，物塊與木板之間摩擦力為靜摩擦力，物塊與木板相對靜止，木板相對地面滑動，所以選項D正確：把物塊和木板看作整體，在t1時刻，牛頓第二定律.F1=μ1（m1+m2 ）g，選項A錯誤;t2時間后，由圖8（b）木板加速度不變，拉力F增大，物塊相對于木板滑動，木板所受的滑動摩擦力為恒力，做勻加速直線運動.設t2時刻木板加速度為a，此時刻對木板，由牛頓第

反思摩擦力“靜一動”轉化問題：靜摩擦力的大小有一定的取值范圍0≤f≤fm，這是由它們的施力物體對受力物體的約束性質和具體約束條件決定的.在這個范圍內，能表現出它們對物體運動情況或受力情況變化的適應性.超過了這個范圍，物體的運動情況就不受約束條件的限制，靜摩擦力就不再具有對物體運動情況或受力情況變化的適應性.它們的臨界值往往對應著物體所處的臨界狀態，把握臨界狀態，是正確認識物體受到靜摩擦力的大小和方向隨物體受力和運動情況的變化而變化的全過程的關鍵.這就是摩擦力“靜一動”轉化問題的解題思想.

4.“動一動”突變

物體受到滑動摩擦力和其他力的共同作用，當兩物體間的壓力發生變化時，滑動摩擦力的大小隨之而變：或者兩物體達到共同速度時相對滑動方向發生變化，滑動摩擦力的方向也會隨之而變.

例5 近年來網上購物發展迅速，使得物流業迅速發展起來，圖9為某快遞物流中心用傳送帶分流物品的示意圖，傳送帶以恒定速度”=4 m/s順時針運行，傳送帶與水平面的夾角θ=37°.現將質量m=2 kg的小物品由靜止輕放在其底端（小物品可看成質點）.平臺上的人通過一根輕繩用恒力F=20 N拉小物品，經過一段時間物品被拉到離地面高為H=1.8 m的平臺上，如圖9所示.已知物品與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.5，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10 m/s2，已知sin37°=0.6.cos 37°=0.8.

（1）求物品達到與傳送帶相同速率所用的時間：

（2）物品從傳送帶底端運動到平臺上所用的時間是多少？

（3）若在物品與傳送帶同速瞬間撤去恒力，，則物品還需多少時間才能到達平臺？

反思摩擦力“動一動”轉化問題：接觸面是否保持相對靜止，取決于沿接觸面方向的其他外力的合力（F供）與最大靜摩擦力的關系如何，若F>fmx，接觸面一開始就相對滑動，如果物體相對接觸面運動有滑動摩擦力，變速后F供>fmax，則滑動摩擦力反向后仍然相對滑動，只是方向發生了變化.