基于“軌跡坐標(biāo)”的競賽小車凸輪設(shè)計(jì)

梁國棟，霍海濤，王 怡，石紀(jì)新

(1.天津科技大學(xué)工程訓(xùn)練中心，天津 300222；2.天津科技大學(xué)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控與評(píng)估中心，天津 300222；3.天津科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222)

中國大學(xué)生工程實(shí)踐與創(chuàng)新能力大賽是列入《教育部評(píng)審評(píng)估和競賽清單(2021年版)》(教政法廳函〔2021〕2號(hào))的重要賽事[1].大賽里工程基礎(chǔ)賽道中的勢能無碳小車和熱能小車?yán)@障行駛競賽項(xiàng)目，繞障的難度逐屆增加，從早期的“8字形軌跡”“直道S形軌跡”，逐步提高為“雙8字形軌跡”“環(huán)道S形軌跡”，直至2021年的新“環(huán)形軌跡”和新“8字形軌跡”，每次競賽的繞樁難度較上一次都明顯提升，導(dǎo)致繞樁軌跡越來越復(fù)雜.實(shí)際上，軌跡的變化對(duì)于小車的最根本影響是凸輪輪廓的變化.為了設(shè)計(jì)出滿足競賽小車運(yùn)行軌跡要求的凸輪，本文介紹一種基于“軌跡坐標(biāo)”的競賽小車凸輪設(shè)計(jì)方案.文中所述凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法，能夠全面應(yīng)對(duì)賽題避障軌跡的變化[2]，解決有各種避障運(yùn)行軌跡要求的小車凸輪的復(fù)雜設(shè)計(jì)問題，具有很強(qiáng)的適用性.

1 比賽規(guī)則對(duì)設(shè)計(jì)的要求

賽場為5200mm×2200mm 的長方形平面區(qū)域，賽場中間設(shè)有隔板，隔板與邊框之間區(qū)域即為賽道，在賽道中心線上放置有障礙樁(如圖1的運(yùn)行方式示意圖中所示的圓點(diǎn))，障礙樁為直徑20mm、高200mm 的圓棒，障礙樁從出發(fā)線開始按平均間距1000mm 擺放[3].

無論是重錘驅(qū)動(dòng)的無碳勢能小車，還是斯特林發(fā)動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的熱能小車，都有環(huán)道S形、8 字形和綜合3種運(yùn)行方式.其中：環(huán)道S形為在賽道上走S軌跡，如圖1(a)所示；8字形為在賽道上走8字S軌跡，如圖1(b)所示；綜合則為在賽道上交替完成環(huán)道S形和8 字形兩種軌跡運(yùn)行方式[3].

圖1 運(yùn)行方式示意圖 Fig.1 Schematic diagram of running mode

本文以環(huán)道S形運(yùn)行方式的比賽規(guī)則為例，介紹如何利用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件，通過取得規(guī)劃軌跡上的采樣坐標(biāo)，進(jìn)行軌跡上各點(diǎn)曲率半徑的計(jì)算，進(jìn)而獲得凸輪輪廓上各點(diǎn)的坐標(biāo)，采用“坐標(biāo)法”開展小車凸輪輪廓設(shè)計(jì).

2 運(yùn)行軌跡的規(guī)劃

對(duì)于2021年賽題設(shè)置的復(fù)雜障礙題目，如果采用傳統(tǒng)方法(設(shè)法找到規(guī)劃軌跡曲線的函數(shù)或者利用幾個(gè)已知函數(shù)曲線拼湊規(guī)劃軌跡并求得軌跡曲率的方法)進(jìn)行復(fù)雜軌跡映射凸輪輪廓線的設(shè)計(jì)，將很難完成設(shè)計(jì)任務(wù).一方面，很難找到與規(guī)劃軌跡完全一致的曲線函數(shù)；另一方面，為了讓規(guī)劃的軌跡盡可能貼近已知的函數(shù)曲線，就要降低規(guī)劃軌跡的相關(guān)技術(shù)指標(biāo)，損失軌跡曲線的優(yōu)化程度.

在三維可視化實(shí)體模擬軟件Autodesk Inventor中，可以在沒有確切軌跡函數(shù)的情況下，按照比賽規(guī)則要求確定的賽道布局圖，進(jìn)行主動(dòng)輪避障運(yùn)行軌跡規(guī)劃和施畫，結(jié)果如圖2所示.在草圖環(huán)境中[4]，用鼠標(biāo)從任意一點(diǎn)拉動(dòng)軌跡曲線，在滿足避障約束條件的情況下，不斷調(diào)整各部分軌跡曲線的曲率變化至合適位置，使之盡可能平滑，同時(shí)還要考慮軌跡規(guī)劃的總路徑長度要與主動(dòng)輪的直徑和周長、傳動(dòng)比等小車的主要參數(shù)相匹配.

圖2 Inventor中的環(huán)道S形避障軌跡規(guī)劃圖 Fig.2 “S-shape in loop” trace roadmap in Inventor

在Inventor中確定好主動(dòng)輪的運(yùn)行規(guī)劃軌跡之后，將軌跡圖導(dǎo)出為DWG格式，隨后導(dǎo)入到AutoCAD中，再將主動(dòng)輪軌跡向外擴(kuò)展一定距離(主動(dòng)輪與導(dǎo)向輪中心的距離)，即得到后軸中點(diǎn)P的運(yùn)行軌跡，結(jié)果如圖3所示.

圖3 環(huán)道S形避障軌跡規(guī)劃CAD圖 Fig.3 “S-shape in loop” trace roadmap in CAD

在AutoCAD中的P點(diǎn)運(yùn)行軌跡圖上，等間隔設(shè)置360個(gè)軌跡采樣點(diǎn)，通過AutoCAD 中的“數(shù)據(jù)提取”功能，取得并導(dǎo)出每個(gè)采樣點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中相對(duì)系統(tǒng)默認(rèn)原點(diǎn)的各點(diǎn)坐標(biāo)[5].采樣點(diǎn)位置坐標(biāo)示例見表1.

表1 規(guī)劃軌跡上的采樣點(diǎn)坐標(biāo)示例 Tab.1 Example of coordinates of sampling points on the track

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)與軌跡參數(shù)的假設(shè)與確定

3.1 小車部分結(jié)構(gòu)名稱與參數(shù)

小車運(yùn)行示意圖如圖4所示.

圖4 小車運(yùn)行示意圖 Fig.4 Schematic diagram of running car

圖4中：A為小車的主動(dòng)輪(左后輪)；B為小車的從動(dòng)輪(右后輪)；C為小車的導(dǎo)向輪(前輪)；D為轉(zhuǎn)向桿，轉(zhuǎn)向桿的高度與凸輪的基圓圓心保持水平；T為轉(zhuǎn)向控制凸輪，凸輪設(shè)計(jì)在從動(dòng)輪一側(cè).P為后軸中心點(diǎn)；α1為主動(dòng)輪與導(dǎo)向輪中心的距離，α2為從動(dòng)輪與導(dǎo)向輪中心的距離，α1＝α2＝55mm；α3為導(dǎo)向輪中心與后軸水平中心的距離；θ為導(dǎo)向輪的轉(zhuǎn)向偏角，如圖所示前進(jìn)方向，向右偏轉(zhuǎn)為“＋”，向左偏轉(zhuǎn)為“－”；t0為導(dǎo)向輪偏轉(zhuǎn)角為0°時(shí)，凸輪基圓中心與導(dǎo)向輪中心的距離，也是凸輪基圓半徑；t(i)為凸輪每轉(zhuǎn)過1°時(shí)的凸輪向徑；d0為導(dǎo)向輪的中心與凸輪厚度中心在X軸方向的距離；r為采樣點(diǎn)處的軌跡曲線的曲率半徑.

3.2 求解轉(zhuǎn)向偏角變量

與小車的運(yùn)行軌跡和轉(zhuǎn)向控制凸輪的輪廓線都有關(guān)聯(lián)的變量是導(dǎo)向輪的轉(zhuǎn)向偏角θ.小車的導(dǎo)向輪的轉(zhuǎn)向偏角θ和運(yùn)行軌跡是一一對(duì)應(yīng)的，同時(shí)導(dǎo)向輪轉(zhuǎn)向偏角θ的偏轉(zhuǎn)大小受到與凸輪和導(dǎo)向輪相連接的轉(zhuǎn)向桿的控制.凸輪向徑t(i)對(duì)轉(zhuǎn)向桿產(chǎn)生的推程與導(dǎo)向輪的轉(zhuǎn)向偏角θ也是一一對(duì)應(yīng)的.因此，轉(zhuǎn)向偏角θ是凸輪設(shè)計(jì)過程中的主要變量之一，由圖4分析可知：

θ＝0°時(shí)，小車沿直線方向運(yùn)行.

3.3 軌跡曲線任意一點(diǎn)處曲率半徑的求解

在曲線上的某個(gè)點(diǎn)處的微小區(qū)域，可以找到一個(gè)與其曲率相等的圓，該圓的半徑就是曲線上該點(diǎn)處的微小區(qū)域的曲率半徑[6].

也可從微分的角度理解，就是盡可能地把一段曲線微分，直到最后近似為一個(gè)圓弧，此圓弧所對(duì)應(yīng)的半徑即為曲線上該點(diǎn)的曲率半徑[7].

軌跡曲線上每個(gè)采樣點(diǎn)位置都存在曲率半徑r，r是凸輪設(shè)計(jì)過程中的主要變量之一.在取得的360個(gè)軌跡采樣點(diǎn)的坐標(biāo)中，通過依次選取相鄰的3個(gè)采樣點(diǎn)的坐標(biāo)，可以計(jì)算出每個(gè)采樣點(diǎn)的曲率半徑.

假設(shè)軌跡上相鄰的3個(gè)采樣點(diǎn)坐標(biāo)分別為(X1，Y1)、(X2，Y2)、(X3，Y3)，設(shè)(X2，Y2)對(duì)應(yīng)的曲率半徑為r，對(duì)應(yīng)圓心坐標(biāo)為(X0，Y0)，位置關(guān)系如圖5所示.

硅質(zhì)巖中的Al2O3和TiO2可用于判別大陸邊緣沉積環(huán)境，F(xiàn)e2O3可反映大洋中脊組分的影響強(qiáng)度[3]。樣品中SiO2/Al2O3比值為9.82～62.43，比純硅質(zhì)巖(SiO2/Al2O3比值為80～1400)低很多，SiO2/Al2O3比值和Al2O3呈較好的負(fù)相關(guān)關(guān)系(圖2b)，且TiO2含量為0.026%～0.386%，Al2O3/TiO2比值為14.69～73.83，與Al2O3具有較好的正相關(guān)關(guān)系，均表現(xiàn)為富鋁特征，表明研究區(qū)有陸源碎屑沉積物[16]。

圖5 軌跡上相鄰三點(diǎn)坐標(biāo) Fig.5 Coordinates of adjacent three points on track

依據(jù)圖5中關(guān)系，可列出如下方程：

解這個(gè)方程組可得出圓心坐標(biāo)(X0，Y0)的具體數(shù)值，進(jìn)而可計(jì)算得到曲率半徑r.

由于運(yùn)算量比較大，使用Microsoft Visual C++制作了曲率半徑計(jì)算工具(如圖6所示)，應(yīng)用該計(jì)算工具可節(jié)約大量計(jì)算時(shí)間.

圖6 軌跡采樣點(diǎn)曲率半徑的計(jì)算工具 Fig.6 Radius of curvature calculation tool for sample points on track

將360個(gè)采樣點(diǎn)的曲率半徑計(jì)算結(jié)果按照X坐標(biāo)順序進(jìn)行列表，結(jié)果見表2.

表2 采樣點(diǎn)曲率半徑計(jì)算結(jié)果示例 Tab.2 Example of radius of curvature calculation results for the sampling points

3.4 凸輪坐標(biāo)參數(shù)的確定

凸輪的向徑是凸輪回轉(zhuǎn)中心與推桿之間的距離，也就是凸輪輪廓邊沿上某一點(diǎn)距離凸輪回轉(zhuǎn)中心的長度[8].通過圖4中小車與轉(zhuǎn)向凸輪推桿的受力與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析和解析計(jì)算，可計(jì)算得到凸輪向徑.

凸輪旋轉(zhuǎn)一圈對(duì)應(yīng)小車行走一個(gè)周期的軌跡，以1°為分度，凸輪每轉(zhuǎn)過1°找到對(duì)應(yīng)軌跡上的一點(diǎn).按照此操作，將凸輪旋轉(zhuǎn)的一周均勻地分成360份，每一份看作1°[2].在一個(gè)周期的軌跡運(yùn)行過程和一個(gè)凸輪旋轉(zhuǎn)周期(0°～360°)中，軌跡上選取的360個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與凸輪轉(zhuǎn)角的每1°相對(duì)應(yīng).通過確定每1°對(duì)應(yīng)的凸輪向徑，可計(jì)算得到凸輪輪廓上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)(Tx，Ty).

通過式(5)計(jì)算可得凸輪輪廓上點(diǎn)的坐標(biāo)，示例見表3.

表3 凸輪輪廓上點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果示例 Tab.3 Example of coordinate calculation resultswith points on cam profile

4 凸輪的生成

將計(jì)算出的凸輪輪廓上點(diǎn)的坐標(biāo)用Excel軟件整理成坐標(biāo)列表，然后導(dǎo)入AutoCAD軟件中，生成凸輪輪廓的二維曲線圖，結(jié)果如圖7所示.

圖7 凸輪輪廓的二維曲線圖 Fig.7 Two dimensional curve of cam profile

將在AutoCAD中生成的凸輪輪廓的DWG文件導(dǎo)入三維軟件UG NX中進(jìn)行拉伸建模[9]，生成凸輪輪廓三維建模圖(圖8)，該圖可用于凸輪的加工制造.凸輪厚度設(shè)計(jì)為3mm.

圖8 凸輪輪廓三維建模圖 Fig.8 3D modeling diagram of cam profile

本方案的凸輪輪廓線是依靠映射小車運(yùn)動(dòng)軌跡的方法獲得的.為了保證作為擺動(dòng)從動(dòng)件的推桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律平穩(wěn)，在確保小車能夠通過比賽規(guī)則規(guī)定的障礙物的情況下，需要通過采用調(diào)整小車的規(guī)劃軌跡的方法找到一條軌跡，使通過該軌跡映射獲得的凸輪輪廓線平滑無死角.

通過觀察可知，設(shè)計(jì)出的凸輪輪廓線整體沒有出現(xiàn)銳角和直角，內(nèi)外轉(zhuǎn)角均能夠平滑過渡，有利于提高運(yùn)行軌跡與設(shè)計(jì)軌跡的擬合度和推桿的平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)計(jì)合理.

將本文設(shè)計(jì)的凸輪加工成型，并與其他零件一起組裝成熱能驅(qū)動(dòng)小車，該小車的實(shí)物圖如圖9所示.

圖9 熱能驅(qū)動(dòng)小車實(shí)物圖 Fig.9 Photo of thermal energy-driven trolley

5 運(yùn)動(dòng)軌跡仿真

將小車的α1、α2、α3、t0、θ、r、S等參數(shù)及坐標(biāo)代入MATLAB程序，對(duì)后軸中點(diǎn)P的運(yùn)行軌跡進(jìn)行仿真，得到仿真軌跡如圖10所示.

圖10 后軸中點(diǎn)P的MATLAB仿真運(yùn)行軌跡 Fig.10 Simulation of running track for midpoint Pin MATLAB

仿真結(jié)果表明，小車運(yùn)行時(shí)不會(huì)與障礙樁、隔板和邊框發(fā)生觸碰，可實(shí)現(xiàn)有效避障，小車軌跡規(guī)劃合理，參數(shù)選擇適當(dāng).

如果要得到更高的軌跡擬合度，可以采用提高軌跡采樣點(diǎn)數(shù)量和對(duì)應(yīng)的凸輪一周均分份數(shù)的辦法.文中設(shè)計(jì)時(shí)使用的360均分法，無論是在仿真過程中，還是在制作的凸輪的實(shí)際運(yùn)行過程中，其結(jié)果均驗(yàn)證了此數(shù)量能夠滿足使用要求.

6 結(jié) 語

本文以2021年中國大學(xué)生工程實(shí)踐與創(chuàng)新能力大賽基礎(chǔ)賽道的環(huán)道S形運(yùn)行方式的運(yùn)行軌跡為例，利用在規(guī)劃軌跡路徑上的采樣坐標(biāo)，采用軌跡中相鄰三點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出中間點(diǎn)處曲率半徑，運(yùn)用規(guī)劃、分析、計(jì)算、歸納和仿真等設(shè)計(jì)手段，介紹了一種能夠普遍適用于各種運(yùn)行軌跡的凸輪設(shè)計(jì)方法.該設(shè)計(jì)方法區(qū)別于傳統(tǒng)設(shè)計(jì)思路，綜合運(yùn)用了多種強(qiáng)大設(shè)計(jì)工具軟件中的簡單功能，相互組合接力，解決了小車用于各種避障運(yùn)行軌跡的凸輪的復(fù)雜設(shè)計(jì)問題.采用此設(shè)計(jì)方案制作凸輪的勢能小車和熱能小車，在天津賽區(qū)的競賽中取得了一等獎(jiǎng)的成績.該研究結(jié)果對(duì)于全國性競賽項(xiàng)目中的該類型競賽題目的解答有十分重要的參考意義.該凸輪的設(shè)計(jì)方法，對(duì)于其他機(jī)構(gòu)，尤其是帶有凸輪的機(jī)構(gòu)，也提供了十分有益的設(shè)計(jì)思路和方向.