求解與數列有關的最值問題的途徑

吳玲

與數列有關的最值問題常與數列、函數、不等式、導數等知識相結合，具有較強的綜合性.解答此類問題，需綜合運用數列的性質、定義、前n項和公式、函數的性質以及不等式的性質.本文重點探討一下求解與數列有關的最值問題的途徑.

一、利用數列的單調性

數列是定義在正整數集上的一種特殊函數，它和函數一樣，具有單調性.在解答與數列有關的最值問題時，我們可以先判斷出數列的單調性，再利用數列的單調性來求出最值.一般地，若數列為遞增數列，則數列的首項為最小值，最后一項的極值為最大值;若數列為遞減數列，則數列的首項為最大值，最后一項的極值為最小值.

判斷數列的單調性一般有兩種方法：一是作差法，二是作商法.若an< an+1，則數列單調遞增;若an>an+1，則數列單調遞減.根據數列的單調性，找出其中的最大值，即可求得數列前n項和的最大值.

二、采用基本不等式法

基本不等式法是求解最值問題的重要方法.在求解與數列有關的最值問題時，可將目標式看作或者放縮為兩式的和或者積的形式，只需使和或者積為定值，便可利用基本不等式：a+b≥2√ab（a，b>0）求得數列的最值，但同時要注意運用基本不等式的三個前提條件：一正二定三相等.

解答本題，主要采用了基本不等式法，首先對函數式進行變形，配湊出兩式的和n+ 25/n，而n、25/n的積

為定值，于是運用基本不等式快速求得最值.

三、數形結合

數列是特殊的一種函數，具有數和形的雙重特征，因此在求解與數列有關的最值問題時，可將目標式看作函數式，畫出其圖形，采用數形結合的方式來解題.我們借助圖形，便可快速分析出數列的通項公式、前n項和與項數之間的關系，順利求得問題的答案.

等差數列可以視為關于n的一次函數，因此可根據等差數列的通項公式繪制出圖形，這樣便能直觀地分析出數列的項與項數之間的變化規律，從而快速求得最值.

在解答與數列有關的最值問題時，要根據題目中所給的條件，仔細研究數列的特點、規律、性質，靈活運用數列的單調性，創造使用基本不等式的條件，將數形結合，這樣便可使問題快速獲解.