三類切線問題的解法探究

吳露露

曲線的切線問題主要有求切線的方程、求切線的斜率、求切線的條數(shù)以及兩曲線的公切線問題.解答此類問題的常用方法是導(dǎo)數(shù)法，即根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再進一步討論切線的方程、條數(shù)以及公切線.在本文中，筆者將重點探究下列三類切線問題的解法.

一、求經(jīng)過曲線上某一點的切線方程

求經(jīng)過曲線上某一點的切線方程問題較為常見.這類題目中通常會告知曲線的方程與曲線上某一點的坐標，要求過該點的切線方程，需先明確該點是否為切點，若該點為切點，則需根據(jù)函數(shù)f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f’（x0）的幾何意義：在曲線y=（x）上點P（x0，y0）處的切線的斜率，求得切線的斜率，得出切線的方程為y - y0 =f'（x0）（x -x0）.若該點不為切點，則需先設(shè)出切點，再按照上述步驟求解.

根據(jù)題意，我們無法判斷P點是否為切點，于是設(shè)出切點Q，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程.

二、求兩條曲線的公切線的方程

兩條曲線的公切線有兩種情況：一是兩條曲線存在公共點，公切線恰好過公共點.這種情況較為簡單，直接對兩條曲線的方程求導(dǎo)，使其導(dǎo)函數(shù)，即斜率相等，即可解題;二是兩條曲線上的切點不同，需要分別設(shè)出兩曲線上的切點，求得兩條切線的方程，再根據(jù)兩條直線重合的條件解題.

本題中兩條曲線上的切點不一定是同一個點，于是分別設(shè)出兩個切點，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得兩條切線的斜率和方程，而這兩條切線實際上是同一條公切線，因此方程相同，由此建立關(guān)于x1、x2的關(guān)系式，便能求得問題的答案.

三、求切線的條數(shù)問題

求切線的條數(shù)問題通常較為復(fù)雜，要先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程，然后再討論方程根的個數(shù)，最終才能求出切線的條數(shù).

由此可見，解答切線問題，不僅要靈活運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系、求導(dǎo)法則，還需靈活運用直線的斜率、方程以及函數(shù)、方程的性質(zhì).因此在解題時，同學(xué)們要學(xué)會將切線問題與導(dǎo)數(shù)、直線方程、函數(shù)、方程知識關(guān)聯(lián)起來，綜合運用這些知識來尋求解題的思路.同時，在解題的過程中，要充分利用圖形來輔助解題，這樣可使解題的效率倍增.