由一道題談求平面向量最值的思路

鄭尚東

平面向量最值問題具有較強的綜合性，解答此類問題，需靈活運用向量的三角形法則、平行四邊形法則、向量的加減和數乘運算法則、向量的數量積公式、向量的模的公式以及向量的坐標運算法則.下面結合一道例題談一談求解平面向量最值問題的思路.

例題：如圖1所示，OA，OB的模長為1，其夾角為120°，點C在以O為圓心的圓弧AB上運動，若OC=xOA +yOB，求x+y的最大值.

本題看似簡單，其實較為復雜.由于C為動點，所以我們很難快速確定C的位置，求得OC，便無法求得x+y的最值.需靈活運用坐標系法、向量的數量積公式、正余弦定理來求解.

思路一：運用坐標系法

運用坐標系法求解平面向量最值問題，需先根據題意和圖形，建立合適的平面直角坐標系，將向量、點的坐標表示出來，通過向量的坐標運算求得問題的答案.

運用坐標系法解題的關鍵是建立恰當的平面直角坐標系，這里以O點為原點，以OA為x軸，垂直于OA的直線為y軸建立平面直角坐標系，便能快速求得各個點的坐標和向量的坐標，求得x+y的表達式，運用正弦函數的有界性求得最值.

在建立平面直角坐標系后，求得x、y的表達式，便可根據同角的三角函數關系式sin2θ+ cos2θ=1建立關于x、y的關系式，再運用基本不等式求得最值.坐標系法的優點在于將向量問題轉化為代數運算問題，這樣便于快速求得最值.

思路二：利用向量的數量積公式

向量的a與b的數量積a.b=|a||b|cosθ，其中θ為向量a與b的夾角.用向量的數量積公式可以表示出兩個向量與夾角之間的關系.在求解平面向量最值問題時，可根據題意構造出兩個向量，將二者相乘，運用向量的數量積公式，根據夾角的取值范圍來求得最值.

通過數乘運算，構造出兩個向量的數量積，運用向量的數量積公式和向量的模的公式求得x、y的表達式，進而根據正弦函數的有界性求得最值.

結合圖形，運用正余弦定理可快速建立三角形邊角之間的關系，這樣便能快速求得x+y的表達式，再根據正弦函數的有界性即可求得最值.

解法5主要運用了正弦定理，解法6主要運用了余弦定理，求得x、y的關系式.再結合基本不等式即可求得最值.

可見，求解平面向量最值問題的思路很多，解題的關鍵在于求得目標式，可運用坐標系法，也可利用向量的數量積公式，還可以運用正余弦定理，最后利用三角函數的有界性和基本不等式，便可求得最值.