《立體幾何》的學法指導

鮑亞杰

立體幾何是高中數學中的重要內容，這個模塊中的大部分知識點都與三維空間有關.要學好立體幾何，就需建立立體觀念，重視培養邏輯推理能力和空間想象能力.本文就如何學好立體幾何這部分知識，與同學們進行一些交流和探討.

一、建立空間觀念，培養空間想象能力

立體幾何主要是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的，因此在學習立體幾何時，同學們可通過以下方式來建立空間觀念，培養空間想象能力.

1.用硬卡紙或木質材料制作空間幾何體模型，通過這種方法去認識正方體、三棱錐、三棱柱、四棱臺、圓柱、圓錐等簡單的空間幾何體，以及空間點、直線、平面的位置關系.經歷制作模型和畫圖的過程，同學們就會對幾何體的組成元素以及簡單幾何體的結構特征了然于心，這對培養同學們的空間想象能力和直觀想象能力很有幫助.

2.多角度觀察身邊的事物，建立空間觀念.可將我們的教室看作一個長方體;將黑板可以看作一個平面;將天花板上的燈管看作一些直線，仔細觀察，可發現它們都是平行的.當門繞著門軸旋轉時，所在的平面始終垂直于地面.這樣就能很直觀地研究直線和平面的位置關系，也有利于培養空間想象能力.

二、理解并熟記立體幾何中的定義，定理、公理等

立體幾何中的公理、定理和定義是解題的重要依據，因此理解和熟記這些基礎知識是很有必要的.立體幾何中的公理、定理和定義通常可用圖形語言、文字語言和符號語言來表示.在學習的過程中，可將三者進行相互轉化，這樣有利于理解并熟記立體幾何中的定義、定理、公理等.

例如在學習平面與平面平行的判定定理和性質定理時，可將該定理分別用圖形語言、文字語言和符號語言來表示，如下表所示.

其次，重視定理、公理的推導過程，研究定義、定理、公理的內涵和外延，以明確定義、定理、公理的使用方法與范圍，提高應用能力.

三、歸納解題的方法

1.轉化法

有些立體幾何問題較為復雜，此時可運用轉化法，將空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識來解題.可通過平移直線，將異面直線所成的角轉化為平面角，將二面角的大小轉化為平面角，空間距離轉化為點到點或點到線的距離.

我們根據相似三角形的性質把空間中另一個平面β內的兩條線段的長度比，轉化為平面a內的兩條線段的比，然后通過解三角形和利用函數的性質求得最值.

例2.如圖2所示，已知正三棱柱ABC-AiBlCI的底面邊長為1，高為8，一質點從A出發，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A1點的最短路徑的長為_____

將幾何體展開，便可將立體幾何問題轉化為平面幾何問題.采用轉化法解題，能達到化難為易、化繁為簡的效果.

2.構造輔助圖形法

在解答立體幾何問題時，可根據題目的特點，將幾何體特殊化，構造一個特殊的幾何模型，將復雜問題簡化，將陌生的問題變為熟悉的問題.

例3.四棱錐P -ABCD的五個頂點都在一個球面上，底面ABCD是邊長為1的正方形，若PA上平面ABCD，PA=√2，則該球的體積為_____.

結合四棱錐的結構特征構造輔助長方體，然后根據長方體的性質及其與外接球的關系求得球的半徑和體積.

3.添加輔助線

在解答立體幾何問題時，我們經常會遇到阻礙，此時可根據圖形的結構特征，合理添加輔助線，如平行線、垂線、中位線、對角線等，這樣便能運用相關的定理、公式、定義等來解題.

通過作輔助線PM、PD，便可利用平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊平行以及線面平行的判定定理來證明結論.

除了上述方法，解答立體幾何問題的方法還有割補法、空間向量法、等體積法等.同學們在學習過程中要不斷積累各種解題方法與技巧，并將其靈活地應用與解答題當中.

總之，要學好立體幾何知識，不僅要培養空間想象能力，還需熟練掌握立體幾何的基礎知識.立體幾何并沒有想象中的那么難，同學們只要樹立學好立體幾何知識的自信心，結合生活實際和平面幾何知識，就能學好立體幾何知識.

（作者單位：江蘇省南京市江寧高級中學）