基于重整化群的艦艇末端反導火力配置優化研究?

楊紹清 梁新宇 黃 義

（海軍大連艦艇學院 大連 116018）

1 引言

水面艦艇的末端反導一直是各國海軍高度重視的一個課題［1～2］，特別是反艦導彈的飽和攻擊和高超音速反艦導彈攻擊，是水面艦艇的很大威脅，因此如何在一個重要的區域中實現有效的防御則成為水面艦艇末端反導的一個重要的課題。本文利用重整化群優化原理［3］，對艦艇及編隊三維作戰空域的末端反導防御問題進行了研究，提出了一種新的水面艦艇末端反導火力優化配置方法，可為水面艦艇及編隊末端反導火力配置提供決策依據。

2 重整化群優化原理

重整化群（renormalization group）方法是20世紀70年代初Wilson［3］提出的一種方法，是建立在系統具有明顯分形結構基礎上，通過重復使用一個重整化遞歸關系，將一個具有較大相關尺度的原始系統，變換到一個統一的相關尺度上，從而研究系統的臨界現象并實現系統優化。

基于重整化群的優化原理可以描述如下［12］：

1）設在尺度L0的情況下，系統某物理量大小為p0；

2）通過將尺度進行粗化，可以計算出在尺度2L0的情況下，系統的物理量為p1；

3）再進行粗化，可以計算出在尺度4L0的情況下，系統的物理量為p2；

4）一般地，在尺度為2nL0時系統的物理量的大小為pn；

5）定義變換T，則上述粗化過程可表示為T（p0）→p1，T（ p1）→p2，T（p2）→p3，…，T（pn-1）→pn，…。每一次變換，對應的尺度變化為 L0→2L0，2L0→4L0，…，2（n-1）L0→2nL0，…；

6）如果對于變換T，存在一個正整數N滿足：T（pn）=pn+1=pn，n ≥ N，則稱pn為T的一個不動點，在臨界狀態中，不動點通常對應臨界點［10］。

利用不同尺度獲得系統物理量的過程稱為重整化，而變換T的集合定義為半群，是一個代數學概念［4］。設S是非空集合，在S中定義了二元乘法運算*，滿足結合率，即

則稱S為半群。

考慮T的重整化作用，且變換T集合中的各元素必然滿足結合率，因此，物理學家將這一半群稱為重整化群。

3 末端反導火力配置優化方法

3.1 基本假設

設某水面艦艇部隊要進行海上末端反導作戰，為了問題的簡化，給出以下兩個假設。

1）要防御的總區域是一個邊長為L的立方體，艦艇（編隊）配置的各火力單元集中位于總防御區域底部中心，該立方體稱為總防御區域。參見圖1。

圖1 總防御區域

2）各火力單元對各自負責的防御單元的防御效果相同。

圖1中的圓點表示一個防御單元的中心，這個防御單元的實際大小由火力單元的戰技性能、技術狀態、毀傷能力和任務要求等決定。根據這一假設防御單元符合邊長為l的立方體，l小于總防御區域的邊長L。

3.2 任務描述

艦炮末端反導的任務就是要對從總防御區域除底部外的其他5個面來襲的導彈進行有效的攔截，因此，防御任務指標可以用艦炮對總防御區域5個面的控制程度來描述。對總防御區域的控制程度可以分成三類，即弱控制、強控制和無控制［5］，各類控制的含義如下。

1）弱控制是指部隊對總防御區域的一個方向上具有防御能力，即防御單元布滿總防御區域5個面中的1個面。

2）強控制是指部隊對總防御區域的兩個方向上具有防御能力，即防御單元布滿總防御區域5個面中的兩個面?？梢?，對總防御區域的強控制必然也是弱控制［9］。

3）無控制是指部隊對總防御區域無控制能力，既不是強控制，又不是弱控制的，則為無控制［6］。

3.3 火力配置優化重整化群方法

3.3.1 總防御區域的分形特征

重整化群方法的前提是需要系統具有分形結構［7］。總防御區域中防御單元的邊長逐漸變小時，防御單元的數量將逐漸增大，因此總防御區域可以看成是不同測度下具有自相似性的防御單元組成的，因而可以用分形維進行描述。

式（1）中，D總是處于 0～3之間，故有0＜P0≤1。

3.3.2 強弱控制概率計算

強弱控制概率用于定量描述任務需求，就是重整化群方法中要求解的物理量［8］。

為求解問題方便，先考慮以邊長為2l的立方體作為總防御區域的弱控制和強控制時的概率。設Pw1為對總防御區域弱控制概率，Ps1為對總防御區域強控制概率，W為弱控制事件，S為強控制事件，Ai(i=1，2，…，8)為總防御區域中有i個防御單元得到控制的事件，則根據全概率公式有［11］：

則在各種情況下弱控制和強控制概率如下。

1）總防御區域中有1、2或3個防御單元得到控制時，無法形成弱控制和強控制，故：

2）總防御區域中有4個防御單元得到控制時，共有C84種組合方式，形成每種方式的概率為當總防御區域1個面中的4個防御單元得到同時控制時，可形成弱控制，因此，弱控制有5種方式；顯然，在此情況下無強控制。故有：

其中，P0參見式（1）。

3）總防御區域中有5個防御單元得到控制時，共有C85種組合方式，形成每種方式的概率為當總防御區域1防御面中的4個防御單元得到同時控制時，可形成弱控制，剩下的1個防御單元位于該防御面相對面的4個位置中任一位置即可，而共有5個防御面，因此，弱控制有20種方式；顯然，在此情況下無強控制。故有：

4）總防御區域中有6個防御單元得到控制時，共有C86種組合方式，形成每種方式的概率為

根據得到控制的6個防御單元不同位置情況可分析強弱控制概率。1）當得到控制的4個防御單元位于總防御區域頂部，其余兩個防御單元位于總防御區域底部的同一邊上時，頂部和1個側面同時得到控制，從而形成強控制，由于有4個側面，所以有4種強控制方式；如果其余兩個防御單元位于總防御區域底部的不同邊上時，即位于底部的對角時，只有頂部得到控制，因此，只能形成弱控制，共有兩種弱控制方式；由于強控制也是弱控制，因此，共有4種方式強控制，6種方式弱控制；2）當得到控制的4個防御單元位于總防御區域側面，相鄰兩個側面都得到控制時將形成強控制，共有4種控制方式，側面與頂部形成的強控制已經計算過；而弱控制是其余兩個防御單元位于相對側面的對角和下邊時，1個側面共有3種方式，4個側面共有12種方式；因此，共有4種強控制，16種弱控制；3）當得到控制的4個防御單元位于總防御區域底部時，其余兩個位于頂部的同一邊，則形成弱控制，共有4種方式，在此情況下無強控制。

綜上所述，在總防御區域中有6個防御單元得到控制時，弱控制方式有26種，強控制方式有8種。故有：3.3.3 尺度粗化及概率變換方程與求解

根據P0，由式（4）可以計算出了 Pw1，此時總防御區域變長為L而防御單元邊長為l；將總防御區域和防御單元邊長分別變為2L和2l，則此時根據式（2）可得總防御區域的弱控制概率為；類似地，用重整化群的方法，反復增大區域，由式（4）和（5）可以得到以下關系：

這樣就可以得到圖2和圖3中所示的情況。對于弱控制和強控制，分別符合以下的關系式：

從圖2和圖3中可以看出，x=0和x=1是弱控制和強控制的可靠的不動點。但在0和1之間它們各自有不同的不可靠的不動點。弱控制概率的不動點約為PWC=0.7634，強控制概率的不動點為PSC=0.9391。

圖2 弱控制圖y=f(x)和y=x

圖3 強控制圖y=g(x)和y=x

3.3.4 應用舉例

1）問題描述

設某一水面艦艇或編隊要執行末端反導任務，總防御區域邊長為L=10km，火力單元作戰能力范圍為l=5km，一個火力單元能夠有效控制各不相同的兩個防御單元，試問需要多少個火力單元才能夠實現末端反導的弱控制和強控制？

2）問題求解

分別考慮水面艦艇或編隊有不同個火力單元情況。

（1）兩個火力單元

兩個火力單元可以有效控制4個防御單元，因此，N(l)=4。

根據給定的總防御區域L=10km和防御單元的作戰能力范圍l=5km及相應的防御單元數量N（l）=4，可以估計出防御單元分布的分形維：

對總防御區域強弱控制的初始概率為

根據上述求解，弱控制的臨界概率為PWC=0.7634，由于P0＜PWC而無法實現弱控制。

實際上，當對總防御區域的弱控制概率大于Pwc時，對總防御區域的弱控制將向好的方向轉化，當在Pwc以下時，向壞的方向轉化。這一過程與弱控制概率迭代計算過程類似，參見圖4。

圖4 弱控制概率迭代計算過程

（2）3個火力單元

可以有效控制6個防御單元，P0=0.75，P0＜PWC，仍然不能夠很好地實現弱控制。

（3）4個火力單元

可以有效控制8個防御單元，P0=1，P0＞PSC=0.9391，這情況下不僅能夠很好地實現弱控制，也能很好地實現強控制。

3）結果與分析

根據上述計算可以得出，當艦艇或編隊配有4個和4個以上的火力單元時，則能夠實現末端反導的強控制；當艦艇或編隊配有3個和3個以下的火力單元時，則能夠很好地完成末端反導任務。

實際上，當對總防御區域的初始控制概率P0大于強控制臨界概率Psc時，對總防御區域的強控制將向好的方向轉化；當對總防御區域的初始控制概率P0小于弱控制臨界概率PWC時，對總防御區域將向無控制轉化；而當PWC＜P0＜PSC時，將無法實現強控制，但能夠很好地實現弱控制，且向好的弱控制轉化比向好的強控制轉化要容易。

4 結語

本文在對水面艦艇末端反導作戰任務進行定量分析的基礎上，利用重整化群思想，給出了一種新的水面艦艇末端反導火力單元的配置方法。通過艦載武器火力單元的戰術與技術性能，確定火力單元能夠有效控制的防御單元的方向、大小和空間形狀；通過防御單元的數量和總防御區域的大小，可以確定初始控制概率；根據初始控制概率與總防御區域強弱控制轉化的臨界概率的大小關系，可以得到艦艇及編隊完成任務的情況，進而優化火力配置和兵力部署方案。