基于fgoalattain函數(shù)的齒輪傳動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

王純， 韓加好，張燕， 盧建國

（連云港職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 連云港 222000）

0 引言

齒輪傳動因其具有傳動效率高、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用在機(jī)械設(shè)備的傳動系統(tǒng)中，隨著工業(yè)的發(fā)展，機(jī)械結(jié)構(gòu)向著大型化、復(fù)雜化方向發(fā)展，采用傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出來的結(jié)構(gòu)綜合性能一般不能達(dá)到理想狀態(tài)，很難滿足優(yōu)化設(shè)計(jì)要求。為解決以上問題，本文以二級斜齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)作為研究對象，運(yùn)用最優(yōu)化理論和方法，建立齒輪傳動多目標(biāo)優(yōu)化模型，并采用Matlab優(yōu)化工具箱（Optimization Tool）提供的函數(shù)fgoalattain進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果為多目標(biāo)齒輪傳動優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的參考[1-5]。

1 多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型設(shè)計(jì)變量的選取

對于圖1所示的二級齒輪傳動系統(tǒng)來說，涉及到很多的設(shè)計(jì)參數(shù)及影響因素，為了簡化問題，我們將設(shè)計(jì)的主要參數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量：

圖1 二級齒輪傳動系統(tǒng)示意圖

式中：mn1、mn2分別為高、低速級齒輪法向模數(shù)，mm；z1、z2分別為高、低速級的小齒輪齒數(shù)；i1為高速級傳動比；β1、β3分別為斜齒輪的螺旋角，（°）。

1.2 多目標(biāo)優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)的確定

1.2.1 二級齒輪傳動系統(tǒng)體積

1.2.2 二級齒輪傳動系統(tǒng)重合度

對兩級齒輪傳動系統(tǒng)來說，重合度具有更重要的意義，重合度越大，傳動越平穩(wěn)。我們將嚙合齒輪的重合度的相反數(shù)作為第二個優(yōu)化目標(biāo)，即目標(biāo)函數(shù)[7]為

1.3 多目標(biāo)優(yōu)化模型約束函數(shù)的確定

約束條件主要分為幾何和性能兩種約束。幾何約束一般有齒數(shù)約束、模數(shù)約束、齒寬系數(shù)等；性能約束一般包括齒輪齒面接觸疲勞強(qiáng)度約束、齒根彎曲疲勞強(qiáng)度約束[8-12]。

1.3.1 幾何約束

1）齒數(shù)約束。根切現(xiàn)象的產(chǎn)生是因?yàn)橛谜归_法加工漸開線齒輪時(shí)，被加工齒輪的齒數(shù)過少，切削刃把齒輪的根部已展成出的漸開線切去一部分。因此，要避免根切，必須是刀具的齒頂線不超過嚙合極限點(diǎn)。綜合考慮傳動效果和結(jié)構(gòu)尺寸的合理性等因素。因此，齒數(shù)z取值范圍為

1.3.2 性能約束

1）齒面接觸疲勞強(qiáng)度約束。根據(jù)齒輪的齒面接觸疲勞強(qiáng)度校核公式σH≤［σH］，得：

式中：YFa為齒形系數(shù)；YSa為應(yīng)力修正系數(shù)；Yβ為螺旋角影響系數(shù)；［σF］為許用彎曲應(yīng)力。

1.4 多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)—fgoalattain函數(shù)

函數(shù)fgoalattain是基于序列二次規(guī)劃法（SQP）的一種求解非線性約束優(yōu)化問題的函數(shù)，其適用于求多變量有約束非線性的最小值問題。其常用的調(diào)用格式為

2 計(jì)算實(shí)例及結(jié)果分析

2.1 已知條件

以某二級斜齒減速器為例，輸入功率為7.4 kW，轉(zhuǎn)速為1450 r/min，總傳動比i=25.9。齒輪材料及熱處理為：大齒輪選用45鋼，其硬度為240 HBS；小齒輪選用45Cr鋼，其硬度為260 HBS；每天工作12 h，使用壽命為10 a，希望節(jié)省材料。

2.2 確定參數(shù)

2.3 建立約束條件

根據(jù)式（4）～式（12）建立15個約束條件：

2.4 優(yōu)化求解

本實(shí)例是多目標(biāo)約束優(yōu)化問題，可選用Matlab優(yōu)化工具箱中用于求解約束優(yōu)化問題的fgoalattain函數(shù)進(jìn)行求解。函數(shù)fgoalattain是基于序列二次規(guī)劃法（SQP）的一種求解多變量非線性約束優(yōu)化問題的函數(shù)。根據(jù)設(shè)計(jì)要求及經(jīng)驗(yàn)確定初值、目標(biāo)值、權(quán)重系數(shù)及變量上下界：

X0＝［2，2，18，18，5.32，15，15］；goal＝［4×106，－4］；

weight＝［4×106，－4］；Ub＝［3，4，19，19，5.47，20，20］；Lb＝［2，2，16，16，5.05，8，8］。

2.5 優(yōu)化結(jié)果分析

采用fgoalattain函數(shù)對本實(shí)例中的齒輪傳動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，并對優(yōu)化結(jié)果圓整，得到優(yōu)化結(jié)果，如表1所示。

根據(jù)表1齒輪優(yōu)化前后數(shù)值的對比可知：齒輪傳動系統(tǒng)體積從4.2×106mm3減小到2.81×106mm3，體積減小了33.1%，優(yōu)化效果明顯。同時(shí)，齒輪重合度從5.15 增 大 到5.20，增 加了0.97%。優(yōu)化結(jié)果表明，fgoalattain函數(shù)對該齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果合理，效果明顯。

表1 優(yōu)化前后參數(shù)對比

3 結(jié)論

本文通過分析，得到了二級斜齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)及約束條件，確立了該系統(tǒng)的設(shè)計(jì)變量，建立二級斜齒輪傳動的多目標(biāo)優(yōu)化模型，并將該模型應(yīng)用到工程實(shí)際中，對該齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行合理優(yōu)化。由優(yōu)化結(jié)果可知，該設(shè)計(jì)滿足要求，同時(shí)節(jié)約材料，降低制造成本。