重載6+3型液壓冗余驅(qū)動(dòng)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)優(yōu)化設(shè)計(jì)

劉國軍

（湖南理工學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，湖南 岳陽 414006）

0 引言

由于精度高、有效載荷大及具有高速運(yùn)動(dòng)能力，Gough-Stewart平臺(tái)被廣泛用于運(yùn)動(dòng)模擬器[1]。大部分六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)只有6個(gè)支路，但當(dāng)負(fù)載很重時(shí)，會(huì)導(dǎo)致支路的驅(qū)動(dòng)力會(huì)很大。為了解決這個(gè)問題，有很多公司在6個(gè)支路Gough-Stewart平臺(tái)的基礎(chǔ)上添加了3條被動(dòng)氣動(dòng)缸，即為氣源輔助式重載六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)，如Moog公司氣源輔助式重載六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)的總移動(dòng)載荷高達(dá)28 t[2]；天津福云天翼科技有限公司氣源輔助式重載六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)的總移動(dòng)載荷高達(dá)15 t[3]。但有時(shí)負(fù)載會(huì)特別重，如重載坦克運(yùn)動(dòng)模擬的負(fù)載會(huì)高達(dá)40 t。此時(shí)，采用氣源輔助式重載六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)將不可行。由于冗余驅(qū)動(dòng)可以減小支路驅(qū)動(dòng)力的大小[4-5]，本文將在6個(gè)支路液壓驅(qū)動(dòng)Gough-Stewart平臺(tái)的基礎(chǔ)上再添加3條主動(dòng)液壓缸，即構(gòu)成6+3型液壓冗余驅(qū)動(dòng)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)。

很多學(xué)者對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模和優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究[5]。Wang L.等[6]首先利用牛頓-歐拉方程對(duì)一個(gè)三自由度平面運(yùn)動(dòng)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人建立了動(dòng)力學(xué)模型，然后對(duì)一個(gè)與驅(qū)動(dòng)力相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)最小進(jìn)行了尋優(yōu)。Wu J.等[7]利用虛功原理對(duì)平面運(yùn)動(dòng)三自由度4-RRR、3-RRR和2-RRR并聯(lián)機(jī)器人建立了動(dòng)力學(xué)模型，然后利用一個(gè)動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)函數(shù)對(duì)它們的性能進(jìn)行了比較。Chen H.等[8]利用拉格朗日方程和達(dá)朗貝爾原理對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人建立了動(dòng)力學(xué)模型。趙和高等[9]首先利用虛功原理和支路雅可比矩陣對(duì)8-PSS冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人建立了動(dòng)力學(xué)模型，然后通過提出新的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)對(duì)其動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行評(píng)估。

據(jù)我們所知，關(guān)于6+3型冗余驅(qū)動(dòng)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)建模和優(yōu)化設(shè)計(jì)的文獻(xiàn)很少。本文將對(duì)6+3型液壓冗余驅(qū)動(dòng)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)的系統(tǒng)進(jìn)行描述，并建立動(dòng)力學(xué)模型。提出優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，通過一個(gè)案例研究，說明了所提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 系統(tǒng)描述

如圖1所示，6+3型液壓冗余驅(qū)動(dòng)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)由1個(gè)動(dòng)平臺(tái)、1個(gè)靜平臺(tái)和9條支路組成。每條支路由1個(gè)液壓缸通過虎克鉸Ai（i=1…9）連接于動(dòng)平臺(tái)和虎克鉸Bi（i=1…9）連接于靜平臺(tái)上。分別在動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)上建立了體坐標(biāo)系{L}（即直角坐標(biāo)系OL-XLYLZL）和慣性坐標(biāo)系{W}（即直角坐標(biāo)系OW-XWYWZW）。

圖1 6+3型液壓冗余驅(qū)動(dòng)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)

上、下鉸點(diǎn)分別都在2個(gè)不同的平面上。它們的布置圖如圖2所示。其中rA是1～6號(hào)上鉸點(diǎn)構(gòu)成圓的半徑，圓心為點(diǎn)O1；dA是1～6號(hào)上鉸點(diǎn)構(gòu)成的對(duì)稱六邊形短邊的距離；rB是1～6號(hào)下鉸點(diǎn)構(gòu)成圓的半徑，圓心為點(diǎn)O；dB是1～6號(hào)下鉸點(diǎn)構(gòu)成的對(duì)稱六邊形短邊的距離；A7、A8和A9在以O(shè)1為圓心的另外一個(gè)圓上，它們分別為對(duì)稱六邊形長邊的中點(diǎn)。B7、B8和B9在以O(shè)為圓心、半徑為rB′的圓上，它們分別在對(duì)稱六邊形短邊的中垂線上。

圖2 鉸點(diǎn)位置示意圖

2 動(dòng)力學(xué)建模

根據(jù)動(dòng)平臺(tái)上控制點(diǎn)的位置、速度和液壓缸的位移和速度之間的關(guān)系，可以求得9個(gè)液壓缸的伸縮速度為式中：pi為Ai在坐標(biāo)系{L}中的位置矢量在坐標(biāo)系{W}中的表示；bi為Bi在坐標(biāo)系{W}中的位置矢量；l˙i為第i個(gè)液壓缸的伸縮速度大小；t為坐標(biāo)系{L}的原點(diǎn)O1在坐標(biāo)系{W}中的位置矢量；vP為動(dòng)平臺(tái)上控制點(diǎn)在坐標(biāo)系{W}中的平移速度；ωP為動(dòng)平臺(tái)在坐標(biāo)系{W}中的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

利用凱恩方程[10]，得到6+3型液壓冗余驅(qū)動(dòng)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型方程為

式中：J1i和J2i分別為支路i中液壓缸活塞桿端和缸筒端質(zhì)心處廣義速度到控制點(diǎn)廣義速度的雅可比矩陣；m1i和m2i分別為支路i中液壓缸活塞桿端和缸筒端的質(zhì)量；I1i和I2i分別為支路i中液壓缸活塞桿端和缸筒端相對(duì)于各自質(zhì)心處的慣量矩陣在坐標(biāo)系{W}中的表示；a1i和a2i分別為支路i中液壓缸活塞桿端和缸筒端質(zhì)心在坐標(biāo)系{W}中的加速度；ωi和αi分別為支路i在坐標(biāo)系{W}中的角速度和角加速度；JC為負(fù)載和動(dòng)平臺(tái)綜合體質(zhì)心廣義速度到控制點(diǎn)廣義速度的雅可比矩陣；g為重力加速度；fe和Ne分別為作用于負(fù)載和動(dòng)平臺(tái)上各外力等效到綜合質(zhì)心處的合力和合力矩；mC為負(fù)載和動(dòng)平臺(tái)的綜合質(zhì)量；aC為負(fù)載和動(dòng)平臺(tái)綜合質(zhì)心在坐標(biāo)系{W}中的加速度；αP為動(dòng)平臺(tái)在坐標(biāo)系{W}中的角加速度；IC為負(fù)載和動(dòng)平臺(tái)綜合體相對(duì)其質(zhì)心的慣量矩陣在坐標(biāo)系{W}中的表示。

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

由于液壓伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，需要負(fù)載匹配[11]，此時(shí)需要得到液壓缸的出力和伸縮速度大小。本文采用在12種工況下液壓缸出力和伸縮速度最大值的最小化作為優(yōu)化目標(biāo)。即優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

式中：f1為在12種工況下液壓缸伸縮速度絕對(duì)值的最大值；f2為在12個(gè)工況下液壓缸出力絕對(duì)值的最大值。

由于同時(shí)需要對(duì)2個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，本文將采用進(jìn)化算法NSGA-II[12]進(jìn)行尋優(yōu)，迭代次數(shù)設(shè)為1000，其它參數(shù)與文獻(xiàn)[13]設(shè)置一樣。

4 實(shí)例分析

本節(jié)中，利用1個(gè)設(shè)計(jì)實(shí)例來驗(yàn)證本文所提出優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的可行性。假設(shè)用戶要求設(shè)計(jì)一臺(tái)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)。假設(shè)負(fù)載為20 t，并假設(shè)用戶具體的運(yùn)動(dòng)要求如表1所示。

表1 用戶的要求

把dA、dB、rA、rB、rB′和H0作為優(yōu)化變量。其中H0是中位時(shí)上鉸平面到下鉸平面的垂直距離。dA和dB最小距離分別不能小于0.26 m和0.35 m。1 m≤rB≤4 m，1 m≤rA≤4 m，rA≤rB，1 m≤H0≤7 m，0.35 m≤dB≤rB，0.26 m≤dA≤rA，0.35 m≤rB′≤rB。

尋優(yōu)結(jié)束后，優(yōu)化結(jié)果如圖3 所示。在50組優(yōu)化參數(shù)中選擇了f1最小和f2最小的兩組參數(shù)，如表2所示。

圖3 最終優(yōu)化結(jié)果

當(dāng)只有1號(hào)～6號(hào)液壓缸（沒有7號(hào)～9號(hào)液壓缸），其它參數(shù)與表2中第一組參數(shù)一樣時(shí)，采用非冗余驅(qū)動(dòng)的六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)在12種工況下的液壓缸的伸縮速度絕對(duì)值和出力絕對(duì)值最大值分別為f1=0.4597 m/s和f2=170.98 kN。非冗余驅(qū)動(dòng)時(shí)比冗余驅(qū)動(dòng)時(shí)液壓缸的出力絕對(duì)值最大值多56.13 kN，即采用6+3型液壓冗余驅(qū)動(dòng)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)比非冗余的液壓缸最大出力減少了約32.8%，從而導(dǎo)致非冗余的液壓缸缸徑比冗余驅(qū)動(dòng)的要大很多。根據(jù)負(fù)載匹配[11]，非冗余的液壓伺服閥最大流量比冗余驅(qū)動(dòng)的要大很多。

當(dāng)只有1號(hào)～6號(hào)液壓缸（沒有7號(hào)～9號(hào)液壓缸），其它參數(shù)與表2中第二組參數(shù)一樣時(shí)，采用非冗余驅(qū)動(dòng)的六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)在12種工況下的液壓缸的伸縮速度絕對(duì)值和出力絕對(duì)值最大值分別為f1=0.5512 m/s和f2=162.72 kN。非冗余驅(qū)動(dòng)時(shí)比冗余驅(qū)動(dòng)時(shí)液壓缸的出力絕對(duì)值最大值多55.27 kN，即采用6+3型液壓冗余驅(qū)動(dòng)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)比非冗余的液壓缸最大出力減少了約34.0%，從而導(dǎo)致非冗余的液壓缸缸徑比冗余驅(qū)動(dòng)的要大很多。根據(jù)負(fù)載匹配[11]，非冗余的液壓伺服閥最大流量比冗余驅(qū)動(dòng)的要大很多。

表2 選擇的兩組參數(shù)

5 結(jié)語

本文首先利用凱恩方程對(duì)6+3型液壓驅(qū)動(dòng)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)建立了動(dòng)力學(xué)模型，然后利用進(jìn)化算法對(duì)具有明確物理意義的2個(gè)目標(biāo)函數(shù)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，能得到多組優(yōu)化解。通過實(shí)例分析， 采用6+3型液壓冗余驅(qū)動(dòng)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)比非冗余的液壓缸最大出力能減少30%以上，從而能選擇較小缸徑的液壓缸和較小流量的液壓伺服閥。從本文分析得到6+3型液壓冗余驅(qū)動(dòng)六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)可以作為重載運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)使用。