基于線性位移模式的環形諧振子理論研究

裴永樂，高立民，徐 亮，李 華，李曉輝，李錄賢

(1.中國科學院西安光學精密機械研究所，西安 710119；2.西安交通大學航天航空學院，機械結構強度與振動國家重點實驗室,飛行器環境與控制陜西省重點實驗室，西安 710049)

0 引言

諧振陀螺又稱為固體波動陀螺，是一種利用諧振子的駐波進動效應測量基座旋轉的無轉子式陀螺儀。由于其結構簡單、精度高、體積小、能耗小、工作溫度范圍大等顯著優點，被廣泛應用于航空、航天、航海、地面定位等領域。經典的諧振陀螺主要包括諧振子、基座以及激勵組件等部件(有些也可將基座與激勵組件整合在一起)，如圖1所示。其中，諧振子是諧振陀螺的敏感部件，也是諧振陀螺的核心部件，通常情況下，諧振子有兩種典型結構類型：簡化環型和旋轉薄殼型(如半球諧振子、鐘形諧振子等)。由于環形諧振子與旋轉薄殼型諧振子具有相同的四波腹振型和相似的動力學特性，可以用環形諧振子的模型來簡化研究半球諧振子唇緣的動態特性。

圖1 諧振陀螺結構示意圖

經典的環形諧振子理論是基于彈性力學理論以及幾何中性軸(或稱中心線)不可拉伸假設建立的(見式(1)之二式)。如圖2所示，對于環形結構，建立極坐標系-，和分別為環形結構幾何中心線(中性軸)的曲率半徑和特征長度，撓度(,)的控制方程及相關約束條件為

圖2 環形結構及坐標系示意圖

(1)

(2)

然而，在目前經典環形諧振子理論中,仍存在許多不足之處：1)經典理論對應的撓度控制方程式不能精確描述環形結構的靜態彎曲問題；2)對于動態響應問題，基于經典理論獲得的理論解式(2)不能精確反映結構特征尺寸(如高度、曲率半徑等)對動態響應的影響規律(特別是進動系數和二階振動角頻率)；3)經典理論也未充分考慮環形結構上、下表面剪應力自由條件。

因此，為了克服上述不足，本文從環形結構的基本假設和基本條件出發，系統地開展環形諧振子結構靜、動態問題的理論研究。

1 環形結構問題的數學描述

根據文獻[9-10]，建立坐標系-，如圖2所示。對于一個環形結構問題，可近似看成是一個平面應力問題。因而，三維彈性理論中6個應力分量減少到3個(即、和)；3個獨立的位移分量減少到2個(即和)。對于環結構問題，通常還進一步采用如下2個廣義位移定義以及基本概念。

1.1 廣義位移的定義

(3)

其中，表示環橫截面的面積;為環截面的拉伸剛度，其含義為

(4)

1.2 基本概念和基本假設

對于環結構問題，通常還進一步采用如下2個基本假設和1個基本條件。

基本假設1：徑向正應力相對和較小，因而在環結構中忽略不計(即=0)；其余2個應力與應變之間滿足退化的胡克(Hooke)定律，即

(5)

其中，和分別為截面上的正應變和剪應變；及分別表示材料的彈性模量和剪切模量，進而幾何關系可以表示為

(6)

基本假設2：徑向正應變恒等于零，即

=0

(7)

其含義為

??=0

(8)

式(8)表明,徑向位移只是的函數，不隨著高度坐標發生變化。

基本條件1：上、下表面剪應力自由條件。

根據基本假設1中式之二式，剪應力自由條件等價于

(,±2,)=0

(9)

1.3 位移模式及本構關系

對于環形結構，假設其位移模式為以下線性形式

(10)

其中，“′”表示物理量對周向坐標的一階偏導數。顯然，上述位移模式滿足式(9)(即上、下表面剪應力自由條件)。將式(10)代入幾何關系式(6)可得

(11)

對于環結構問題，其廣義應力的定義如下

(12)

其中，和分別為周向拉力和彎矩。

根據本構關系式(5)和幾何關系式(11)，可得環結構的廣義本構關系為

(13)

并且

(14)

2 環形結構的靜態彎曲問題

彎曲問題是環形結構靜力學的基本問題，目前已有許多學者進行了系統的研究，但是仍然沒有獲得精度很高、形式簡單的解析解。因此，這一節重點研究圓環結構的靜態彎曲問題。

2.1 靜態彎曲問題的基本理論

根據環結構的虛功原理，可得

0=δ+δ

(15)

其中，()為幾何中心線上的載荷分布函數。

(16)

將式(13)和式(14)代入式(16)，平衡方程為

(17)

相應的邊界條件為

(18)

當對于整個圓環結構進行分析時，取=2π，此外，還需要充分考慮環結構的連續性條件(或周期性條件)，從而保證計算結果的準確性。從環結構的物理意義上講，環結構的連續性條件可表述為

(19)

2.2 靜態彎曲問題的理論解

對于環結構彎曲問題，根據式(13)、式(14)和式(16)，有

″+=()

(20)

即

(21)

(22)

根據式(16)中第一式，可得

(23)

根據式(22)和式(23)，消去變量()可得

(24)

(25)

求解式(24)，可得

dd++

(26)

根據式(22)和式(26)，可得撓度()的分布為

(27)

根據式(26)及式(27)可知，對于靜態彎曲問題，本文理論中有6個邊界條件可唯一確定上述6個待求系數，因此環結構彎曲問題從數學意義上講是完備的。

3 環形結構的動態問題

環形諧振子結構的動態響應問題(如駐波進動效應、振動頻率等問題)，一直是諧振陀螺領域的重要研究內容。因此，本節基于上述廣義幾何關系、本構關系及哈密頓原理，對環形結構的動態響應問題進行系統的研究。

3.1 動態問題的基本理論

對于緩慢、勻速轉動過程中的環形諧振子結構，根據環結構的哈密頓原理，可得

(28)

其中

(29)

并且，和分別代表環結構中心軸處的周向速度和徑向速度。

(30)

其中

(31)

至此，建立了環形結構動態問題的控制方程，這對于求解環形諧振子的動態響應問題具有重要的指導作用。此外，環形結構的連續性(周期性)條件可一般地表述為

(32)

3.2 動態問題的理論解

二階(角)頻率及進動系數是諧振陀螺的重要動態響應參數，因此需要重點研究。為了獲得環形結構的動態響應問題的理論解，同樣引入幾何中性軸(或稱中心線)不可拉伸假設，考慮式(10)和式(1)之二式，從而有

(33)

即

(34)

(35)

其中，()和()為分布函數，并且該分布自動滿足周期性條件(見式(32))。

將式(33)和式(35)代入平衡方程式(30)，利用布勃諾夫-伽遼金法整理可得

(36)

其中

(37)

進而，進動系數和二階角頻率的理論解為

(38)

4 典型問題的求解與分析

為了減少諧振子在工作過程中的能量損耗，環形諧振子往往選用熔融石英材料，其相關力學參數如下：密度=2200kg/m，彈性模量=76.7GPa及泊松比=017?；谠摬牧系牧W屬性，本文對環形諧振子的靜態彎曲問題和動態響應問題進行了求解與分析。

4.1 彎曲問題求解及分析

為了驗證本文環問題的基本理論和解析求解方法的正確性，本小節對兩端(即=0及=π處)受簡支條件約束、均布載荷()=作用的環形結構彎曲問題進行分析?？紤]上述彎曲問題的對稱性，本文取二分之一圓環結構進行分析(即=π)，如圖3所示。根據式(18)，上述彎曲問題的邊界條件可進一步描述為

圖3 環形結構受均布載荷示意圖

(39)

(a) 當L/h=10及L/h=20時

根據圖4可知，對于上述彎曲問題，隨著長高比的增加，撓度的最大值在不斷減小，這是由于的增加，引起了整體結構剛度不斷減小的緣故。與此同時，在長高比分別為10、20、50和100的工況下，本文理論獲得解析解與Timshenko理論的解在整個區域內一致性十分好，并且具有良好的對稱性，這些都充分證實了本文環形結構理論和解析求解方法的準確性。

令人遺憾的是，經典環形諧振子理論是不能求解靜態彎曲問題的。根據經典環形諧振子的撓度控制方程式(1)，撓度控制方程可簡化為

,+2,+,=0

(40)

顯然，上述撓度控制方程無法充分反映結構特征尺寸、以及材料屬性對環形結構彎曲問題的影響。事實上，造成這一問題的根本原因在于，沒有厘清經典環形諧振子理論的基本條件(和假設)與理論求解的簡化條件(幾何中心線不可拉伸假設)之間的區別。在經典環形諧振子理論建立時，過早地將幾何中心線不可拉伸假設作為約束條件引入；從數學意義上講，該假設條件只是為獲取理論解而引入的一個簡化求解條件，并非是環形諧振子理論建立的基本假設(或條件)。

為克服經典理論不能求解環結構彎曲問題的不足，本文從環結構的基本假設和基本條件出發，根據虛功原理(或哈密頓原理)，建立了環結構彎曲問題的基本理論，獲得的平衡方程可以精確求解環結構的彎曲問題，見式(17)或式(30)左側項。因此，從這一方面來說，本文的環形諧振子理論具有更廣泛的適用性。

4.2 動態響應求解及分析

圖5 二階角頻率ω2隨h/r的變化規律

根據圖5可知，對于二階無量綱彎曲角頻率，利用經典環形諧振子理論獲得的計算結果為恒定值，而基于本文理論的計算結果不再為恒值，并且隨著的增大，對應的無量綱頻率在一定的小范圍內不斷減小，在=02時頻率值降低了約0.3%，這也是基于本文理論首次獲得的結果。此外，與有限元結果相比，盡管本文理論與經典理論的結果都會有一定偏差，這主要是因為本文理論與經典理論都忽略了環結構橫向剪切效應所致；但是，相較于經典理論的結果，基于本文理論的解更接近于有限元分析的結果(最大相對誤差小于1.4%)，這也證實了本文的計算結果具有更高的準確性。

另一方面，本文還研究了環形諧振子進動系數的分布規律。根據式(2)和式(38)，可獲得進動系數隨的變化規律，如圖6所示。同樣地，與經典環形諧振子理論的計算結果不同，本文獲得的進動系數值不再恒為0.4，而是隨著的增大，對應的進動系數在一定的小范圍內不斷減小，當=0.2時，進動系數值降低了約0.5%(降低至0.398)，這也是本文研究的另一重要理論結果。

圖6 進動系數K隨h/r的變化規律

事實上，對于環形結構的動態響應問題(即二階角頻率和進動系數)，對比了經典理論與本文新理論計算結果之間的差異，根據式(2)和式(38)，建立兩種理論解之間的聯系如下

(41)

5 結論

本文從經典環形諧振子理論出發，揭示了經典理論中的不足。然后，基于環結構問題研究的基本假設和基本條件(即上、下表面剪應力自由條件)，根據線性位移模式假設、廣義位移的定義、幾何關系和本構關系，獲得了環結構的廣義本構關系，利用虛功原理和哈密頓原理，建立了新的環結構理論，包括平衡方程、邊界條件、連續性條件等。同時，推導了典型環結構彎曲問題的解析求解方法及動態問題的理論解。最后，針對典型的環形結構靜、動態問題，利用本文的新理論及求解方法，通過與其他理論及有限元法的結果進行對比，證明了本文的環形諧振子理論和求解方法的準確性，并剖析了經典諧振子理論中缺陷產生的原因。

本文得出的主要結論如下：

1)本文獲得的環形諧振子結構的相關理論及求解方法，不僅可以求解動態響應問題，還可以求解靜態彎曲問題；

2)本文獲得的環形諧振子結構的二階彎曲角頻率理論解，不僅形式簡單，而且更接近有限元分析結果；

3)環形諧振子的進動系數事實上不是恒定的，其值會隨著結構尺寸的差異在0.4附近很小范圍內變化，并且進動系數的大小與材料的力學屬性(如彈性模量、密度及泊松比)無關。

此外，本文的環形諧振子理論對于高精度諧振陀螺的設計及模型誤差分析(如品質因數不均勻、供電電壓不穩等因素引入的誤差)等研究，具有重要的工程意義和學術價值。