基本不等式的應(yīng)用技巧

袁加順

(云南省大理州祥云縣第一中學(xué) 672100)

基本不等式是高中階段學(xué)習(xí)的一個(gè)重要的不等式，也是高考常考的考點(diǎn)，應(yīng)用較為廣泛.常用于求范圍、最值與證明等. 在應(yīng)用基本不等式思考問(wèn)題時(shí)，要關(guān)注一正、二定、三相等這三個(gè)條件是否滿足，缺一不可.如果應(yīng)用好這三個(gè)條件，掌握一些解題技巧，用基本不等式求最值等很多問(wèn)題就能迎刃而解.

1 轉(zhuǎn)化技巧

把方程或者等式利用基本不等式放縮為不等式，從而達(dá)到求解問(wèn)題的目的.

例1已知正實(shí)數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，則a+b的取值范圍是( ).

A．[9,+∞) B．[6,+∞)

C．(0,9] D．(0,6)

化簡(jiǎn),得(a+b+2)(a+b-6)≥0.

因?yàn)閍>0,b>0，所以a+b≥6，故選B.

點(diǎn)評(píng)題目需要求a+b的取值范圍，只有把積ab用基本不等式轉(zhuǎn)化為和a+b的形式，也就是把等式轉(zhuǎn)化為不等式，問(wèn)題就可以解決了.

2 乘1技巧

例2已知x+2y=xy(x>0,y>0),則2x+y的最小值為_(kāi)___.

解析由x+2y=xy(x>0,y>0),

點(diǎn)評(píng)同一道題目，如果用到幾次基本不等式，條件必須要統(tǒng)一，否則就不能使用，如果用乘1法，用一次基本不等式就能解決問(wèn)題.

3 配湊技巧

3.1 配系數(shù)

有時(shí)候求解兩個(gè)式子之積的最大值時(shí)，需要這兩個(gè)式子之和為常數(shù)，但很多時(shí)候其和并不是常數(shù)，需要對(duì)其中某些系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使得其和為常數(shù).

例3當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，求函數(shù)f(x)=x(4-2x)的最大值.

當(dāng)且僅當(dāng)2x=4-2x,即x=1時(shí)取等號(hào).所以函數(shù)f(x)=x(4-2x)的最大值為2.

點(diǎn)評(píng)由x∈(0,2)可知4-2x>0，要滿足和為定值，只有通過(guò)湊系數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化才可以用基本不等式求解.

3.2 配項(xiàng)

3.3 配次方

解析2y2=2x2(3-x2)(3-x2)

當(dāng)且僅當(dāng)2x2=3-x2，即x=±1時(shí)取等號(hào).

所以函數(shù)y=x(3-x2)的值域?yàn)閇-2,2].

3.4 復(fù)雜的配湊技巧

點(diǎn)評(píng)若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，則可考慮裂項(xiàng)，變?yōu)楹偷男问剑缓蟆捌礈惗ǚe”.

4 消元技巧

消元法是不等式中的兩元問(wèn)題，用一個(gè)字母表示另一個(gè)字母，再構(gòu)造為基本不等式的標(biāo)準(zhǔn)型.

解析已知m>0,n>-1,且m+n=1，

所以n=1-m<1.

所以2-m>0.

所以x>1,y>1.

可得xy-x-y=0.

5 放縮技巧

有些代數(shù)式根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征經(jīng)過(guò)拆、拼放縮后，再用基本不等式求最值.

故選B.