高三復習課中的模型再認識
——以圓錐擺模型為例

曹鑫輝

(浙江省湖州長興中學 313100)

1 問題來源

例題撥浪鼓最早出現(xiàn)在戰(zhàn)國時期，宋代時小型撥浪鼓已成為兒童玩具.四個撥浪鼓上分別系有長度不等的兩根細繩，繩一端系著小球，另一端固定在關于手柄對稱的鼓沿上.現(xiàn)使鼓繞豎直放置的手柄勻速轉動，兩小球在水平面內(nèi)做周期相同的圓周運動.圖1中兩球的位置關系可能正確的是(圖1中細繩與豎直方向的夾角α<θ<β)( ).

圖1

本題是《2020年6月江蘇省七市高三第三次調研考試物理試卷》第5題，在一輪復習后的一次綜合測試中將該題作為測試題之一，目的是測試圓錐擺模型掌握情況.測試的結果發(fā)現(xiàn)：35%的學生不知道如何從實際問題中提取構建模型，所以沒有從圓錐擺模型方向去思考；40%的學生能夠考慮到圓錐擺模型，但是不知道如何建構模型；20%的學生構建好模型之后由于題目涉及的物理量太多，短時間內(nèi)找不到處理問題的辦法.分析原因：由于對圓錐擺模型結構特點不熟悉，無法迅速判斷模型來源和建構基礎模型；由于沒有掌握圓錐擺動力學特點而無法明確分析方向；沒有深入分析過圓錐擺模型的變化特點，無法找到最后解題的突破口.這也是學生普遍存在的各類模型問題.鑒于以上分析，高三一輪復習后開展了物理模型微專題復習，從模型提煉(模型特點分析)，模型過渡(模型遷移)，實際生活中復雜背景下的模型建構三方面來強化學生的模型構建能力.本文以圓錐擺為例.

2 圓錐擺模型特點提煉

圓錐擺是一種理想模型，理想研究對象，理想條件，理想過程，是運用比較理想且純粹的方式所創(chuàng)造的、能再現(xiàn)原型的本質聯(lián)系與內(nèi)在特征的一類簡化模型.現(xiàn)將圓錐擺的特點分為三步：

2.1 可視性結構特點

典型的圓錐擺如圖2具有以下幾個可視性的結構要素：懸點O、擺長l、擺角θ、圓周運動軌道平面及軌跡圓心.

圖2 圖3 圖4

可視性結果有時也會約束學生的模型建構，這時需要進行簡單的模型遷移，如圖3、4，經(jīng)過受力分析不難發(fā)現(xiàn)小球的運動也是屬于圓錐擺模型，彈力方向與軸線的交點即為懸點，懸點與小球間的距離即為擺長，彈力方向與軸線的夾角即為擺角.經(jīng)過模型遷移，將經(jīng)典的圓錐擺模型遷移到“無繩”圓錐擺，并將圓錐擺的可視性結構特點進行進一步總結.當物體做圓周運動一周，有一個力始終指向非軌道平面內(nèi)的一點，即可將該物體的運動模型構建為圓錐擺模型.該模型特點掌握之后便于學生迅速判斷出是否是圓錐擺模型.

2.2 動力學特點

如圖5.假設繩長為l，小球質量為m，則小球做勻速圓周運動的半徑r=lsinθ,根據(jù)牛頓第二定律和勻速圓周運動的性質，可以得到豎直和水平方向的方程：FTcosθ=mg

圖5 圖6

①

②

根據(jù)①、②可以解得繩的拉力、向心加速度、線速度、角速度以及周期等物理量.

2.3 變化性特點

(1)擺角θ不變，擺長l與高度差h變化

如圖6根據(jù)受力分析可得繩子的拉力不變，所以小球做圓周運動所需的向心力也不變，根據(jù)②式可得擺長越長，所以vAωB

(2)擺長l不變，擺角θ與高度差h變化

如圖7根據(jù)受力分析可得，繩子對A球的拉力大于對B球的拉力，小球做圓周運動所需的向心力FnA>FnB,

圖7 圖8

所以ωA>ωB

(3)高度差h不變，擺角θ與擺長l變化

如圖8，如圖根據(jù)受力分析可得，繩子對A球的拉力大于對B球的拉力，小球做圓周運動所需的向心力FnA>FnB，

所以ωA=ωB.

由v=ωr可得vA>vB

3 過渡模型的模型建構

(1)如圖9所示，一個內(nèi)壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動，有兩個質量相同的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運動.則下列說法正確的是( ).

圖9 圖10

A.球A的線速度必定大于球B的線速度

B.球A的角速度必定小于球B的角速度

C.球A的運動周期必定小于球B的運動周期

D.球A對筒壁的壓力必定大于球B對筒壁的壓力

經(jīng)過受力分析，發(fā)現(xiàn)屬于變化類型的第一種.所以本題選AB.

(2)如圖10所示,內(nèi)壁光滑的半球形碗固定不動,其軸線垂直于水平面,兩個質量相同的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在水平面內(nèi)做勻速圓周運動,則( ).

A.球A的角速度大于球B的角速度

B.球A的線速度大于球B的線速度

C.球A的向心加速度大于球B的向心加速度

D.球A對碗壁的壓力與球B對碗壁的壓力大小相等

經(jīng)過受力分析，屬于變化類型的第二種.所以本題選ABC.

(3)如圖11所示，兩根質量不計的輕質彈性桿插在轉盤中心，桿上端套有兩個質量均為m的小球，現(xiàn)使兩小球沿同一水平面做角速度為ω的勻速圓周運動，設重力加速度為g.求：兩桿對小球的力的方向與轉軸交點之間的距離.

圖11 圖12

如圖12受力分析，屬于第三種模型，所以兩桿對小球的力的方向與轉軸交點之間的距離為零.

以上三個銜接練習均為圓錐擺模型，且為無繩圓錐擺模型，綜合以上分析，若一物體所勻速圓周運動，且物體所受力的方向不在圓周運動所在平面內(nèi)，則可以考慮圓錐擺模型方向. 按照圓錐擺模型找到擺角θ、擺長l與懸點與軌跡圓心高度差h，并進行相關分析.

4 實際情境中模型構建

圖13