百萬擴招背景下高職數學之教學實踐

王詠芳

(江蘇省太倉市蘇州健雄職業技術學院 215411)

李克強總理在2019年的《政府工作報告》中要求的百萬擴招政策，使職業院校生源結構更加多元化，必須全面構建開放式、個性化的學習體系.數學課程在其中扮演了重要角色.數學學習的過程不僅是知識積累過程，更是恰當學習方法的探索與掌握的過程.

1 調查摸底，背景分析

經過調查問卷、座談會和聊天交流等摸底后，發現擴招生源的結構十分復雜，可以用“大”來概括：一是年齡相差大，出現了父子同學；二是基礎相差大，有簡單四則運算不熟練的，也有剛學過一些微積分的；三是學習目的相差大，有剛出校門暫不準備工作的，也有在社會上“闖蕩”多年急需“充電”的；四是可支配時間相差大，有可脫產的，有工作脫不開身的.

基于生源的實際情況，在數學課堂上必須破解規模化和個性化、共性需求和個性需求包容的平衡結構瓶頸，形成更加恰當的“因才施教”范例.基本思路為：首先，學習的基本路徑必須是“平緩”的，必須是“深入淺出”的.其次，以“以直代曲”為切入點，引導學生去思考，去分析問題、分解問題、解決問題，在實現問題分解的同時也實現了難點和主要矛盾的轉移.第三，留有“端口”，許多“支節”問題、特殊問題，不作為課堂內容，或者在課堂上提示一下，作為課后作業布置.目的是培養學生自主學習能力，尋找最佳的個性化學習方法，實現教與學的分層分類.

2 揚長避短，以人為本

2.1 拾遺補缺

目的是解決部分基礎差的同學存在的“短板”，以小組、結對為主，互幫互學，老師適當補充講解、督促、檢查，已經會的同學通過互幫互學時的講解能提高掌握程度，提高表達能力，沒學過的同學能找到自己的“不足”之處.

2.2 清障梳理

以基本初等函數為載體和目標，從數的運算，到用字母代替數，再到方程、函數，最后是平面直角坐標系中的圖象、性質，引領同學們發現“短板”障礙，并解決問題.初步建立數形結合的思想方法：由圖象記憶性質，由性質記憶圖象.

2.3 以直代曲

作為微積分學中三大計算的切入(引入)點，通過“承認誤差、減小誤差、消滅誤差”三步驟，將問題進行邊分析、邊分解、邊解決，形成數學中樸素的、易懂易用的思想方法：“以直代曲”.

2.3.1 數列極限的概念是以圓內接正多邊形面積代替圓面積來引入，具體做法如下.

(1)在以圓內接正三角形面積S3、內接正六邊形面積S6、內接正十二邊形面積S12、…來代替圓面積S，用PPT動畫表現出來，可以與同學們逐步達成共識：①用直線段代替了圓弧線；②內接正多邊形面積是可以計算的；③形成了一個無窮數列；④每一項都與圓面積有誤差；⑤項數越往后，誤差越小；⑥有必要觀察這個數列的變化趨勢，但這是一個無法逐一去完成的任務！

(2)引入針對上述數列的描述性定義：

純文字：當項數不斷向后推進時，內接正多邊形的面積越來越接近于圓面積；

半文字：當n→∞時，Sn→S；

共識：數學是簡潔的！內涵是豐富的！

(3)正式講述數列極限的描述性定義，并通過幾個簡單的、典型的數列說明：收斂與發散，單調收斂與跳躍收斂，定向發散與不定向發散，并強調記憶.

共識：極限是變化趨勢；有極限計算這類需求；極限計算是問題的核心、重點、也是難點，暫時擱置，以后專門解決.

(4)拓展端口.以問問題的形式，或自問自答，或請同學回答，也可先小組討論選代表回答，還可以留作課后復習、作業，留作下次課前回答，可以書中找、網上搜等等.本知識點有以下問題可以提出.

①不是正多邊形可以嗎？

②用相同的方法求周長可以嗎？

③是否可以用外切正多邊形來解決問題？

④內接正邊形的面積構成的數列的增減性如何？外切的呢？(注：此問題為定理“單調有界數列必收斂”作準備，也為兩邊夾定理作例子)

⑤比較：內接正三角形面積S3，內接正六邊形面積S6，內接正十二邊形面積S12，…，以及，內接正三角形面積S3，內接正四邊形面積S4，內接正五邊形面積S5，…，構成的兩個數列的區別與聯系.(子數列問題，包括增減有限項問題)

⑥對“趨向(于)”是怎樣理解的？

⑦試算一下內接正n邊形的面積.(為第一個重要極限作準備)

⑧數列是函數嗎？有什么特殊性？

(5)本知識點的課堂用時為一個學時，用圓內接正多邊形面積代替圓面積，以達到三個目的：一是“以直代曲”思想，即：“承認誤差、減少誤差、消滅誤差”這一數學思想方法；二是無窮數列的變化趨勢是有這方面的需求的；三是復雜的計算和觀察變化趨勢“暫時擱置”—有需求但另議，實現問題分解和矛盾轉移.

2.3.2 導數的概念以自由落體運動為例引入

(1)物理學中知道：自由落體運動中，路程S是時間t的函數，并且有

問題：1秒時的瞬時速度V(1)=？

(2)顯然，我們可以用上面三個平均速度任何一個來代替—承認誤差，根據生活經驗與分析，時間間隔小的誤差也小，于是有1秒到1+Δt秒時的平均速度：(減小誤差)

Δt越小時，誤差越小，所以取極限：(消滅誤差)

所以有：自由落體運動中，1秒時的瞬時速度是10m/s.

共識：計算瞬時速度時需要計算路程改變量與時間改變量比值的極限，簡稱“差商極限”.

(3)拓展設問:①能否用0.5秒到1秒的平均速度代替1秒時的瞬時速度？試算一下;②能否用2秒到3秒的平均速度來代替?③將自由落體運動改為變速直線運動時，計算有什么區別？改成變速圓周運動呢？

(4)還可以通過切線斜率的計算，歸納出：差商極限的計算是有需求的，但具體計算是相當不容易的.導數計算就是解決主要矛盾，發揚“迎著困難上”的精神.

2.3.3 定積分的引入可以用均分求面積來引入

以標準拋物線在[0，1]區間上所圍面積計算為例，等分計算長條面積并求和：近似面積(承認誤差)，份數越多誤差越小(減小誤差)，取極限(消滅誤差)；又一次展現“以直代曲”的解決方法.

2.4 問題解決.極限、導數、積分三個定義中都將矛盾進行了的轉移，轉移成微積分學中的三大類計算.

2.4.1 極限計算只需掌握若干個基本的未定型，包括兩個重要極限，即從最簡的幾個極限出發，配以極限的四則運算法則，來完成極限計算.以最佳求解方法為范例，不作一題多解.

2.4.2 導數計算時，是圍繞著“湊”公式進行，從直接湊公式到掰開了湊，只是利用四則運算法則時不能想“當然”：乘與除的法則是掰開了“組合”地湊！復合函數求導時，是“借用公式的湊”，將含自變量當成自變量湊用公式，后乘含自變量式的導數.

2.4.3 定積分計算最為簡單，只需正確書寫微積分基本公式.強調計算時細心即可.

3 融會貫通，厚積薄發

微積分學作為高職數學的一門基礎課程，其作用是多方面的.

一方面是知識的積累，明確已有成果，不走“重復路”：不必去做“割圓術”，也不必去一一證明導數公式；而是要“多多益善”地知道數學已解決的、可解決的問題.

另一方面是數學的思想方法，“以直代曲”就是簡單實用的一種數學的思想方法，是復雜問題分解成多個簡單問題的一種處理手段.

第三方面是數學式的表達，從數學的角度來看，理解或掌握的知識點并不一定能恰當地表達出來，“恰當地表示”就是用最為簡潔的、易懂的、嚴密的(不引起岐意的)表達出來，換言之就是，數學中的定理都是簡潔而內涵豐富.例如，初等函數在其定義區間內都是連續的.不足二十字的定理，其中的內涵可以推敲多時.

由此可見，數學課程的學習，在整個學習過程中的作用是重要的，是其它課程無法替代的，更是為學生可持續發展打造出一個基礎平臺，一個具有相當的數學知識和數學能力的平臺.為更好地建設這個平臺，結合擴招生源的實際情況，設計了上述的課堂實施線路圖.讓學生始終明確“要做什么，怎么做”，學會分析、分解問題、解決問題的總體線路，潛移默化地讓學生克服對數學的恐懼心理，養成良好的學習方法、習慣.同時，留下相當的拓展端口，鼓勵學生進行查閱各種教材及上網搜索，為個性化學習提供方向.