在高中數學解題中應用轉化思想的幾點思考

程新益

(江蘇省江陰市要塞中學 214431)

高中數學的教學重點不僅僅只是讓學生掌握數學的基本知識和理論，其實踐性和難度都比初中數學高得多，因此，在高中數學的教學過程中，不應只讓學生通過“刷題”來提升自己的解題能力，教師應將數學思維、數學思想融入教學過程中，讓學生能夠捕捉到解題的方法、重點、思維，快速高效的進行解題.轉化思想是數學解題思想的重要思想，其可將復雜的問題簡單化，陌生問題熟悉化，有助于學生思維嚴謹性的提升，良好的解題習慣也會隨之逐漸形成，進而能撬動學生的思維，在啟智明理中促進學生自主學習，從而提高教學質效.

1 轉化思想在高中數學解題中的意義

高中數學題目(尤其是理科數學)的難度和抽象性皆明顯高于初中數學，學生在解題過程中，教師可以將轉化思想運用于解題過程中，進而達到快速解題的目的.轉化思想要求學生通過側面或反面整理解題思路，尋找突破口，把復雜、抽象、困難的問題轉變為成一個或若干個自己熟知的或能解決的問題.在學習數學的過程中，大部分學生會將一個較難的問題通過分解、變形、代換、平移、旋轉、伸縮等多種方式，將之轉化為一個或幾個自己熟悉的基本的問題，從而求出答案.在解答一元二次方程時，學生可以將一元二次方程通過因式分解轉化為一元一次方程.

2 在數學解題過程中利用轉化思想的策略

2.1 將復雜問題簡單化

復雜問題簡單化，可以是一個數學公式，一個數學概念，一個數學定義，也可以是有關數學公式的記憶，數學定義的證明等等.下面我就如何簡單數學問題說我的幾點看法: 一、用自己熟悉的、精簡的語言闡述數學概念和定義.這樣有利于加強概念、定義的理解和記憶.比如，在我講拋物線方程的時候，拋物線方程與焦點位置有密切關系，拋物線方程一次項即是焦點所在位置.而切拋物線的焦點與拋物線方程的系數的四分之一倍數有關.這里我用自己的語言向同學們總結.拋物線的方程要么是x2等于好多y,要么是y2等于好多x，這主要就看焦點位置了，如焦點在x軸，一次項就是x，所以方程就是y2等于好多x.以次類推.當面臨一道結構復雜直接解答會難以上手的問題時，可將該問題劃分為一個或多個簡單的問題，逐個解答.例如以下題目：

2.2 將常量轉變為自變量

變量轉化多用于含有X未知數的不等式問題，在做該類題目時，需根據題目的條件求出參變量的取值范圍，雖然該類題目的做題方法多，即：對其分類討論、數形結合、分離參數、利用函數性質，但次過程較為復雜，出錯了較高，若能使用變量轉化則可事半功倍.例如以下例題：

例1設a,b是兩個實數,A={(x,y) ∣x=n,y=na+b,n∈z},B={(x,y)∣x=m,y=3m2+15,m∈z,}C={(x,y) ∣x2+y2≤144}是否存在a,b使得(1)A∩B≠____;(2)(a,b) ∈C同時成立.

方法一假設存在(x,y)∈A∩B,則相應的直線y=ax+b與拋物線y=3x2+15有公共點.

△=a2-12(5-b) ≥0，即-a2≤12b-180，

所以a,b不存在.

分析以該題為例，解法一采用X為變量，帶入過程較為復雜，計算量大，學生在解題的過程中，容易出現作物；而解法二是將a、b等轉變為變量，將X作為常量，轉化思維，解題過程簡單易懂，由此看出解決此題選a,b為變量,x為常量同樣是可以找到一種優質的解法.如何設定主元，對學生的思維能力的要求較高，主元選定之后，有助于用方程或函數思想來解決問題.

2.3 將抽象問題形象化

學生在解答抽象問題時，往往會出現找不到解題思路的情況，尤其是函數問題，此時便可采取抽象問題形象化的解題方法解決，將抽象問題形象化主要有換元法、湊合法、待定系數法、利用函數性質法等.

2.3.1 換元法

即用中間變量表示原自變量x的代數式，從而求出f(x)，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養學生的靈活性及變形能力.

2.3.2 湊合法

該方法是在已知f(g(x))=h(x)的條件下，把h(x)并湊成以g(u)表示的代數式，再利用代換即可求f(x).此解法簡潔，還能進一步復習代換法.

∴f(x)=x(x2-3)=x3-3x，(|x|≥1)

2.3.3 待定系數法

先確定函數類型，設定函數關系式，再由已知條件，定出關系式中的未知系數.

例4已知f(x)二次實函數，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x).

2.3.4 利用函數性質法

主要利用函數的奇偶性,求分段函數的解析式.

例題已知y=f(x)為奇函數,當x>0時,f(x)=lg(x+1),求f(x).

解析∵f(x)為奇函數，

∴f(x)的定義域關于原點對稱，故先求x<0時的表達式.

∵-x>0,

∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x),

∵f(x)為奇函數，∴lg(1-x)=f(-x)=-f(x)

∴當x<0時f(x)=-lg(1-x)

2.4 靜態問題動態化

部分數學問題在以靜態的思路進行解題可得出結果，但過程復雜，學生在做題過程中容易出錯，因此，在做該類題目時，可將靜態問題動態化，即：通過研究變動情況對題目可能出現的特殊情況進行分析，進而簡化解題過程，防止錯誤的發生.

解題過程解 ①若∠PF2F1=90°.

則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，

②若∠F1PF2=90°，則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，

∴|PF1|2+(6-|PF1|)2=20，

分析改題目的直角位置為得到確定，因此，在解題過程中，我們需要先確定直角可以確定的位置，在以分類的方式對直角的位置進行確定，最后對所有可能出現的可能進行匯總，進而得出范圍.解答問題則可要讓，F1和F2動起來，對其進行分類討論，以提高解題的效率.

轉化思想是數學解題思想中的重要部分，其可將復雜的問題轉化為簡單問題，抽象問題轉化為具象問題等，可幫助學生提升解題效率，降低錯誤率的發生，對于學生提高成績具有重要意義.其次，轉化思想可有效鍛煉學生的思維邏輯能力，提升其做題的嚴謹性，進而使其做事的思維能力、嚴謹性得以有效提升，為其未來的發展奠定堅實基礎.因此，高中數學教師在教學過程中，應將該思想廣泛運用，幫助學生領悟解題方法，掌握解題能力，為其高考提供堅實保障.