函數(shù)思維在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用

孫高傳

(江蘇省南通市東方中學(xué) 226010)

中學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)離不開解題思維的建立，而解題思維是學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)及內(nèi)化時(shí)所形成的解題思路.一般來說，中學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)所具備的解題思維包含抽象思維及函數(shù)思維等，但函數(shù)思維是中學(xué)生解題過程的核心，也是中學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)的重點(diǎn)及難點(diǎn)，其不僅可以加強(qiáng)各數(shù)學(xué)對(duì)象的聯(lián)系，還可實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的轉(zhuǎn)化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)變化的了解，提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，使其具備更加靈活及豐富的解題思路，促進(jìn)其數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用能力的提升.

1 關(guān)于函數(shù)思想

1.1 國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀

解決數(shù)學(xué)問題的方法大家各顯神通，但函數(shù)思想在國內(nèi)外數(shù)學(xué)專家的眼中仍占據(jù)不可小覷的重要地位.數(shù)學(xué)家王太青曾說，中學(xué)教學(xué)過程中函數(shù)思想的運(yùn)用十分重要.無獨(dú)有偶，據(jù)國外學(xué)者們研究表明，函數(shù)作為一個(gè)備受數(shù)學(xué)家歡迎的概念，在教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)學(xué)生困惑的“變量”與“常量”的問題，引起大家學(xué)習(xí)的熱潮.綜上所述，在中學(xué)的數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)的思維占據(jù)很大的比重，構(gòu)建學(xué)生的函數(shù)思維體系，搭建數(shù)學(xué)整體的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn).

1.2 國內(nèi)教學(xué)大綱的要求

函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想中一種重要的思維方式，在教學(xué)中，也是一種重要的解題方式.在中學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，掌握函數(shù)相關(guān)的知識(shí)，可以幫助學(xué)生利用量變思維及函數(shù)思維分析問題，將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化、歸納，利用邏輯，實(shí)現(xiàn)快速解題的目的.掌握函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，可以指導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)作為一種思維工具，更加多元、全面的應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)難題，從函數(shù)性質(zhì)作為切入點(diǎn)，構(gòu)建函數(shù)的模型，分析是否能從函數(shù)的角度突破壁壘，順利解決問題.

2 函數(shù)思維的特性

2.1 辯證性較強(qiáng)

函數(shù)思維隸屬于辯證思維，具有較強(qiáng)的辯證性.在探討各數(shù)學(xué)對(duì)象之間具備的聯(lián)系以及其是否存在一定轉(zhuǎn)化關(guān)系的過程中，加強(qiáng)對(duì)其辯證關(guān)系的了解，促進(jìn)解題方法多樣性建設(shè)，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)感知能力，培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神，促進(jìn)其解題能力的提高.

2.2 邏輯性較高

函數(shù)思維具有較高的邏輯性.相較于抽象思維而言，函數(shù)思維的邏輯性不僅強(qiáng)調(diào)其具有統(tǒng)一性及可調(diào)整性，還強(qiáng)調(diào)其應(yīng)具有變化性，加強(qiáng)數(shù)與形的結(jié)合，推動(dòng)二者關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化，促進(jìn)代數(shù)與幾何的聯(lián)系性的提高，助推解題思路的拓寬.

2.3 變化性較多

函數(shù)思維具備的最基本特征就是變化性.函數(shù)思維具有一定的靈活性，可實(shí)現(xiàn)對(duì)各數(shù)學(xué)對(duì)象之間關(guān)系的反映，以函數(shù)的形式進(jìn)行數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵的表達(dá)，提升其與數(shù)學(xué)發(fā)展的適應(yīng)性，促進(jìn)解題方法豐富性的研發(fā).

3 函數(shù)思維在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用

3.1 函數(shù)思維在解方程題方面的應(yīng)用

在解方程問題時(shí)，應(yīng)以函數(shù)思維為指導(dǎo)促進(jìn)已知關(guān)系與未知關(guān)系的轉(zhuǎn)化，將函數(shù)性質(zhì)作為解題的工具，加強(qiáng)函數(shù)的構(gòu)造，將該方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，促進(jìn)解題方式的簡(jiǎn)化.

解析由已知條件可知a+b=6，ab=6，所以a、b為方程x2-6x+6=0的根.

當(dāng)x=a時(shí)，a2-6a+6=0，2a2-12a+1=2(a2-6a+6)-11=-11

當(dāng)x=b時(shí)，b2-6b+6=0，3b2-18b+1=3(b2-6b+6)-17=-17

由上可知(2a2-12a+1)(3b2-18b+1)=-11*(-17)=187.

3.2 函數(shù)思維在不等式解題方面的應(yīng)用

在進(jìn)行不等式解題時(shí)，通過對(duì)函數(shù)思維的利用，可加深學(xué)生對(duì)不等式意義及性質(zhì)的了解，促進(jìn)學(xué)生對(duì)不等式解題思路的掌握，提升其數(shù)學(xué)邏輯思維，加強(qiáng)圖形與數(shù)學(xué)的結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問題深刻含義的理解，提高學(xué)生的函數(shù)構(gòu)造能力.

例2x屬于一些實(shí)數(shù)，而不等式|x+1|+|x-2|>m恒成立，求m的取值范圍.

解析根據(jù)該題目可設(shè)f(x)=|x+1|+|x-2|,若f(x)=1-2x，則x≤-1，若f(x)=3，則-1

在進(jìn)行不等式問題解答時(shí)，可有效借助函數(shù)思維，將圖形與數(shù)學(xué)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，促進(jìn)對(duì)不等式問題的有效解答，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的架構(gòu).

3.3 函數(shù)思維在二元函數(shù)解題方面的應(yīng)用

在進(jìn)行二元一次函數(shù)解題時(shí)，可通過對(duì)函數(shù)性質(zhì)的充分掌握，有效結(jié)合函數(shù)思維，促進(jìn)解題技巧的提升.

例3 已知y與2x+1成正比例，當(dāng)x=3時(shí)，y=10，求y與x的函數(shù)表達(dá)式.

3.4 函數(shù)思維在數(shù)列解題方面的應(yīng)用

很多數(shù)列問題的解題思路與函數(shù)思維息息相關(guān)，通過運(yùn)用函數(shù)思維的分析思路，能幫助問題更加簡(jiǎn)化，提高做題的效率.

例4 已知的等差數(shù)列一共有10項(xiàng)，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為40，奇數(shù)項(xiàng)之和為25，求公差.

解析此題可以將公差這個(gè)變量進(jìn)行賦值，通過等差數(shù)列的定義，列方程組進(jìn)行求解.設(shè)等差數(shù)列的首相為a1，公差為d，根據(jù)題目，可以得到兩個(gè)方程式，分別是a1+a3+…+a9=25和a2+a4+…+a10=40，簡(jiǎn)化后的方程組為a1+4d=5和a1+5d=8，從而學(xué)生可以得出結(jié)果a1=-7，d=3.

4 在不同解題方面培養(yǎng)函數(shù)思維的教學(xué)策略

4.1 加強(qiáng)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系

在進(jìn)行方程問題的解答時(shí)，將函數(shù)思維應(yīng)用到其中，可有效促進(jìn)問題解決程序的簡(jiǎn)化，降低學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的難度，加強(qiáng)函數(shù)與方程的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)相應(yīng)問題思維導(dǎo)圖的構(gòu)建，提升學(xué)生知識(shí)的運(yùn)用程度，使其主動(dòng)投身入問題的解答中，促進(jìn)自身數(shù)學(xué)思維的拓展.因此，教師應(yīng)充分掌握每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)課程的合理化安排，提升函數(shù)與方程的聯(lián)系，幫助學(xué)生架構(gòu)合理的函數(shù)思維，引導(dǎo)其掌握構(gòu)造函數(shù)的技巧，提高學(xué)生的想象力.

4.2 促進(jìn)不等式中函數(shù)關(guān)系的明確

在進(jìn)行數(shù)學(xué)不等式解題時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)函數(shù)思維的利用，在掌握函數(shù)的定義域及值域等基礎(chǔ)上，進(jìn)行零點(diǎn)及極值的探索，促進(jìn)不等式問題的解決.一方面，教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)函數(shù)關(guān)系的明確，促進(jìn)學(xué)生對(duì)未知關(guān)系的掌握.另一方面，教師在進(jìn)行不等式解題時(shí)，可加強(qiáng)其與函數(shù)圖像的聯(lián)合，使學(xué)生對(duì)其具有一定的直觀性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)解題條件的明確，使其充分了解題目的核心思想，提升將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的效率，實(shí)現(xiàn)以函數(shù)思維進(jìn)行問題解答的目標(biāo)，促進(jìn)解題步驟的減少，避免對(duì)學(xué)生解題思維的限制，提升學(xué)生圖形與數(shù)學(xué)結(jié)合的能力，促進(jìn)其學(xué)習(xí)水平的提高，從而充分展現(xiàn)相應(yīng)的教學(xué)成果及成效.

4.3 加強(qiáng)對(duì)二元函數(shù)性質(zhì)的掌握

二元函數(shù)具有較為復(fù)雜的性質(zhì)及解題條件.為提升學(xué)生的解題效率，學(xué)生應(yīng)提高自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及認(rèn)知水平，促進(jìn)函數(shù)思維的升級(jí).首先，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二元函數(shù)表達(dá)形式的明確，加強(qiáng)對(duì)相應(yīng)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，如對(duì)稱軸基本知識(shí)，圖像基本知識(shí)以及交點(diǎn)式等，對(duì)繁多的知識(shí)點(diǎn)予以梳理，對(duì)學(xué)生進(jìn)行逐步的灌輸.其次，教師應(yīng)促進(jìn)二元函數(shù)復(fù)雜內(nèi)容的簡(jiǎn)化.教師應(yīng)具備豐富的專業(yè)知識(shí)，明確如何對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，建立一定的切入點(diǎn)進(jìn)行教導(dǎo)，如函數(shù)性質(zhì)等，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的合理建設(shè)，使學(xué)生逐漸明晰教學(xué)內(nèi)容.

4.4 與數(shù)形聯(lián)系的解題思路

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)研究對(duì)象，一般分成兩個(gè)部分，分別是數(shù)與形，雖然兩者之間直觀感受并無相通之處，其實(shí)不盡然.數(shù)與形的結(jié)合或者形與數(shù)的鏈接，是尋找問題解決方式的最佳切入點(diǎn)，提供給學(xué)生解決數(shù)學(xué)思路的雙向路徑，所以教師需要教導(dǎo)學(xué)生在應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)題目以及解決函數(shù)問題的時(shí)候，最好的方法是數(shù)形并用，在了解題干的同時(shí)，簡(jiǎn)要畫出圖形，方便自己正確理解題目?jī)?nèi)容，高效繪制答案.

初中生的函數(shù)思維亦是如此，函數(shù)的定義概念勾勒出框架，而函數(shù)的性質(zhì)展示函數(shù)的圖像，兩者之間缺一不可，教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形的思維模式，借圖修文，不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，還能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力.

4.5 函數(shù)思維在生活中的應(yīng)用

很多學(xué)生或家長(zhǎng)認(rèn)為，函數(shù)思維只應(yīng)用于當(dāng)前階段學(xué)生復(fù)雜的學(xué)習(xí)壓力上，對(duì)解決生活中的實(shí)際問題毫無幫助，其實(shí)不然，學(xué)科的題目也偏生活化，將考試問題與函數(shù)思想聯(lián)系起來，幫助學(xué)生建立場(chǎng)景，提高解題的效率.

總而言之，在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，不僅應(yīng)注重學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的掌握，更應(yīng)注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用，提高其知識(shí)應(yīng)用的靈活性.教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)函數(shù)思維的重視，并將其作為教學(xué)中的重點(diǎn)，促進(jìn)教學(xué)方式的創(chuàng)新，加強(qiáng)學(xué)生函數(shù)思維的優(yōu)化建設(shè)，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提升，還應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生函數(shù)思維的訓(xùn)練，強(qiáng)化教學(xué)手段，在教學(xué)過程中加強(qiáng)函數(shù)思維的滲透，引導(dǎo)學(xué)生架構(gòu)科學(xué)性的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)其解題效率的提升，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生探究式學(xué)習(xí)的培養(yǎng)，提升其解題水平.