指向核心素養的幾何定理教學策略研究

朱敏敏

(江蘇省徐州市銅山區清華中學 221116)

數學核心素養是數學教育的靈魂，史寧中教授概括為：用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界.數學教學應體現出嚴謹的思維態度和縝密的思維方法.數學中的幾何定理是通過嚴謹的推理而證明得到的真命題.幾何定理的教學主要是由采用由一般到特殊的演繹推理.幾何定理的教學要經歷“定理的引入---定理的驗證---定理的應用遷移----定理的反思內化”的過程.通過這幾個環節的深度教學，拓展學生對定理認識的“深度”和“寬度”，促使學生主動發現提出問題，獨立思考解決問題，合作探究創新解法，勇敢表達質疑的良好品質和習慣，全方位的促進學生數學核心素養的養成，使學生獲得更有潛能，更有發展空間的能力.本文以“直角三角形斜邊中線定理”為載體，從定理引入、定理推導、定理應用和定理的總結反思四個方面探究數學核心素養的落實策略.

1 定理引入——情境驅動，猜想發現，生成定理

課堂上的情境創設，是師生之間心靈溝通的第一座橋梁，對后續的教學內容起著鋪墊的作用，有利于學生在理論知識與實踐應用的交互碰撞中有所發現，啟發聯想，理解知識，提升能力.關于“直角三角形斜邊中線定理”，通過折紙操作，情境引入.如圖1，剪一張直角三角形紙片，按圖2方式折疊，繼續折疊如圖3，展平得圖4，觀察圖4，CD與AB之間有怎樣的數量關系？

圖1 圖2 圖3 圖4

學生借助課前準備好的直角三角形紙片，按步驟實際動手操作，可反復操作折紙過程，培養學生從實踐中發現問題的好習慣.在感性認知的基礎上，組織學生細心發現，猜想交流，并用試著用自己的語言描述這個發現，進而歸納出定理的內容：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.”把高度抽象的幾何定理通過學生的折紙活動直觀的呈現出來，促進了學生的感性知識向理性知識的轉化升華，為抽象的數學知識提供了豐富的附著點和切實的生長點.

學生全員參與是培養核心素養的前提.適宜的問題情境操作，能有效的吸引學生主動參與，引發學生對問題的深度思考，強化對知識本身的認知，激活學生的形象思維，促進學生直觀想象力(素養)的發展，是數學知識通向素養的必然要求.

2 定理驗證——洞察思考，合作交流，多樣表達

從動手到動腦，由感性到理性，是知識獲取的一般方式.獲取學科知識是培養核心素養的源泉和基礎.聚焦于動手操作得出的發現，是激活知識的主要渠道，被激活的知識又該怎樣完成嚴謹的理性推導？這是幾何定理學習最重要的環節，也是數學學科應突顯的理性精神所在.

接下來引領學生小步調、多角度，展開對問題解決方法的探尋.首先按照文字命題的證明格式，把定理的文字語言轉化成數學語言.通過“如果……，那么……”的形式，弄清定理的條件和結論，畫出符合題意的幾何圖形，根據圖形寫出已知內容，求證結論.

已知：如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點.

圖5 圖6 圖7 圖8

重難點突破獨立思考，自主認知.學生通過對圖形的直觀感受，結合已有的知識經驗，獨立探尋證明線段關系的方法，怎樣處理線段中點是核心所在.問題具有一定的挑戰性，能很好的激發學生的學習熱情.在這個環節上要充分發揮學生的主體作用，真正賦權于學生，讓學生自探索、積極思考，這時的思考是立足于學生解決問題的基礎之上的.

對話溝通，共同思考.小組成員之間較為熟悉，思考問題的角度、方式都可以與同伴相互啟發.獨立思考產生的方法與困惑，在小組內開展深度互動.對不同意見，從產生分歧到相互理解，再達到共識，很好的鍛煉學生表達、傾聽、合作、開放性思考的能力，與此產生的判斷、反思、深度思考也在提高學生的學習品質，更好的促進學生核心素養的養成.

方法一倍長中線.如圖6，延長CD到P，使DP=CD，連接AP、BP.可得四邊形ACBP是矩形，再利用“矩形的對角線相等”的性質得出結論；

數學活動是形成核心素養的主要渠道.學生在探索過程中，通過闡釋個人觀點，傾聽同伴思路，觀察不同成果的展示，創造出更多的解題思路，實現了知識、能力和思維的同步發展，這些都直接聚焦于學生數學核心素養的養成.

3 定理應用——深入理解，解決問題，遷移應用

對學生來講，最興奮的莫過于對新知識的應用體驗.對定理的深刻理解為接下來的解題應用鋪平了道路.解題訓練是學生的高階思維活動，通過不同層次的問題引領，激勵思考，活躍思維，把學生吸納的知識變成活性知識，轉化為能力.

已知：如圖9，∠DAE=∠DBE=90°，F、H分別是DE、AB的中點.

圖9

問題1若DE=10，請你寫出圖中所有等于5的線段有哪些？

題干中有直角，有中點，問題的設計是對定理的直接應用，答案簡單，所有學生都能積極的參與進來，并能得出正確答案：AF=DF=EF=BF=5.通過問題1的設計不僅直接鞏固定理內容，還讓學生進一步明確利用“直角三角形斜邊中線定理”，可以把一個任意直角三角形分成兩個等腰三角形來研究，為題目向下的深度挖掘做出鋪墊.

問題2判斷△ABF的形狀，并說明理由；

有了問題1的鋪墊，學生順利發現△ABF是等腰三角形，并能完成證明.教師進一步追問：當DE的長度發生變化時，這個結論是否成立？引導學生再次體會AF=BF始終等于DE的一半，與DE的具體長度沒有關系，所以當DE的長度發生變化時，△ABF的形狀不變，始終是等腰三角形.

問題3猜想線段FH與AB的位置關系，并說明理由；直接承接問題2的結論：△ABF是等腰三角形，利用等腰三角形的“三線合一”的性質，得到FH⊥AB.

問題4若∠ADB=75°，求∠AFB的度數.

這個問題有難度，把前面對圖形中線段之間關系的探究，轉向角度的求解，思維跨度較大.思維上的大跳躍致使大部分學生頓感困惑，不知如何下手.這時需要教師的引導點撥，抓住學生的疑惑點，怎樣把前面探究出的線段之間的關系轉向角之間的關系？

根據等腰三角形“等邊對等角”的性質得，∠FDA=∠FAD,∠FDB=∠FBD,再通過三角形外角定理可求出∠AFB=150°.

將有代表性的例題，設計成問題串的形式，由淺入深，層層遞進.引導學生思考、討論、交流，激活他們的已有知識經驗，完成了對知識的建構和重組，促進了思維的發展、進階、跳躍，彰顯了學生的深度思考和批判性精神.例題是核心素養形成的主要載體，其突顯出的綜合性和遷移性，有利于學生融會貫通新舊知識，形成經緯交織的知識網，把知識的學習過程融入知識的應用過程，更有助于知識向素養的轉化.

4 總結反思——內化吸收，思維推進，落實素養

問題解決后的及時歸納與總結能有效加強知識之間的橫向、縱向聯系，有利于學生把所學的新知內容擴展到系統的知識面中，形成認知結構中知識的系統性.本節課中探索并證明“直角三角形斜邊中線定理”的思想方法對后續學習有很強的指導作用.引導學生通過新知識的牽引，結合已有的知識經驗，歸納總結與線段中點有關的數學模型和輔助線添加方法，為以后解決此方面問題積累經驗.

反思是數學教學的重要手段.課堂上組織學生反思是幫助學生檢驗在自主的學習活動中，完成目標的達成度.結合本節課的學習過程，同學們本節課你學到了哪些內容，我們是怎樣的研究的？ 你是否參與到學習中來？發現定理的策略和方法是什么？對于定理推導你喜歡哪種方法，還有沒有其它方法？例題的解答涉及了哪些數學知識？蘊含了什么數學思想？關于中點應用你積累了哪些數學模型等等.問題解決之后的不斷反思，不斷質疑，不斷改進，使學生的元認知水平得到進一步提升，思維得到進一步發展，核心素養也得以真正達成.

數學定理教學具有很強的科學性和藝術性.作為數學教師，在平時的課堂教學中既要眼于學生數學知識的獲取，更應關注知識向方法的轉化，思維向能力的升華，使教學立意于過程教育，通過學生之間合作探尋和教師價值引領相結合，使學生問題解決能力和高階思維都得以提升.讓我們致力于不給學生背不動的書包，要給他們帶得走的禮物.讓學生的核心素養在課堂中真正開花結果！