淺議輔助線在初中平面幾何解題中的應(yīng)用

李士偉

(山東省濟(jì)南市平陰縣玫瑰學(xué)校 250407)

添加輔助線對(duì)學(xué)生的能力要求較高，為更好的提高學(xué)生的解題自信，既要注重為學(xué)生講解添加輔助線的相關(guān)理論知識(shí)，又要優(yōu)選經(jīng)典例題為學(xué)生展示輔助線的應(yīng)用過程，啟發(fā)學(xué)生高效解題，以免其在以后的解題中走彎路.

1 結(jié)合對(duì)稱點(diǎn)添加輔助線

圖1

再如圖2，在△ABC中，AB=2，BC=3，D是三角形內(nèi)的一點(diǎn)，CD=2，∠ADC+∠B=180°，求解當(dāng)∠B為何值時(shí)，△ABC和△ADC的面積差最大，最大值是多少？

圖2

解析將△ADC沿著AC進(jìn)行翻折得到△AD′此時(shí)兩個(gè)三角形全等，∠AD′C+∠B=∠ADC+∠B=180°，因此，四邊形ABCD′內(nèi)接于圓，所以AB=CD=CD′=2,得出四邊形ABCD′是等腰梯形，所以A′D′∥BC.

點(diǎn)評(píng)解答平面幾何線段長(zhǎng)度最小值問題時(shí)可借鑒“將軍飲馬”模型的思想方法，通過找到對(duì)稱點(diǎn)添加輔助線確定最小值點(diǎn)的具體位置，問題也就迎刃而解.

2 結(jié)合圖形性質(zhì)添加輔助線

如圖3，等腰△ABC的內(nèi)切圓O分別和三邊切于點(diǎn)D、E、F，若AB=AC=5，BC=6，則DE的長(zhǎng)為( ).

圖3

再比如，如圖4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC和BD垂直，且相交于點(diǎn)O，MN是梯形ABCD的中位線，∠DBC=30°.求證：AC=MN.

圖4

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用輔助線分析平面幾何問題時(shí)應(yīng)結(jié)合問題題設(shè)的情境，認(rèn)真分析相關(guān)圖形的性質(zhì)，如矩形、平四邊形、菱形、圓形等，結(jié)合圖形性質(zhì)添加輔助線.通過添加輔助線運(yùn)用圖形性質(zhì)進(jìn)行求解.

3 結(jié)合線段關(guān)系添加輔助線

如圖5，已知AP∥BC，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，且AD+BC=AB，求證：AE⊥BE.

圖5

根據(jù)題意，分別延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)E.因?yàn)锳P∥BC，所以∠1=∠M.又因?yàn)镋是DC的中點(diǎn)，所以DE=EC，而∠5=∠6，所以△ADE≌△MCE，則AD=MC，AE=EM，又因?yàn)锳D+BC=AB，所以MC+BC=AB，而MC+BC=BM，所以AB=BM，所以△AEB≌△MEB，所以∠AEB=∠MEB，又因?yàn)椤螦EB+∠MEB=180°，所以∠AEB=90°，即，AE⊥BE，得證.

再比如，如圖6所示，四邊形ABCD是任意四邊形，E、F、G、H是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，M、N是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)，求證：EG、HF通過MN的中點(diǎn).

圖6

解析欲證明三條線段在圖中的關(guān)系，需要找出其存在的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，題目已知條件中的中點(diǎn)比較多，可以任意選擇一個(gè)頂點(diǎn)，如A作為位似中心，根據(jù)位似比將BC縮小，連接EN，得到EN等于和平行BC的一半，采用相同的方式組成更易于解答問題的平行四邊形，從而完成題目的解答.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)習(xí)題的已知條件中涉及到線段的長(zhǎng)度關(guān)系時(shí)，添加輔助線時(shí)應(yīng)注重等量代換，而后運(yùn)用三角形全等、相似等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行破題.

4 結(jié)合角度關(guān)系添加輔助線

圖7

綜上，為更好的提高學(xué)生應(yīng)用輔助線解答初中數(shù)學(xué)平面幾何的能力，教師在講解例題的過程中既要注重與學(xué)生積極互動(dòng)，驅(qū)使學(xué)生主動(dòng)的思考、討論，又要結(jié)合具體例題進(jìn)行輔助線應(yīng)用的方法點(diǎn)撥，使學(xué)生積累更多的添加輔助線的經(jīng)驗(yàn).另外，還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生做好聽課以及平時(shí)訓(xùn)練的總結(jié)，掌握不同題型添加輔助線的技巧.