高中數學人教A版新舊教材“數列”內容比較分析

程雪珂 李治

摘要：隨著新高考和新課標的改革，高中數學教材也發生了巨大的改變。本文以人教A版新舊教材數列為例，從目錄編排、教材內容等方面進行比較，分析新教材與舊教材的相同與不同之處，并總結了新教材的優點。

關鍵詞：教材;數列;新舊內容

一、問題的提出

《普通高中數學課程標準》包含了數學課程的四個基本理念，分別為：學生發展為本，立德樹人，提升修養;優化課程結構，突出主線，精選內容;把握數學本質，啟發服考，改進教學;重視過程評價，聚焦素養，提高質量[1]。課程標準是教材編寫的主要依據，教材是課程標準的載體，富含著課程標準的理念與價值。根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》編寫的人教版高中數學教科書已經在全國大規模使用，這是一套以核心素養為導向的高中新教材，新教材的編寫理念，章節排版等都與舊教材有著很大的區別。本文主要以人教A版新舊教材中的數列為例，詳細地說明新舊教材的不同，并總結新教材的優點。

二、整體分析比較

目錄是構建教材結構的框架，它反映了教材的知識內容和知識的編排順序，使得知識清晰化和條理化，讓學生能夠快速了解所學的內容。人教A版的高中數學新教材將數列部分安排在選修第二冊第四章，舊教材將其安排在必修5第二章，現將兩種教材數列部分的目錄列表如表1所示：

從上述表中可以看出，新舊教材的目錄發生了很大變化，其一，新教材中不再把等差數列的前n項和與等比數列的前n項和設置為大章節，而是作為等差數列和等比數列的小章節，這樣的設置加深了知識點之間的聯系，讓學生們更能理解“前n 項和”的意義與用法。其二，新教材中刪除了信息與技術應用與探究發現，減少了現實生活的舉例，但增加了數學史的內容，將數學文化融入到知識點中，體現了數學的核心素養。其三，新教材增加了數學歸納法這一章節，數學歸納法是一種證明與正整數有關的數學命題的特殊方法，而數列是定義在正整數集上的離散函數，在數列的學習過程中，采用數學歸納法可以給出嚴格的數學證明，為學生提供了一種“觀察—歸納—猜想—證明”的思維模式，對之后的學習具有很大的幫助，能夠培養學生在數學上嚴謹的科學態度。

三、教材內容比較

通過表1的對比，可以看出新舊教材的數列部分發生了很大的變化，內容有增加也有刪減，有“升級”也有“降級”。但是，目錄只能看到整體結構的變化，不能看到各個章節具體內容的變化，為此以下對新舊教材的重點內容進行比較：

3.1數列的概念

在情景導入環節中，舊教材用畢達哥拉斯形數引出數列的概念，沒有具體的實例。新教材先給出三個具體的實例，讓同學們思考三個實例的共同特征，再給出數列的概念，這有利于增強學生獨立思考的能力，更能具體的理解數列的概念。新教材在給出數列的概念之后，將數列與函數相聯系，指出以前學過的函數的自變量通常是連續變化的，而數列是自變量為離散的數的函數，并且與其他函數一樣，數列也可以用表格和圖像表示，因此，新教材更加符合課程標準的要求，更加強調函數的作用，突出了函數的主線地位，凸顯了知識點之間的聯系。新舊教材在引出遞推公式定義的方法又有一些不同，新教材用謝爾賓斯基三角形這個例子詳細地給出了遞推公式的定義，而舊教材雖然也引用謝爾賓斯基三角形，但是它沒有在謝爾賓斯基三角形這個實例的基礎上引出遞推公式的定義，而是用數列an=2an-1+1得出遞推公式的定義，這使得同學們對于等差數列和等比數列的遞推公式都有了一定的了解。在數列的概念這一章節最大的變化是新教材增加了數列{an}的前n項和，這是舊教材中所沒有的，這一變化的優點在于讓學生提前探索數列的求和公式，為后面學習等差數列和等比數列的前n項求和打下堅實的基礎，充分考慮到了知識點之間的內在關聯性和系統性。

3.2等差數列

在知識導入環節中，舊教材類比實數的運算法則與性質，提出在數列中能不能像研究實數一樣，去研究數列的項與項之間的關系，運算與性質呢？從四個現實生活中的實例入手，采用從特殊到一般的方法，引出等差數列。新教材在引言中強調數列是一種特殊的函數，類比函數的研究方法，在了解數列的一般概念后，去研究一些具有特殊變化規律的數列，并列舉了四個具體的實例，從中了解到數列的取值規律，進而得到等差數列的概念。

一般而言，數學概念的引入方式有兩種：第一種，從數學概念體系的發展進程中引入新的概念;第二種，從解決實際問題需要出發引出新的概念[2]。新舊教材都是從實際生活出發舉例，但是兩者類比的內容不同，舊教材類比實數的研究方法，新教材類比函數的研究方法，導致學生理解的角度不同。新教材將數列與函數聯系起來，更加符合課程標準的要求。除此之外，新舊教材在等差數列的通項公式的導出也存在不同之處，新教材采用完全歸納法，將推導過程和結果詳細地寫出，而舊教材采用不完全歸納法，將結果設置為“填空”的形式，讓學生自己歸納得到[3]。這樣編排留給了學生獨立思考的空間，有利于提高學生的邏輯思維能力和推理能力。在等差數列求和公式中，雖然都引用了高斯故事為例，但是在內容方法上有所差異，舊教材根據高斯算法的啟示，對于公差d的等差數列，用兩種方式表示Sn：

引出“倒敘相加法”的思想后，得出等差數列{an}的前n項和：。但是舊教材卻忽略了n的取值問題，n取任何數都能得到以上結論嗎？這不免使學生產生疑惑。新教材則充分考慮到了學生的認知特點，增加了對n的分類討論，詳細地給出了n為偶數和奇數的求和過程，并讓同學思考，在求前n個正整數的和時，要對n分奇數、偶數進行討論會比較麻煩，有沒有其他的方法避免討論？為了減少計算量，在分類討論的基礎上，將奇數和與偶數和相加，二者合二為一，得出倒敘相加法，不僅為學生提供了分類討論的思想，還提高了學生數學運算的核心素養。

3.3等比數列

在等比數列的概念這一小節中，舊教材用四個實例作為知識導入，讓同學們觀察四個數列的共同特點，從而引出等比數列的概念，沒有與等差數列聯系起來，將等差數列與等比數列作為兩個獨立的知識點，割斷了知識點之間的連接，讓同學們學習等比數列時無從下手。而新教材除了列舉四個實例外，還類比等差數列的思路和方法，將等差數列和等比數列緊密聯系起來，從運算的角度，讓同學們了解到數列不僅有“差”的形式，還能從“和”、“積”、“除”的角度去研究數列，而等比數列的概念就是通過除法運算得到的，讓學生在學習等比數列概念的同時，還能鞏固前面所學的知識，更能開發學生的思維活動，讓學生思考在加法運算和乘法運算的角度，數列有著怎樣的變化與規律。在等比數列的通項公式中，將等比數列與指數函數相聯系，類比指數函數的性質，思考公比q>0的等比數列的單調性及q>0且q≠1的等比數列{an}的圖像的特點，進一步凸顯了函數這一主線。

四、結論

通過綜合對比，可以發現新舊教材在內容、編排上發生了很大變化，但是新教材相較于舊教材而言更具有優越性，新教材是對舊教材的繼承與發展。新教材在每個章節的知識引入中更符合學生的認知規律，以問題情境為切入點，引導學生認真思考。新課標將數列放在函數這一主題當中，新教材在數列這一章節中也一直以函數為主線，強調等差數列與一次函數有關，等比數列與指數函數有關，感受函數與數列的共性與個性，體會數學知識點的系統性與整體性。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]孫浩潔.蘇教版與人教版數列教材內容比較研究[J].科教文匯（下旬刊），2019（07）：140-143+151.

[3] 莫紹貴.三種版本教材“數列”內容編寫的比較與建議[J].中學數學研究（華南師范大學版），2020（18）：17-19.EF6A59BB-D45B-402B-9FFB-9A32031F6F89