“問題提出”，實現思維水平的多重提升
——以“百分數變化幅度問題”的教學為例

浙江省杭州市蕭山區瓜瀝鎮坎山小學 李 青

“百分數變化幅度問題”是人教版數學六年級上冊 “百分數（一）”的一個學習內容，具有一定的綜合性，是對本單元百分數相關知識的綜合性運用。到了六年級，學生完全有能力、也有意愿去探索和研究數學問題。為此，教師采用“問題提出”教學模式，放手讓學生自主提問、獨立探究、交流互動，以此達成教學目標，并促使學生用整體的眼光研究同類問題，提升學生的“問題提出”能力和數學思維水平。

一、數學分析

教材中的“百分數變化幅度問題”具體為“某種商品4月末的價格比3月末降了20%，5月末的價格比4月末又漲了20%。5月末的價格和3月末比是漲了還是降了？變化幅度是多少？”這是“連續求一個數增、減百分之幾”的問題，可以用“□×（1－□%）×（1＋□%）”的形式表示，是“求比一個數多（少）百分之幾是多少？”和“求一個數比另一個數多（少）百分之幾”問題的綜合運用。此類題型還可以衍生出“先增后減”“連續增加百分之幾”“連續減少百分之幾”“如何增減才能回到原價”等多種問題。教學時，教師應以教材問題為基礎，引導學生在此基礎上不斷提出新問題、發現新規律。

二、教學分析

“百分數變化幅度問題”的難點在于，作為初始單位“1”的3月份是個未知量，同時，連續增減變化，單位“1”也會隨之變化。并且，這一問題具有一定的綜合性。從不同的角度觀察，我們可以得到不同的記錄。在教學中，教師不能滿足于得出一個問題的結果，而應從重視變化結果轉變為關注變化過程，使學生能舉一反三解決同類型問題并發現其中包含的規律。

因此，本堂課的主要教學環節分為：

1.提供情境引出研究內容，并引導學生提出“分步和綜合”兩種問題，為局部和整體研究此類問題提供素材。

2.學生解決兩種問題，并在交流匯報的過程中，體會此類問題中包含的“變與不變”的規律。

3.在解決基本問題的基礎上，鼓勵學生提出更多相似的問題，從而對一類問題的解決方法及其所包含的規律進行整體研究。

三、教學實踐

（一）情境導入，提出問題

課始，教師給出與百分數有關的問題情境，請學生提出問題，根據提問情況引出本堂課的研究內容。

師：同學們都有自己喜歡的書籍吧。月月非常喜歡《奇妙的數學世界》，她一直關注著這套書的價格。這套書“4月的價格比3月降了20%，5月的價格比4月又漲了20%”。看到這些信息，你能提出哪些數學問題？可以是簡單的，也可以是稍復雜的。

生1：4月份的價格是3月份價格的百分之幾？

生2：5月份的價格是4月份價格的百分之幾？

生3：5月份的價格是3月份價格的百分之幾？

生4：5月份的價格是不是和3月份的價格相同？

師：同學們提的問題都非常好，請你大膽猜想一下，這套書5月份的價格會等于3月份的價格嗎？

生5：我覺得是一樣的，4月份價格先降了20%，5月份價格又漲了20%，相互抵消了。

生6：我覺得不一定，4月份降的20%和5月份漲的20%不一樣，也就是單位“1”不一樣。

師：兩位同學的說法，似乎都有道理。今天這節課，我們就來研究“變化幅度”問題。

【設計意圖：學生根據教師給出的信息，結合自己的實際水平，提出了涉及部分信息的問題和綜合性問題。這兩類問題將在后續的深入分析問題和整體呈現規律等兩方面發揮重要作用。】

（二）解決問題，比較溝通

在學生提出兩類問題之后，教師組織學生獨立解決問題，并在此基礎上通過局部與整體的比較、辨析，引導學生發現“百分數變化幅度問題”中包含的規律。

師：要研究5月份的價格與3月份的價格的關系，同學們提的前兩個問題有沒有用？（生1和生2）

生：有用的，因為題目中沒有告訴我們5月份的價格和3月份的價格是什么關系，我們必須要算出4月份的價格。

師：是的，所以前面兩個問題合起來，就組成了第3個、第4個問題。那現在我們可以解決這些問題了嗎？

生1：還有一個問題，3月份的價格還不知道，那就沒法算4月份的價格，也沒法算5月份的價格。

生2：可以假設一個數字。

生3：也可以直接用單位“1”來表示。

師：那就請大家自己試一試吧。

（學生獨立嘗試解決問題后匯報交流）

生1：我是假設3月份的價格為200元，那么，4月份的價格就是200×（1-20%）=160（元），5月份的價格是160×（1＋20%）=192（元），5月份的價格比3月份的價格少了。

生2：我是假設3月份的價格是100元，然后，4月份就是80元，5月份是96元，5月份的價格也比3月份的價格降了。

生3：我是用字母表示的，假設3月份的價格是a元，4月份的價格是a×（1－20%）=0.8a（元），5月份的價格是0.8a×（1+20%）=0.96a（元）。

生4：用單位“1”表示也差不多，3月份價格是單位“1”，4月份的價格就是0.8，5月份的價格就是0.96。

師：這幾位同學的做法都是怎么解決的？

生5：都是假設3月份的價格，因為只有知道3月份的價格，才能繼續算其他月份的價格。

生6：根據3月份的價格，都是先算4月份的價格，再算5月份的價格。

師：有沒有同學能把這些方法列成綜合算式？

（學生說綜合算式，教師板書記錄）

師：從這些綜合算式（見圖1）中，我們可以發現哪些信息呢？

圖1

生1：5月份的價格都比3月份的價格少了，192比200少，96比100少，0.96a比a少，0.96比1少。

生2：我發現不管設3月份的價格是多少，后面都要經過相同的計算。也就是說，都要先算出3月份價格的80%，得到4月份的價格，再算4月份價格的120%，得到5月份的價格。

生3：我們可以把兩次運算合起來看，簡單地說，就是先降20%得到80%，再漲20%，得到120%。

生4：補充一下，這個120%不是3月份價格的120%，而是4月份價格的120%，那么就相當于3月份價格的96%。因為先得到80%，再乘120%，最后是96%。

生5：他的意思是，可以先算后面兩次變化。那么，5月份價格=3月份價格×（1－20%）×（1＋20%）=3月份價格×96%。

師：這幾位同學的發現非常重要，從他們的發現里，你可以得到怎樣的結論？

生：我發現不管假設3月份的價格為多少，5月份的價格總是它的96%，那么，總是比3月份的價格下降1－96%=4%, 下降了4%。

師：同學們，剛才我們提出了不同的問題，有分步計算的問題，也有列綜合算式解決的問題，你覺得分步算好還是綜合算好？

生1：綜合的好，綜合的方便我們比較，發現5月份的價格只有3月份價格的96%。

生2：分步的也有優點，沒有分步的，我一下子寫不出綜合算式。而且，分步的問題也讓我知道了4月份的價格是多少。

生3：通過分步算式，我知道了單位“1”是在變化的。求4月份的價格時，單位“1”是3月份的價格，求5月份的價格時，單位“1”是4月份的價格。因此，不能簡單地看到先降20%再漲20%，就以為價格不變了。

師：同學們對這類問題分析得非常到位，評價也很合理，太好了。

【設計意圖：學生通過分步計算，解決了實際問題，發現用不同的方法解決，5月份的價格都比3月份的價格要小。在此基礎上，教師呈現綜合算式，組織學生觀察、發現算式中隱藏的規律：不管怎么算，5月份的價格總是3月份價格的96%。隨后，教師組織學生對自己提出的分步和綜合兩類問題的作用進行比較，使學生發現這兩類問題各有自己的價值，前者能幫助我們更好地運用知識、解決問題，后者有利于我們發現其中的規律。】

（三）“問題提出”，拓展延伸

在研究例題的基礎上，教師鼓勵學生自己提出問題，通過“問題提出”考查學生對此類問題的理解程度。

師：剛才，我們提出了分步和綜合的兩類問題，在解決問題的過程中，發現了價格變化幅度問題的規律。你能不能試著自己提出一個類似的問題？

生1：商場里搞促銷，一臺電視機先降價20%，促銷結束后又漲價20%。現在價格和原來比是貴了還是便宜了？

生2：冬天快到了，一款羽絨衣漲價了20%，到了春天，又降價20%。這款羽絨衣比原價貴了還是便宜了？

生3：我也是電視機，但是，我是先降價10%，再漲價10%，問貴了還是便宜了？

生4：一臺洗衣機，先降價20%，再上漲百分之幾才能回到原價？

生5：如果是連續漲20%，5月份的價格與3月份的價格比相差多少？如果是連續降價20%，5月份的價格和3月份的價格相比，相差多少？

師：太精彩了，同學們不但提出了和課本上類似的問題，還提出了很多新問題。我們先來研究哪一個呢？

生6：第一個問題和剛才的例題是一樣的，所以我不研究了。我想研究先漲價再降價的問題，因為這個問題的過程和例題剛好相反。

生7：我想研究降價10%再漲價10%的問題，我想看看百分數變了，是不是還是一樣的結果。

生8：連續降價肯定比原價低，連續漲價也肯定比原價高，但是相差多少，還是可以研究的。

生9：洗衣機先降價20%，再漲多少的問題有點復雜，但我想試試。

（學生解答自己感興趣的問題后，在全班交流）

1.研究“先漲20%再降20%”的問題

生：我是假設羽絨衣的價格為單位“1”，1×（1+20%）×（1-20%）=0.96=96%。我發現和先降再漲是一樣的。

師：怎么會這樣呢？兩種不同的算法，4月份的價格是不一樣的啊？

生1：“先漲再降”是先乘120%再乘80%，“先降后漲”是先乘80%再乘120%，不管先后順序，最終都是原價的96%，和先降20%再漲20%一樣。

結合學生的回答，教師完成完整板書：

先漲再降：1×（1+20%）×（1-20%）=1×96%=0.96

先降再漲：1×（1-20%）×（1+20%）=1×96%=0.96

生2：根據乘法交換律，先乘80%或先乘120%，結果都是一樣的。

2.研究“先降10%再漲10%”的問題

師：剛才有一個問題，是把20%都換成了10%，誰解決了這個問題？

生1：改成10%的話，那就是1×（1－10%）×（1＋10%）=0.99，也就是99%，還是便宜了。

生2：我發現改成先漲10%再降10%，也是一樣的，因為只是交換了一下運算順序。

生3：我自己又把10%改成了30%試了一下，1×（1－30%）×（1＋30%）=91%，還是降了。

師：這個嘗試非常好，我們把10%、20%、30%聯系起來看一下，你有什么發現？（見圖2）

圖2

生1：不管是百分之幾，也不管是先漲后降，還是先降后漲，都比原來要便宜。

生2：而且，這個百分數越大，最后就越便宜。

生3：漲和降必須是同一個百分數，比方說，都是10%，或都是20%。

師：大家觀察得很仔細，最后這個意見非常嚴謹，確實是這樣的。

3.研究“先降20%再漲（ ）%才能回到原價”

師：剛才還有一個問題，先降20%，然后要回到原價，你怎么看？

生1：那肯定不可能是漲20%了。

生2：要比20%大一點。

生3：我剛才選的就是這個問題。先降20%，那就是0.8，然后要回到原價，就是回到單位“1”，所以，我只要用單位“1”除以0.8就行了，得到1.25，也就是125%，那么就是再漲25%。

師：按照你的方法，算式應該是1÷（1－20%）－1=25%。我們也可以把25%放到乘法算式中驗算一下：“1×（1－20%）×（1＋25%）”，回到原價了嗎？

生：1×（1-20%）×（1+25%）=1×80%×125%=1×1=1，是原價。

師：按照他的方法，我們還可以研究先降10%，再漲百分之幾，可以回到原價的問題，當然也可以研究其他百分數，這個問題我們課后再去研究。

【設計意圖：在提問的過程中，一部分學生模仿例題對所學知識進行了運用，更多的學生則在原有的基礎上進行了發散性思考，提出了包含更多變化的新問題。這些問題的提出和解決，使學生對此類問題有了新的認識和更深的理解。學生的“問題提出”和數學思考能力得到了進一步的發展。】

四、教學反思

本堂課的教學過程，充分體現了“問題提出”教學模式對學生數學學習、情感態度和數學思考等方面的價值。

（一）創設恰當的情境鼓勵學生提出問題

“問題提出”教學模式的目的是給學生創造更多的學習機會，鼓勵更多的學生參與學習活動。因此，教師應重視不同層次學生的課堂表現，在課堂教學之初，應該降低學習的門檻，讓更多學生參與進來。教師請學生根據情境，提出簡單的或稍復雜的問題，這有利于不同水平的學生提出符合自身認知的問題。因此，學生提出了分步和綜合兩種問題，一方面，分步問題分解了學習難點，使學生得以運用所學知識解決問題；另一方面，綜合問題有利于學生從整體的視角觀察和審視問題中包含的規律。

在學生解決基本問題之后，教師再次鼓勵學生提出類似的問題。這既為學生運用剛得出的方法提供了機會，也為提出和研究新問題創造了條件。學生在第一次提問活動的激勵下，進行發散性的思考，提出了三種新的問題，為進一步研究這類問題提供了優質的素材。

（二）提出不同層次的問題推動思維發展

在整個教學活動中，學生提出問題的思維水平層層遞增。從分步問題到綜合問題再到變式問題，最后提出發散性問題，學生在解決這些問題的過程中，對“百分數變化幅度問題”的認識，經歷了計算問題的結果到研究解答的過程，再到同類型問題的舉一反三和歸納整理的過程。在這一過程中，學生不僅掌握了研究此類問題的方法，在變式運用中提高了對問題本質的理解，而且提升了自己的思維水平，在研究問題的方法、策略等方面也積累了相關的經驗。

因此，可以說，“問題提出”教學模式激發了學生研究數學問題的強烈愿望，并為研究提供了一條清晰的路徑，對學生數學學科素養的進一步發展起到了重要的作用。