洛倫茲力的沖量特點在帶電粒子運動中的應用

朱玉元

（福州一中，福建福州 350001）

帶電粒子在洛倫茲力作用下的運動問題，往往對學生的數理結合能力要求較高，因此也是高考的常考點和難點.在這類問題中，不論是單純的有界磁場，還是組合場或者復合場的情境下，洛倫茲力都對帶電粒子的運動發揮著重要影響.在日常授課中，教師多從洛倫茲力提供向心力的角度，通過畫軌跡定圓心求半徑的流程來解決問題，而洛倫茲力的沖量特點較少被提及.本文嘗試利用洛倫茲力的沖量特點，從動量定理角度來分析帶電粒子的運動.

1 洛倫茲力的沖量特點

我們知道洛倫茲力與粒子的速度有關，其在兩個相互垂直方向上的分力的沖量大小分別為

在僅受洛倫茲力的作用時，根據動量定理可得

即利用洛倫茲力沖量的特點可以得到帶電粒子在某一方向動量變化量與垂直該方向位移成正比.利用這個關系解決問題只需抓初末狀態，可以免去分析運動細節（如找圓心、求半徑等幾何關系）的困難，使問題簡化.

2 用動量定理分析帶電粒子在勻強磁場中的運動

2.1 在勻強磁場中圓軌跡的證明

解析：如圖1所示，在磁感強度為B的勻強磁場中，質量為m、帶電量為＋q的不計重力的帶電粒子，以速率v從原點O向x軸正方向射出.可以把粒子運動過程所受洛倫茲力沿x軸和y軸正交分解，即fx＝qvyB，fy＝qvxB.粒子從原點O到軌跡上任意點A（x，y）的過程中，在x、y兩個方向上，根據動量定理得

圖1

對于重力不計的帶電粒子垂直進入勻強磁場中的運動軌跡為什么是圓，一般教師的處理方式是先用洛倫茲力演示儀觀察其運動軌跡，再定性說明其向心力就是洛倫茲力.這種方式并不能讓一些愛思考的學生“完全信服”，不妨試試通過動量定理來證明，提升知識的嚴謹性并拓展學生的思路.

2.2 關注始末狀態舍棄復雜的幾何關系

圖2

解析：由幾何關系可知最后離開磁場的粒子運動軌跡如圖3所示，設粒子入射速度與y軸夾角為θ，軌跡與磁場上邊界切點為B，出射點為C.

圖3

O→B過程中，沿x方向由動量定理得

O→C過程中，沿y方向由動量定理得

由（1）－（3）式得

表中展現了本文對政府引導基金融資模式的探索性評價結果，數值越高表明對應的能力越強，對應的壓力越大。表中的評價結果主要基于是否直接投資和是否股權投資兩個維度所得，表中直觀地展現出了政府引導基金不同模式在撬動社會資本、政府意愿體現、政府參與公司治理能力和多階段投資引導能力上的差異。

在勻強磁場中，若發現已知條件中包含“距離”、“速度變化”等信息時，通過應用兩個相互垂直方向上的動量定理比用普通幾何方法會更便捷.

2.3 磁聚焦模型的動量分析

圖4

解析：由題意可知粒子的軌跡半徑r等于磁場半徑R，任取一個粒子作為研究對象，設該粒子的入射點P的坐標為（x，y），粒子的出射點Q的坐標為（x0，y0），如圖5所示.

圖5

由x、y兩個方向的動量定理可得

由（1）－（5）式解得

又因為

則由（6）、（7）式得x0＝0，y0＝0，即這束帶電微粒都通過坐標原點O.

2.4 扭擺模型的動量分析

例4.（2011 年山東高考題節選）扭擺器是同步輻射裝置中的插入件，能使粒子的運動軌跡發生扭擺.其簡化模型如圖6：Ⅰ、Ⅱ兩處的條形勻強磁場區邊界豎直，磁場方向相反且垂直紙面.一質量為m、電量為－q、重力不計的粒子經電場加速后平行于紙面射入Ⅰ區，若B1≠B2，L1≠L2，且已保證了粒子能從Ⅱ區右邊界射出.為使粒子從Ⅱ區右邊界射出的方向與從Ⅰ區左邊界射入的方向總相同，求B1、B2、L1、L2之間應滿足的關系式.

圖6

解析：在粒子穿過兩個磁場的過程中，分別沿y方向利用動量定理，可得經過B1：

經過B2：

由題意知，穿過兩個磁場后速度方向不變（圖7），即

圖7

則由（1）－（3）式得qB1x1＝qB2x2，又x1＝L1，x2＝L2，可得B1L1＝B2L2.

在這個問題中如果用幾何關系來處理很麻煩.分析發現題意中涉及到速度變化量與沿某一方向粒子通過的距離，因此利用洛倫茲力沖量的特點通過動量定理將二者聯系起來.

3 用動量定理分析帶電粒子在組合場或復合場中的運動

例5.如圖8所示，兩導體板水平放置，兩板間的電勢差為U，帶電粒子以某一初速度v0沿平行于兩板的方向從兩板正中間射入，穿過兩板后又垂直于磁場方向射入邊界線豎直的勻強磁場，則粒子射入磁場和射出磁場的M、N兩點間的距離d隨著U和v0的變化而變化情況為

圖8

（A）d隨v0的增大而增大，d與U無關.

（B）d隨v0的增大而增大，d隨U的增大而增大.

（C）d隨U的增大而增大，d與v0無關.

（D）d隨v0的增大而增大，d隨U的增大而減小.

圖9

這些粒子軌跡的弦長之所以相等，并不是簡單的數學巧合，而是它們沿x方向動量變化量相等造成的.在這種組合場問題中，在類平拋、直線邊界磁場的情境下，動量定理的解法相比與普通幾何解法更加簡潔且貼近物理本質.

例6.（2015 年天津高考題節選）現代科學儀器常利用電場、磁場控制帶電粒子的運動.真空中存在著如圖10 所示的多層緊密相鄰的勻強電場和勻強磁場，電場與磁場的寬度均為d.電場強度為E，方向水平向右；磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，電場、磁場的邊界互相平行且與電場方向垂直.一個質量為m、電荷量為q的帶正電粒子在第1層電場左側邊界某處由靜止釋放，粒子始終在電場、磁場中運動，不計粒子重力及運動時的電磁輻射.粒子從第n層磁場右側邊界穿出時，速度的方向與水平方向的夾角為θn，試求sinθn的大小.

圖10

解析：設粒子在第n層磁場中運動的速度為vn，從第n層磁場右側邊界穿出時速度方向與水平方向的夾角為θn，由動能定理和圖11可得

圖11

粒子在電場中運動時，y軸的速度分量不變，只有在磁場中y軸的速度分量發生變化，在粒子從開始到穿出第n層磁場過程中，由動量定理可得

在這類多個平行邊界磁場與電場的組合場情境下，因粒子進入每層磁場的速度大小方向都不同，如果運用傳統幾何方法求解過程會比較復雜繁瑣，而利用電場力改變小球合速度大小、洛倫茲力分力的沖量改變小球垂直電場力方向的動量的特點，利用動量定理抓住初末狀態，過程就顯得清晰且簡潔.

洛倫茲力的沖量特點之所以有如此妙用，其本質源于洛倫茲力的大小與速度大小成正比，在高中物理范圍內，還有其它力也有類似的特點，對它們的沖量進行分析，也會得到相似的結論.

4 其它F＝F 0＋kv的情況

例7.如圖12，質量為m、帶電量為＋q的小滑塊與水平面間的動摩擦因數為μ，勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向水平向外，給滑塊一個向右的水平初速度v0，經過時間t速度減為0，已知重力加速度為g，求此過程滑塊的位移大小x.

圖12

解析：對滑塊進行受力分析，受力圖如圖13所示，在摩擦力作用下滑塊做減速運動，其洛倫茲力減小導致摩擦力也減小，其摩擦力與速度成線性關系，我們可以通過摩擦力的沖量特點由動量定理得

圖13