非局部彈性周期納米板振動特性研究

何東澤， 布英磊， 史冬巖， 王青山

(1. 哈爾濱工程大學 機電工程學院，哈爾濱 150001；2. 中國船舶及海洋工程設計研究院，上海 200011；3. 中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，長沙 410083)

目前，納米材料以及微型元器件在微/納米機電系統中的影響程度逐漸增大，得到了空前的發展。納米板結構作為納米機電系統中的基本組成構件，在納米傳感器、電荷傳感器以及諧振器等中均有著廣泛的應用范圍，其動力學特性的研究對納米機電系統的發展有著一定的影響作用[1-2]。采用經典連續介質理論對微納米結構進行分析時，無法考慮尺度效應對微納米材料的影響。因此，眾多學者提出修正連續介質理論模型，主要有表面彈性理論[3]、應變梯度理論[4-5]、修正偶應力理論[6]以及非局部理論[7]。其中，非局部理論是目前對微納米結構以及機電系統分析中最常見的理論，Edelen等[8-9]建立了非局部場中的數學理論模型，后經Eringen采用格林變換，將微分型非局部本構關系轉化為積分型本構關系，直接應用于控制方程之中。

目前，對于納米板的研究取得了較大的研究進展，眾多優秀的學者發表多篇相關文獻。如，滕兆春等[10]采用微分變換法，結合非局部理論與經典薄板理論，對Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓的正交各向異性矩形板的自由振動特性以及屈曲特性進行了分析研究。討論了彈性基地剛度、幾何參數對矩形納米板固有頻率以及屈曲臨界載荷的影響。張大鵬等[11]采用非局部理論，結合Galerkin條形傳遞函數法對不同邊界條件下黏彈性基體上壓電納米板熱-機電振動特性進行分析研究，揭示了非局部效應、外載荷等對納米板振動特性的影響規律。王平遠等[12]采用非局部應變梯度理論，對功能梯度納米板彎曲和屈曲特性進行分析。王平等[13]采用非局部理論，結合板殼磁彈性理論對載流納米板在簡支條件下的磁彈性穩定性進行了分析研究。研究發現，改變磁感強度以及納米板幾何尺寸對納米板穩定性的提高有著明顯的促進效果。Liu等[14]對不同邊界條件下周期納米板的動力學特性進行分析研究。Karami等[15]對濕熱環境中多孔納米板結構的自由振動問題進行分析研究。

本文結合非局部理論，對非局部彈性周期Mindlin納米板結構振動特性進行分析研究。因采用Lévy解形式，將周期納米板結構兩端設置為簡支條件。采用波動法，結合不同材料板間的協調條件對分析模型進行建立。采取文獻對比與有限元對比方法驗證本文模型建立正確性以及求解方法準確性。同時，分析納米板周期數、彈性支撐條件以及納米板幾何參數對非局部彈性周期納米板結構振動特性的影響情況。

1 分析模型

本文所建立的研究模型如圖1所示。由N組不同材料構成的納米板A和B在x軸方向上按照順序排列，形成周期性彈性納米板。圖1中：Ly為納米板的寬度；Lx1和Lx2為納米板A和B的長度；Kw為彈性支撐剛度；F(x0,y0)為外界施加力。在本文的研究中，對周期納米板在y=0和Ly邊界設置簡支條件。

圖1 彈性周期納米板示意圖Fig.1 The scketch diagram of elastic supporting periodic nanoplate

2 數值模型建立

與傳統的彈性力學理論不同，非局部理論認為微元體中任意一點的應力是整個物體的應變狀態之和的疊加，需要考慮該點狀態在整體作用區域內的影響。Eringen提出的非局部微分型本構方程為

(1-μ?2)σ0=σ

(1)

式中：μ為非局部參數；σ0為非局部應力向量；σ為局部應力向量； ?2為二階拉普拉斯算子。根據胡克定律以及應力應變之間的關系，非局部力矩向量M={Mxx,Myy,Mxy}T可以表示為

(2)

式中：Mxx為x方向上的彎矩；Myy為y方向上的彎矩；Mxy為扭矩。根據Mindlin板理論，控制方程可以表示為[16]

(3)

式中：q=Kww;w為沿z軸的位移變量；φx和φy為旋轉變量；Qxx和Qyy為關于y軸和x軸的剪切力。結合式(1)與式(3)，可以得到

(4)

式(4)為Mindlin板彎曲振動控制方程。式中：h為板的厚度；I0,I2為質量慣性矩,I0=ρh，I2=ρh3/12；κ為剪切修正系數；D為板的彎曲剛度；G為剪切模量；v為泊松比。將位移變量以及旋轉變量設置為Lévy解形式，可以表示為[17]

(5)

式中：W0，Φx以及Φy為位移、旋轉幅值變量；Ky為y軸方向上的模態波數，Ky=nπ/Ly；kf為彎曲振動特征波數；n為模態數;ω為角速度； i為虛數單位；t為時間變量。將式(5)代入式(4)中，可得

[Tf]{Γ}=0

(6)

式中，Tf為彎曲振動參數矩陣，具體表達為

(7)

(8)

式中：w1,2jn為不用模態數下的彎曲位移幅值參數；χ1,2j和λ1,2j(j=1～6)分別為旋轉位移幅值參數，為

(9)

根據所得到的彎曲波數以及位移、旋轉幅值參數，對不同材料納米板的位移向量進行定義，為

(10)

式中：σ1,2n為位移波動向量；Yfn(y)為y方向上的模態矩陣；D1,2n為位移參數矩陣；P1,2n為軸向波數矩陣；u1,2n為位移幅值向量。具體可以表示為

Yfn(y)=diag{sin(Kyy),sin(Kyy),cos(Kyy)}

(11)

P1,2n(x)=diag{ejkf1,21x, ejkf1,22x,…,ejkf1,26x}

(12)

(13)

u1,2n={w1,21n,w1,22n,…,w1,26n}T

(14)

相應的，對力波動向量f1,2n分別定義，為

(15)

式中，F1,2n為力參數矩陣，為

[F1,2n]1,j=KcGh(ikf1,2j+χ1,2j),
[F1,2n]2,j=D(-vKyλ1,2j+iχ1,2jkf1,2j),

(16)

對于不同材料構成的納米板連接處(A和B)，需要滿足位移與力連續性條件，具體表示為

wA(x1,y,t)=wB(x2,y,t),
φx,A(x1,y,t)=φx,B(x2,y,t),
φy,A(x1,y,t)=φy,B(x2,y,t)

(17)

(1-μ1?2)Qxx,A(x1,y,t)=(1-μ2?2)Qxx,B(x2,y,t),
(1-μ1?2)Mxx,A(x1,y,t)=(1-μ2?2)Mxx,B(x2,y,t),

(1-μ1?2)Mxy,A(x1,y,t)=(1-μ2?2)Mxy,B(x2,y,t)

(18)

式中：x1和x2為連接處在納米板A和B中的橫向坐標；μ1和μ2為納米板A和B的非局部參數；位移變量和力變量中的下角標A和B分別對應納米板A和B的變量參數。將式(17)和式(18)轉化為矩陣形式，可以表示為

(19)

式中，i=1-N，x(i-1)B

[K]{Γ}={F}

(20)

式中，K為總體結構矩陣，具體表示為

(21)

式中，KA10和KBN1為邊界矩陣，由周期納米板具體的邊界情況決定。KAj0,1和KBj0,1(j=1-N)為板單元矩陣，可以表示為

(22)

式(20)中，F為外力向量，由周期納米板的具體受力情況決定。當一作用集中力F(x0,y0)施加于納米板時，采用狄克拉函數進行描述，為

F(x0,y0)=F0δ(x-x0)δ(y-y0)

(23)

式中，F0為力的幅值大小。因此，外力向量可以表示為：

(24)

Γ為整體位移向量，由各個單元納米板位移向量按照一定順序組合而成，可以表示為

{Γ}={u1n1,u2n1,…,u2n(N-1),u1nN,u2nN}T

(25)

結合周期納米板外界受力情況，邊界條件情況對總體控制方程進行求解，得到總體位移向量。根據位移響應點的位置對其位移值進行求解，為

(26)

式中：x′,y′為位移響應點的位置；u′ni為所在納米板對應的單元位移向量；Dni和Pni為對應的位移參數矩陣和軸向波數矩陣。

3 數值結果與討論

通過第2章介紹，首先對本文所建立的周期彈性納米板振動特性的正確性進行驗證。基于第2章所建立的模型，在對固有頻率進行求解時，忽略外界力向量F。采用搜根算法對整體矩陣K在一定頻率范圍內進行搜索，所求得的零點位置即為納米板結構的固有頻率。在表1的對比算例中，邊界條件1和2分別設置為固支-固支和固支-簡支。因此，對于兩種邊界條件下整體矩陣中邊界矩陣KA10和KBN1進行定義，為

Ki(x,y,t)=Yfn(y)[TσD1,2niP1,2ni(x)+
TfF1,2niP1,2ni(x)]u1,2nie-iωt

(27)

其中

(28)

接下來，對周期納米板結構振動特性進行分析。首先對周期納米板的組成材料進行選取。本文中，選取兩種石墨烯材料作為板A和B的組成材料，屬性如表2所示[19-20]。

采用有限元法對局部周期板結構彎曲位移響應進行求解，并與本文計算的結果進行對比，設定非局部參數μA=μB=0。所建立的有限元模型尺寸為：Lx1=Lx2=Ly=1 m，h1=h2=12.5 mm，N=2，Kw=0，F0=1 N。力的作用點為(0,0.5)，彎曲位移相應點為(6,0.5)。由材料A構成的單一材料板結構在0～1 000 Hz內的彎曲位移響應曲線，如圖2(a)所示。通過計算得到，當模態數M取值為10時，彎曲位移得到收斂，取得良好的結果。通過對比可以看出，本文所計算得到的位移響應曲線與有限元法對比基本吻合，驗證本文計算方法的計算正確性。同時，雙周期納米板結構彎曲位移曲線對比，如圖2(b)所示。由圖2可知：在0～1 000 Hz的頻率內，兩種計算方法所得到的彎曲位移曲線趨勢一致并且處于同一量級，計算結果吻合良好。

表1 不同邊界條件下納米板結構頻率參數對比Tab.1 Comparison of frequency parameters of nanoplate structures under different boundary conditions

表2 石墨烯材料屬性表Tab.2 The table of graphene material properties

圖2 彎曲位移曲線對比Fig.2 The comparison of the flexural displacement curves

非局部模型與局部模型下彎曲位移曲線的對比情況，如圖3所示。其中，Lx1=Lx2=Ly=10 nm,h1=h2=0.125 nm，F0=1×10-11N，N=3，M=10。對于局部模型，設定材料A和B的非局部參數為零，即μA=μB=0。通過比較可以看出，隨著非局部參數的引入，0～20 GHz內的彎曲位移曲線共振峰向左移動，這種現象與單一納米板結構相同[21]。出現該現象的原因是非局部參數降低了周期納米板結構的等效結構剛度。

圖3 非局部與局部模型下彎曲位移曲線對比Fig.3 The comparison of the flexural displacement response curves via local and nonlocal analysis model

通過對本文計算方法的驗證，接下來將對周期納米板寬度，單元納米板長度，單元納米板厚度，周期數以及彈性支撐條件對周期納米板結構振動特性的影響規律進行分析研究。三周期納米板結構在不同納米板寬度下的彎曲位移響應曲線，如圖4所示。由圖4可知：在0～20 GHz內，彎曲位移曲線在低頻范圍內具有較大的衰減效果。同時，隨著周期納米板寬度從10 nm到20 nm進行變化，低頻范圍內的衰減區域逐漸較小并且在衰減范圍內的衰減程度有著明顯變小的趨勢，初始頻率下的彎曲位移數量級由1×10-17增加到1×10-12，具有明顯的數量級變化。因此，納米板寬度在低頻范圍內對彎曲位移響應具有明顯的影響。隨著周期納米板寬度的增加，頻率衰減范圍以及該范圍內的衰減程度逐漸較小。

圖4 不同納米板寬度下位移曲線對比Fig.4 Comparison of displacement curves for various widths of periodic nanoplates

不同單元納米板長度情況下三周期納米板彎曲位移曲線的對比情況，如圖5所示。通過比較可以看出，隨著單元納米板長度的增加，低頻范圍內的彎曲位移曲線變化較為明顯。當單元納米板的長度由10 nm增加到20 nm時，低頻范圍內的彎曲位移響應出現明顯的數量級變化，初始頻率對應的彎曲位移數量級從1×10-17下降到1×10-24，具有較大程度的衰減。同時，在低頻衰減范圍內，不同的單元納米板寬度對應的彎曲位移衰減頻率范圍基本保持不變。因此，隨著單元納米板長度的增加，低頻范圍內的彎曲位移響應逐漸較小，但衰減的頻率范圍基本保持不變。

圖5 不同單元納米板長度下位移曲線對比Fig.5 Comparison of displacement curves for various lengths of single nanoplates

不同單元納米板厚度下三種單元納米板彎曲位移曲線的對比情況，如圖6所示。通過比較可以看出，在0～20 GHz內，當單元納米板的寬度h1=h2=0.125 nm和h1=0.1 nm，h2=0.125 nm時，在初始頻率范圍內的彎曲位移基本相同。h1=h2=0.125 nm情況下在低頻范圍內的彎曲位移衰減程度最大。同時，當h1=0.125 nm，h2=0.1 nm時，低頻范圍內的彎曲位移衰減程度最小，同時衰減頻率范圍變小。因此，對于周期納米板而言，單元納米板厚度在低頻范圍內對彎曲位移衰減程度有著一定的影響。隨著單元納米板的厚度增大，彎曲位移衰減程度以及頻率范圍均存在一定的增大現象。

圖6 不同單元納米板厚度下位移曲線對比Fig.6 Comparison of displacement curves for various thicknesses of single nanoplates

不同周期數下周期納米板的彎曲位移曲線的對比情況，如圖7所示。通過比較可以看出，在0～20 GHz內，當周期納米板從三周期增長到九周期后，在低頻范圍內的彎曲位移具有較大程度的衰減，彎曲位移數量級從1×10-17下降到1×10-33。并且可以發現，隨著周期數的增大，低頻范圍內的頻率衰減范圍基本保持不變。同時，在12.46～15.13 GHz內的彎曲位移逐漸減小。因此，周期數對周期納米板的彎曲位移具有明顯的影響情況，隨著周期數的增加，彎曲位移衰減程度逐漸增大。

圖7 不同周期數下位移曲線對比Fig.7 Comparison of displacement curves for the period number of periodic nanoplate

彈性支撐條件下的彎曲位移曲線對比，如圖8所示。設定三周期納米板整體承受Kw=1×106Pa/nm的彈性支撐，并且與非彈性支撐條件下彎曲位移曲線進行對比。可以看出，通過引入彈性支撐條件，低頻范圍內的彎曲位移衰減程度變大。同時，衰減的頻率范圍由0～10.86 GHz增加到0～12.64 GHz，具有明顯的增大效果。因此，可以看出，彈性支撐條件對周期納米板彎曲位移具有較為明顯的衰減效果。

圖8 彈性支撐條件下位移曲線對比Fig.8 Comparison of displacement curves for elastic supporting conditions of periodic nanoplate

最后，對不同彈性支撐條件對三周期納米板結構彎曲位移的影響情況進行分析。三種不同彈性支撐條件下周期納米板結構的彎曲位移曲線，如圖9所示。分別設置三周期納米板整體無彈性支撐，納米板A承受彈性支撐以及納米板B承受彈性支撐情況。通過比較可以看出，當納米板A或納米板B承受彈性支撐條件時，相比較與無彈性支撐條件下，彎曲位移均存在一定的衰減效果。

圖9 不同支撐條件下位移曲線對比Fig.9 Comparison of displacement curves for various supporting conditions of periodic nanoplate

4 結 論

本文結合非局部理論以及Mindlin理論，對非局部彈性周期納米結構振動特性進行了研究。通過考慮不同材料納米板連接處的協調關系，結合波動法，建立了非局部周期納米板結構的數值分析模型。通過與文獻中單一納米板結構不同邊界下的一階頻率參數以及局部理論下有限元法得到的彎曲位移響應曲線進行對比，驗證了本文所建立模型以及求解方法的正確性。以此為基礎，開展了周期納米板寬度、單元納米板長度及厚度、周期數以及彈性支撐條件對周期納米板振動特性的影響情況。主要得到的結論如下：

(1) 周期數的增大導致頻率范圍內的彎曲位移具有明顯的衰減效果，但是對頻率范圍影響較小，可以忽略不計；周期納米板的長度對于彎曲位移響應的影響情況與之相同。

(2) 彈性支撐條件會導致彎曲位移響應的頻率衰減范圍變大，并且使頻率范圍內的彎曲位移進一步減小；當不同納米板設置彈性支撐條件時，其對于彎曲位移響應的影響效果與整體承受情況相同。

(3) 周期納米板的寬度增大會導致彎曲位移響應的頻率衰減范圍減小，頻率范圍內的響應逐漸增大；周期納米板的厚度的增大會導致彎曲位移響應的頻率衰減范圍變大，頻率范圍內的響應變小。