聲子晶體型浮置板軌道低頻減振性能研究

盛 曦， 曾會柯， 石 燦， 杜彥良

(深圳大學 城市智慧交通與安全運維研究院，深圳 518060)

隨著城市軌道交通線網不斷加密，環境振動問題愈發嚴重，引起了人們的普遍重視。地鐵列車作用所激發的鋼軌振動將依次傳遞至下部基礎、隧道結構、周圍土體，最終引發地表環境及建筑物的振動。對于波長較長的低頻振動成分，其穿越地層及建筑物基礎的能力較強，將危害室內人員的身心健康，影響精密儀器和設備的正常使用，對沿線建筑物產生破壞作用[1]。

地鐵列車運行引發沿線環境振動的物理現象實為輪軌作用所激發彈性波向周圍環境傳播的過程，加之軌道結構為一維周期結構，因此調控周期結構中彈性波的傳播行為是解決上述問題的一種有效途徑。聲子晶體是由兩種或兩種以上彈性介質組成的具有彈性波帶隙的周期復合材料或結構[7]。聲子晶體存在帶隙特性,即在帶隙頻率范圍內的彈性波傳播將會受到抑制，而其他頻率范圍(通帶)內的彈性波可順利傳播[8-9]。基于聲子晶體理論的振動控制最初應用于桿、軸、梁和板等典型工程結構設計，構建了一類具有彈性波帶隙特性的人工周期結構，理論及試驗研究結果均表明，結構振動在其帶隙頻率范圍內得到了有效抑制。隨后，聲子晶體理論在城市軌道交通振動控制中也取得了一定的應用。Huang等[10]利用兩種不同材料構建了周期層狀結構，并將其用作地屏障，可有效衰減表面波帶隙頻率范圍內地鐵環境振動的傳遞。Sheng等[11]提出一種基于局域共振帶隙機理的隔振器，并將其應用于地鐵浮置板軌道結構中，可有效提高浮置板軌道的整體減振效果。聲子晶體實現了彈性波定向調控，可為鋼彈簧浮置板軌道低頻減振性能的提升打開新的思路。

本文提出了一種新型的聲子晶體型浮置板軌道結構，建立了周期半軌道模型，采用譜元法對其進行求解，揭示了聲子晶體型浮置板軌道的能帶結構與帶隙特性；為了探究帶隙特性對低頻減振性能的影響，建立了有限半軌道模型，采用譜元法計算分析了不同軌道部件的位移導納幅值，傳遞率與基礎插入損失。

1 聲子晶體型浮置板軌道結構

聲子晶體型浮置板軌道結構的設計原理是通過在浮置板上表面周期性地設置局域振子(由橡膠層和鋼質量塊組成)，使其與傳統的鋼軌、扣件、浮置板、鋼彈簧隔振器等部件組成聲子晶體型浮置板軌道，將低頻局域共振帶隙引入至鋼彈簧浮置板軌道，抑制浮置板內低頻彎曲波的傳播，減小浮置板垂向振幅，并減弱由鋼彈簧隔振器傳遞至基礎的垂向力。在保留鋼彈簧浮置板軌道中高頻顯著隔振性能的同時，進一步提升低頻范圍內(20 Hz以下)的減振性能。其結構示意圖如圖1所示。

圖1 聲子晶體型浮置板軌道結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the phononic crystal FST structure

值得一提的是，聲子晶體型浮置板軌道結構與楊吉忠等和張龍慶等研究中提到的方案有著類似之處，且振子與動力吸振器極為相似，但兩者實現低頻減振的機理有著本質區別。在后者中，動力吸振器被放置在各階模態的波腹位置處，以此抑制浮置板在多階固有頻率處的共振放大作用，由于各階固有頻率為離散點，其有效減振頻段為多段式。在聲子晶體型浮置板軌道中，振子周期性地設置在浮置板上表面處，利用周期結構帶隙特性調控帶隙頻率范圍內軌道結構彈性波的傳播行為，其有效減振頻段為連續式，且可通過結構設計進一步拓寬帶隙頻率范圍[12]。

2 聲子晶體型浮置板軌道帶隙特性

2.1 周期半軌道模型

聲子晶體型浮置板軌道結構可視為沿線路縱向的一維周期結構，其元胞如圖2所示。將元胞簡化為周期雙層點支承梁-振子結構，建立周期半軌道模型，如圖3所示。

圖2 聲子晶體型浮置板軌道元胞Fig.2 Unit cell of the phononic crystal FST

圖3 聲子晶體型浮置板周期半軌道模型Fig.3 Periodic half-track model of the phononic crystal FST

該模型包含一根鋼軌，兩組扣件，一塊半截面浮置板、一組振子和一個鋼彈簧隔振器。在該模型中，鋼軌采用Timoshenko梁進行模擬，其長度等于兩倍扣件間距(即2df)，扣件和鋼彈簧隔振器簡化為彈簧，浮置板截面寬度為實際值的一半，并采用Timoshenko梁進行模擬，振子等效為質量塊-彈簧模型，下部基礎考慮為固定約束。依據Bloch定理，建立模型兩端的周期性聯系。模型中只考慮垂向位移和繞橫軸的轉動自由度。與此同時，通過在該模型中去除振子構件即可得到鋼彈簧浮置板軌道的周期半軌道模型。

2.2 譜元法求解

譜元法[13-14]是一種基于波動解的高精度頻域分析方法。與有限元法相似，它將結構分解為一系列譜單元，利用各個譜單元的剛度矩陣組建結構的整體譜剛度矩陣，結合譜荷載向量實現頻域分析。譜元法將精確波動解引入至梁、柱、軸、板等構件的波動方程，實現譜單元剛度矩陣的推導。譜單元的形函數與頻率密切相關，而傳統有限元中的形函數僅與坐標相關。此外，譜元法只需將材料、幾何尺寸一致的同一類型結構劃分為一個單元，單元尺寸大小對計算精度沒有影響，因此譜元法中的自由度數量銳減，計算時間明顯縮短。譜元法與傳遞矩陣法相結合，可在一維周期結構彈性波傳輸特性研究中發揮較大作用。

采用譜元法對圖3所示模型進行譜單元劃分，其中黑圓圈表示節點。鋼軌劃分為3個Timoshenko梁譜單元，浮置板劃分為4個Timoshenko梁譜單元，每個彈簧劃分為一個彈簧譜單元，質量塊劃分為一個單節點質量譜單元。最終，模型劃分之后包含12個譜單元和11個節點，如圖4所示。

圖4 周期半軌道模型譜單元劃分Fig 4 Spectral-element division of the periodic half-track model

本文作者已在前期工作中推導了上述各類型譜單元的剛度矩陣表達式[15]，在本文中不再贅述。根據表1所示參數計算各個譜單元的剛度矩陣，需要注意的是，由于阻尼的引入可抑制通帶范圍內自由彈性波的傳播，進而改變能帶結構，因此在周期半軌道模型中并不考慮阻尼因素，以此分析聲子晶體型浮置板軌道的固有帶隙特性。

表1 主要軌道參數Tab.1 Main track parameters

采用與有限元法相同的坐標變換方式，將單元坐標系下的譜單元剛度矩陣轉換至全局坐標系下，再組裝到整體譜剛度矩陣中，同時完成模型約束條件的處理，最終獲取模型的整體譜剛度矩陣，并得到模型譜節點荷載向量與位移向量的關系

F=S(ω)U

(1)

式中：S(ω)為整體譜剛度矩陣；ω為圓頻率；U為整體模型的譜節點位移向量；F為整體模型的譜節點荷載向量。對于周期半軌道模型，式(1)可細化為

(2)

式中：Ui=(ui,θi)為節點i(i=1～11)的譜節點位移向量；ui為垂向位移；θi為轉動角；Fj=(Fj,Mj)為節點j(j=1～11)的譜節點荷載向量；Fj為垂向力；Mj為彎矩。譜剛度矩陣S(ω)依據節點編號分割為11×11的分塊矩陣，而子矩陣表示為Sij。為了建立模型左端節點與右端節點的傳遞關系，對式(2)進一步分割

(3)

其中

(4)

由于節點3～節點9未承受外部荷載(即FM=0)，結合式(3)可得

(5)

其中

(6)

隨后，將式(5)表示為兩端節點之間的傳遞關系

(7)

式中，t(ω)為譜傳遞矩陣

(8)

結合Bloch定理

(9)

式中：k為一維Bloch波矢(即波數)；l(l=2df)為周期常數。結合式(7)和式(9)，可得關于k和ω的標準特征值問題

|t(ω)-e-iklI|=0

(10)

式中，I為單位矩陣。通過求解該特征值問題，可得由k和ω表示的能帶結構。由于t(ω)為8×8矩陣，特征解中包含8條能帶曲線，表征4對在周期半軌道模型中傳播的彈性波。

2.3 能帶結構與帶隙特性

對于基于Timoshenko梁的周期半軌道模型，同一頻率下的8個Bloch波數可以表示成±k1，±k2，±k3和±k4的形式，每一對波數表示沿相反方向傳播的兩個相同Bloch波。其中，波數實部可反映相位特性，而虛部可反映衰減特性。一般而言，波數k可分為實數，虛數或者復數，而與此對應的Bloch波則為：①傳播波(由P表示)，其波數滿足Im(kl)=0；②衰減波(由A表示)，其波數滿足Re(kl)=0或±π，且Im(kl)≠0；③復數波(由C表示)，其波數滿足-π≤Re(kl)≤π且Im(kl)≠0。因此，可依據Bloch波的類型對本模型能帶結構的頻帶進行分類，如CCCC頻帶(全為C波)，PPPP頻帶(全為P波)，PACC頻帶(同時存在P波、A波、C波)等等。由于C波的傳播同樣受到衰減[16]，故當頻帶中至少存在一對P波時，該頻帶才為通帶，否則為禁帶。

為了探明局域振子對軌道結構內彈性波傳播的影響，本節首先計算了鋼彈簧浮置板軌道(無振子)的能帶結構，如圖5所示。

圖5 鋼彈簧浮置板軌道能帶曲線Fig.5 Band structure of the steel-spring FST

由圖5可知，k1和k2滿足共軛關系，k3和k4滿足共軛關系。在頻率f1=10.8 Hz以下，能帶結構中存在一個CCCC型帶隙。在該頻率范圍內，鋼彈簧浮置板軌道彎曲波傳播受到抑制，并不存在自由波。在頻率f1以上，能帶曲線進入到PACC頻帶(通帶)。在周期半軌道模型中，鋼軌和浮置板均具有周期性，同一頻率下的4組波數源于兩者內部的彎曲波。為了揭示波數與軌道部件的內在關聯，分別計算了鋼軌-扣件子模型和浮置板-鋼彈簧隔振器子模型的能帶結構，并對比圖5可知，k1和k2表征了沿鋼軌傳播的彎曲波，而k3和k4表征了沿浮置板傳播的彎曲波。因此，在PACC頻帶中，彎曲波主要在浮置板內傳播，對應波數類型為PA，頻率f1可認為是浮置板彎曲波的截止頻率；而鋼軌彎曲波傳播受到抑制，對應波數類型為CC。值得注意的是，在低頻范圍內，鋼軌彎曲波和浮置板彎曲波并未產生耦合效應。隨后，本文計算了聲子晶體型浮置板軌道的能帶結構，如圖6所示。振子參數見表1，相關參數的選定滿足軌道結構限界與線路設計施工規范等要求。

圖6 聲子晶體型浮置板軌道能帶曲線Fig.6 Band structure of the phononic crystal FST

由圖6可知，k1和k2變化較小，而k3和k4發生明顯變化。因此，在低頻范圍內，振子主要影響浮置板彎曲波的傳播，而對鋼軌彎曲波的影響較小。聲子晶體型浮置板軌道能帶結構出現了一個新帶隙，其頻率范圍為f3～f4(8.2～13.5 Hz)。由于振子的自振頻率為fR=(kR/mR)1/2/2π=8.2 Hz=f3，可知該帶隙的產生源于振子的動力作用，即為局域共振型帶隙。與此同時，位于最左側的第一帶隙上限頻率降低至f2=6.6 Hz。值得注意的是，盡管fR低于f1，振子的引入并未實現兩帶隙的融合，而是在兩者之間出現了一個通帶，其頻率范圍為f2～f3。綜上可知，聲子晶體型浮置板軌道在低頻范圍內產生了局域共振型帶隙，可以此抑制浮置板內彎曲波傳播，減小浮置板垂向振幅。

3 聲子晶體型浮置板軌道低頻減振性能

3.1 有限半軌道模型和譜元法

本節建立了有限半軌道模型，如圖7所示。該模型包含一股長鋼軌、多組扣件、多塊浮置板、多個鋼彈簧隔振器、多組振子，一條長基礎和多個剪力鉸。鋼軌采用Timoshenko梁進行模擬，扣件和鋼彈簧隔振器簡化為彈簧-阻尼器，振子考慮為質量-彈簧-阻尼器，浮置板同樣采用Timoshenko梁進行模擬，每塊浮置板長度為8倍扣件間距，浮置板之間的剪力鉸采用剪切彈簧進行模擬，基礎簡化為連續支承Timoshenko梁，其長度為9倍浮置板長度，相關參數見表1。為了減小彈性波反射對計算結果的影響，在長鋼軌兩端施加無反射邊界條件。隨后，在模型中部的跨中鋼軌處施加垂向簡諧點荷載，計算不同軌道部件的動態響應。模型中只考慮垂向位移和繞橫軸的轉動自由度。與此同時，通過在該模型中去除振子構件即可得到鋼彈簧浮置板軌道的有限半軌道模型。

圖7 聲子晶體型浮置板軌道有限半軌道模型Fig.7 Finite half-track model of the phononic crystal FST

采用譜元法對有限半軌道模型進行求解，譜單元劃分如圖8所示。兩相鄰扣件之間的鋼軌劃分為一個Timoshenko梁譜單元，扣件和鋼彈簧隔振器劃分為一個彈簧阻尼器譜單元，振子劃分為一個質量譜單元和一個彈簧阻尼器譜單元，兩相鄰節點之間的浮置板劃分為一個Timoshenko梁譜單元，兩相鄰鋼彈簧隔振器之間的基礎劃分為一個連續支承Timoshenko梁譜單元，剪力鉸劃分為一個剪切彈簧譜單元，無反射邊界條件采用截斷譜單元進行模擬。本文作者推導了上述所有譜單元類型的剛度矩陣表達式，采用表1所示參數，參照所需求解步驟，獲取有限半軌道模型的譜剛度矩陣，并利用式(1)計算不同模型部件的位移響應。

圖8 有限半軌道模型譜單元劃分Fig.8 Spectral-element division of the finite half-track model

3.2 位移導納與傳遞率

對于鋼彈簧浮置板軌道和聲子晶體型浮置板軌道，模型中距離激勵點最近的基礎節點位移導納幅值如圖9所示。

圖9 基礎位移導納幅值Fig.9 Receptance amplitude of the infrastructure

在20 Hz以下頻率內，鋼彈簧浮置板軌道的位移導納幅值曲線中僅在頻率f1處存在一個極為顯著的波峰，因此聲子晶體型浮置板軌道的低頻減振性能提升頻段(即帶隙)應覆蓋該峰值頻率。該波峰產生的原因是由于浮置板發生一階垂向彎曲共振，且通過鋼彈簧隔振器的耦合作用致使基礎產生劇烈振動響應。此外，幅值曲線在28.0 Hz，34.5 Hz，44.2 Hz，54.6 Hz和60.1 Hz處出現了幅值相對較小的波峰，均是由于浮置板發生高階垂向彎曲共振，但這些頻率并不處在本文所關注的低頻范圍內。對于聲子晶體型浮置板軌道，第一波峰往低頻方向移動，其峰值縮小至原數值的一半，而帶隙范圍內的幅值較大程度地減小。與此同時，浮置板高階垂向彎曲共振所致的各波峰均得以削弱。在70 Hz以上，兩條曲線幾乎重合，可見振子對浮置板軌道中高頻減振性能無影響。

距離激勵點最近的浮置板節點位移導納幅值和位于激勵點處的鋼軌節點位移導納幅值如圖10所示。

圖10 浮置板和鋼軌位移導納幅值Fig.10 Receptance amplitudes of the floating slab and the rail

對比可知，鋼彈簧浮置板軌道中浮置板和鋼軌的位移導納幅值曲線與基礎幅值曲線有著相似的變化趨勢和特征頻率，但三者幅值大小有所不一。在聲子晶體型浮置板軌道中，振子對浮置板和鋼軌位移導納幅值的影響規律與對基礎的影響規律也一致。結合圖9和圖10可知，聲子晶體型浮置板軌道可較好地減弱浮置板低頻共振對基礎、浮置板和鋼軌的影響，在提高低頻減振性能的同時，還可減弱軌道結構振動響應。

為了探究聲子晶體型浮置板軌道振動傳遞特性，定義了鋼軌至基礎的位移傳遞率

(11)

式中：TR為位移傳遞率；Rr和RI分別為鋼軌和基礎的位移導納幅值。基于有限半軌道模型，傳遞率計算結果如圖11所示。

圖11 鋼軌至基礎的位移傳遞率Fig.11 The transmissibility of the receptance amplitude from the rail to the infrastructure

由圖11可知：鋼彈簧浮置板軌道傳遞率曲線在頻率f5=16.5 Hz處出現顯著峰值。值得注意的是，f5高于浮置板共振頻率f1，這是因為在f1處鋼軌位移導納幅值(式(11)中的分母)同樣出現峰值，而當頻率高于f1時，鋼軌幅值減小速率高于基礎，傳遞率逐漸增大并最終在f5處出現峰值。在聲子晶體型浮置板軌道中，盡管帶隙范圍內的傳遞率變化不大，但頻率f5處的波峰得到了較大程度的削弱，減小量為8.3 dB，此變化本質上得益于振子的動力吸振作用。此外，在20 Hz以上的波峰同樣受到了一定程度的削弱。結合圖9和圖11可知：在20 Hz以下頻率內，聲子晶體型浮置板軌道不僅可較大程度地減小基礎的位移導納峰值，還可有效降低鋼軌至基礎的位移傳遞率。

3.3 插入損失

為了更為直觀地反映聲子晶體型浮置板軌道低頻減振性能，利用有限半軌道模型計算了基礎1/3倍頻程插入損失，如圖12所示，插入損失定義為

(12)

式中，aSS和aPC分別為垂向簡諧點荷載作用下鋼彈簧浮置板軌道和聲子晶體型浮置板軌道的基礎加速度幅值。

圖12 基礎插入損失Fig.12 Insertion loss of the infrastructure

在中心頻率8～16 Hz內，基礎插入損失大于0，聲子晶體型浮置板減振性能得以提升。在帶隙范圍內的10 Hz和12.5 Hz處，基礎插入損失分別為10.8 dB和8.6 dB，可知振子的吸振作用顯著提升了帶隙范圍內聲子晶體型浮置板的減振性能。在中心頻率6.3 Hz和20 Hz處，基礎插入損失小于0，這是由于振子動力作用而產生的，但其數值較小且并不位于主要減振頻段。由此可知，低頻帶隙頻率范圍內聲子晶體型浮置板減振性能得以較大提升。

4 結 論

本文開展了聲子晶體型浮置板軌道低頻減振性能研究，主要結論如下：

(1) 對于鋼彈簧浮置板軌道，在100 Hz以下，浮置板能帶曲線中僅存在一個帶隙，而對于聲子晶體型浮置板軌道，由于振子的吸振作用，另外出現了一條8.2～13.8 Hz的局域共振帶隙。

(2) 聲子晶體型浮置板軌道顯著減小了浮置板一階垂向彎曲共振頻率處的基礎、浮置板和鋼軌位移導納幅值峰值，對高頻范圍內波峰同樣具有削弱作用。

(3) 聲子晶體型浮置板軌道減小了20 Hz以下鋼軌至基礎的位移導納幅值傳遞率峰值，最大減小量為8.2 dB，低頻傳遞率保持較低幅值水平。此外，在 20 Hz以上的波峰同樣受到了一定程度的削弱。

(4) 相比于鋼彈簧浮置板軌道，在帶隙范圍內的10 Hz和12.5 Hz處，聲子晶體型浮置板軌道基礎插入損失分別為10.8 dB和8.6 dB，振子的吸振作用顯著提升了帶隙范圍內的減振性能。

聲子晶體型浮置板軌道不僅低頻減振性能得到了提升，其軌道結構振動響應也得以減弱。本文研究可為聲子晶體理論在城市軌道交通低頻減振方向中的應用提供參考。