多維非平穩隨機激勵下隔震曲線梁橋的非線性振動控制

李喜梅， 王建成， 母渤海

(1. 蘭州理工大學 西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，蘭州 730050；2. 蘭州理工大學 防震減災研究所，蘭州 730050； 3. 中國市政工程西北設計研究院有限公司，蘭州 730050)

地震波通過地面傳播時，地面運動是復雜的多維運動，除了我們一般所熟知的3個平動分量外，還有3個轉動分量(一個繞豎軸旋轉的扭轉分量和兩個繞水平軸旋轉的搖擺分量)。在一般結構(質量中心和剛度中心相重合且在一條直線上的結構)的抗震分析中，分別沿著兩個主軸方向進行計算是可靠的，但對于質量中心和剛度中心不重合的結構，地震作用在質量中心的慣性力將對剛度中心產生扭轉，迫使結構產生扭轉耦聯振動。所以，對于不規則結構，應該考慮地震動的扭轉分量。事實上，無論是對于規則還是不規則結構，在多維地震作用下的響應都要大于單維地震，尤其是對于不規則結構[1-2]。另外，由于實際的地震動是一個非平穩隨機過程，因此對結構進行非平穩隨機振動分析更符合實際地震動過程。

在公路及城市道路的立體交叉體系中，由于受周圍環境、交通線路等因素的限制，需要采用曲線橋實現各方向的交通互聯，保證交通線路順暢，改善城市交通的緊張狀況[3]。在強烈的地震作用下，橋梁一般會發生彈塑性變形，使得橋梁抗震成為突出問題。盡可能地降低公路橋梁的地震響應一直是學者們研究的重點[4-5]。目前，針對直線連續梁橋減震控制方法已做了大量研究[6-7]。曲線橋梁的減隔震控制在國內也已開始理論上[8-9]的探索，但由于曲線橋結構形式復雜，現有的研究還遠不能滿足實際工程的需要[10]。因此，對隔震曲線梁橋控制問題的研究具有重要意義。亓興軍等[11-14]建立了曲線梁橋的有限元模型，用不同的減隔震方法對曲線梁橋的振動控制進行了深入的研究，但以上研究未考慮地震激勵的隨機性，且有限元建模分析較復雜，工作量大，計算效率低。為了簡化分析，提高計算效率，王麗等[15-16]根據曲線梁橋的受力特點，建立了適合分析隔震曲線梁橋的簡化模型，并驗證了簡化模型的正確性及精度。李喜梅等[17]利用雙質點六自由度線性簡化模型，采用序列最優控制(sequential optimal control，SOC)算法對一座三跨隔震曲線梁橋進行了非平穩隨機激勵下的振動控制分析，但未考慮強震作用下曲線梁橋進入非線性的情況。

本文在已有的雙質點六自由度簡化模型的基礎上，采用經典的Bouc-Wen模型，建立考慮上部結構偏心的隔震曲線梁橋的彈塑性模型，輸入考慮扭轉分量的多維非平穩隨機激勵(僅考慮強度非平穩)，研究隔震曲線梁橋隨機動力響應，并采用序列最優控制算法和經典最優控制(classical optimal control，COC)算法對結構的動力響應進行振動控制分析。

1 隔震曲線梁橋振動方程的建立

1.1 模型假設

本文采用李喜梅等提出的隔震曲線梁橋的簡化模型，分析隔震曲線梁橋的非線性動力響應，具體的簡化剪切模型如下：

分別將隔震曲線梁橋橋墩及上部結構簡化為兩個各具兩水平x，y自由度與一個圍繞質量中心軸扭轉θ自由度的堆積質量m1，m2模型系統，橋墩與上部結構為兩質點非同軸質量偏心結構的分析模型，上下質點分別表示曲線橋上部、下部結構。簡化模型如圖1所示。

圖1 隔震曲線梁橋簡化模型Fig.1 Simplified model of isolated curved beam bridge

1.2 非線性運動方程的建立

取隔震曲線梁橋為剪切型，將隔震曲線梁橋的上部結構和下部結構分別記為層。以隔震曲線梁橋上部結構的質量中心為坐標原點，建立隔震曲線梁橋的非線性振動控制方程，表示如下

(1)

(2)

(3)

由此，可以寫出隔震曲線梁橋的等效線性化方程

(4)

(5)

式中，Ceq，Keq為Bouc-Wen模型的等效阻尼矩陣和等效剛度剛度，Bouc-Wen模型的具體的等效線性化過程詳見文獻[20]。

式(4)與式(5)中各矩陣的具體形式如下所示。

質量矩陣

式中：m1，m2分別為隔震曲線梁橋的下、上部結構質量；J1，J2分別為下、上部結構轉動慣量[21]；ri為結構的回轉半徑；Xmi，Ymi分別為橋梁下、上部結構質心相對于參考軸的坐標。

彈性剛度矩陣

式中，Kxx，Kyy分別為結構在x，y向彈性平動剛度，取隔震曲線橋梁結構為剪切型，故

式中：kxri，kyri為第i層第r個橋墩位置處x，y向的抗側剛度；l為曲線梁橋橋墩(或支座)的數目；Kxi為第i層x向的屈服前的水平總剛度；αi為第i層屈服后和屈服前的水平剛度之比，當αi=0時，表示結構的第i層處于完全非線性狀態，當αi=1時，表示結構的第i層處于彈性狀態；Kyy與Kxx在形式上完全相同，只是將矩陣中的Kxi換成Kyi。

Kxθ，Kyθ，Kθθ分別為隔震曲線梁橋在x，y向的彈性平扭剛度和扭轉剛度，其中

其中，Kxθij為第i層不動，僅j層發生x向單位位移時，在第i層所需施加的力矩；同樣，Kyθ與Kxθ在形式上完全一致，各元素Kyθij為第i層不動，僅j層發生y向單位位移時，在第i層所需施加的力矩；Kθθij為第i層不動，僅j層發生單位轉角時，在第i層所需施加的力矩[22]。

塑性剛度矩陣

Kxh，Kyh分別為結構在x，y向塑性平動剛度，Kθxh，Kθyh分別為x，y向塑性平扭剛度。其中

Kyh，Kθxh，Kθyh與Kxh在形式上是完全一致的，只不過是將矩陣中的Kxi分別換為Kyi，-Kxieyi，Kyiexi。這里，exi，eyi分別為第i層質心與剛心沿y，x方向的距離，表示為：exi=xri-xmi，eyi=yri-ymi。xri，yri為第i層第r個橋墩沿x，y向坐標；xmi，ymi為第i層質心的x，y向坐標。

阻尼矩陣C用分區瑞利阻尼

式中：C0為經典瑞利阻尼矩陣；Cr為非比例阻尼的余項阻尼矩陣，Cr中的各元素的計算可參考文獻[23]。αs，βs為下部結構瑞利阻尼的比例系數，即

式中：ξs為下部結構的阻尼比；ωi，ωj為結構第i，j階圓頻率。

地震作用影響矩陣E=[Ix,Iy,Iθ]，其中，Ix=[12×1,02×1,02×1]T，Iy=[02×1,12×1,02×1]T，Iθ=[02×1,02×1,12×1]T。

等效阻尼矩陣和等效剛度矩陣具體形式如下所示

將式(4)與式(5)轉化為狀態空間表達式如下所示

(6)

(7)

式中，I為單位矩陣。選擇輸出各質點相對于地面的位移、加速度以及層間滯回位移，則輸出矩陣為

2 序列最優算法

2.1 運動方程的等效線性化

引用滯變位移項為零的假定，建立Bouc-Wen模型的等效線性化表達式[24]。該方法首先由Yang等[25]提出，并用于瞬時最優控制。杜永峰等[26]將該方法用于序列最優控制，對滯變智能隔震結構進行了振動控制研究。本文也采用零滯變位移這一等效線性化方法，對隔震曲線梁橋進行振動控制，則狀態方程變為

(8)

(9)

2.2 基于狀態反饋的最優控制力模型

本文對進入彈塑性的隔震曲線梁橋進行振動控制分析時，建立控制力和狀態向量的關系是借用線性最優控制的理論，故將目標函數改為等效線性化后的狀態變量。

(10)

式中：Q，R分別為結構動力響應和控制力的權重矩陣；t0，tf分別為控制的開始時刻和結束時刻。

按照杜永峰等的推導方法可以得出序列最優控制力模型如下所示

(11)

(12)

(13)

式中，λ為Lagrange乘子向量，基于式(8)、式(9)的狀態方程，仿照杜永峰等的推導思路，可以推出最優控制力表達式為

(14)

式中： Δt為時間間隔；tA為當前時刻；IrH(m)，ErH(m)為最優控制力系數；m對應終止時刻的時間步長數；各矩陣的具體表達式見杜永峰等的研究。

將式(14)代入式(6)中得

(15)

式中：ARc(m)=AR+ΔtBRIrH(m)；ERc(m)=ER+(Δt)2BRErH(m)。

由于在狀態轉移算法中Δt通常取值很小，則ERc(m)可近似取為

ERc(m)=ER

(16)

由于ARc(m)是隨時間變化的，這種情況不便于進行頻域內的響應分析。為了簡化分析，本文將ARc(m)表達式中的時變部分進行加權平均，將其變為時不變表達式。首先計算閉環反饋增益矩陣的加權平均值

(17)

式中：Td為地震動持時；Te為控制延時。由此可以得到時不變的控制等效動力特性矩陣

ARc=AR+BRKRf

(18)

由以上推導，最終可以得到我們所要的狀態空間方程

(19)

3 隔震曲線梁橋隨機地震響應的求解

(20)

(21)

將式(21)利用歐拉公式變形得

(22)

對于一階微分方程式(19)，本文將虛擬激勵變為簡諧外荷載后，采用文獻[29]中提出的混合精細積分法進行計算，得到隔震曲線梁橋的隨機動力響應，從而求出結構的功率譜矩陣為

SVV(ω,t)=V(ω,t)*·V(ω,t)T

(23)

式中： *為共軛； T為轉置。

結構的時變方差為

(24)

4 算例與討論

4.1 工程背景

某立交匝道上一聯圓曲線連續梁橋，該橋共有3跨，每跨20 m，曲率半徑R=50 m，圓心角α=69°。主梁采用單箱單室箱梁，橋面寬度8 m，圓柱形橋墩，直徑1.6 m，墩高7 m，下部結構的阻尼比ξs=0.05，每個墩頂分別布置一個直徑為500 mm的鉛芯橡膠支座，隔震層的水平阻尼比ξb=0.15。

取曲線橋上部結構質量中心為整體坐標系原點，其平面布置圖如圖2所示。每個橋墩處徑向、切向的阻尼器布置圖如圖3所示。曲線梁橋相應模型計算參數如表1所示。

圖2 曲線橋平面布置圖(m)Fig.2 Plan view of curved bridge (m)

圖3 徑向、切向阻尼器布置圖Fig.3 Radial and tangential dampers layout

表1 曲線橋相應模型的計算參數Tab.1 Calculation parameters of corresponding model of curved bridge

4.2 多維地震動的隨機模型

帶有低頻過濾器的雙過濾白噪聲地震功率譜更適用于隔震結構的隨機響應分析[30]。綜合考慮幾種常見的地震動加速度功率譜的優缺點，本文選取Clough-Penzien模型作為隨機振動分析中水平分量的功率譜模型，其自譜密度函數為

(25)

式中：ωg和ξg分別為場地土的卓越圓頻率與阻尼比；S0為基巖加速度(白噪聲)自譜密度；ξf和ωf兩參數的配合可模擬地震動低頻能量的變化，通常取ξf=ξg，ωf=0.1-0.2ωg[31]。

本文以地震動烈度為8度為例，推算出罕遇地震0.4g下的單邊功率譜強S0=2.177 4×10-2m2/s3，場地選用Ⅱ類場地，設計地震分組為第二組，則式(25)的地震動隨機模型參數取為[32]：ωg=15.71，ωf=0.15ωg，ξf=ξg=0.72，其輸入的功率譜密度曲線如圖4所示，地震動持時取T=20 s。

圖4 加速度功率譜密度函數Fig.4 Acceleration power spectral density function

扭轉分量地震動隨機模型選用李宏男[33]提出的轉動功率譜數學模型

(26)

式中：γ為低頻減量系數；ωg1和ξg1為土層過濾器的頻率和阻尼比；ωg2和ξg2可為基巖過濾器的頻率和阻尼比；S0為基巖譜強度。式(26)中模型的參數取值見李宏男的研究，其輸入的功率譜密度曲線如圖4。

非平穩隨機地震動模型的調制函數g(t)選用工程中常用的三段式均勻調制函數，其表達式如下

(27)

式中：c為衰減系數；t1和t2分別為主振平穩段的首、末時間。式(27)中參數取值為：c=0.35，t1=0.8 s，t2=7.0 s。

4.3 結構隨機響應分析

為了研究考慮扭轉分量的多維非平穩隨機激勵對隔震曲線梁橋動力響應的影響，本文輸入多維非平穩隨機激勵，假定水平分量隨機激勵的輸入角度θ=0°(與整體坐標系x軸方向的夾角)，分別求出考慮與未考慮扭轉分量下上部結構x，y向的位移功率譜密度和時變方差的變化規律。結果如圖5、圖6所示。

為了能清楚的描述其變化規律，對上部結構位移功率譜密度各分圖橫坐標取對數進行繪制。由圖5可知，在考慮扭轉分量與未考慮扭轉分量的非平穩隨機激勵下，上部結構x向的位移功率譜密度的峰值位置是一致的，均位于隔震曲線梁橋一階自振頻率附近。隔震曲線梁橋上部結構x向位移功率譜密度峰值與未考慮扭轉分量的相比，由原先的3.63 cm2/s增加至3.72 cm2/s，增加了2.5%。由圖6可知，隔震曲線梁橋在罕遇非平穩隨機激勵下，位移響應呈現強烈的非平穩性，時滯現象較明顯。當考慮非平穩隨機激勵的扭轉分量后，隔震曲線梁橋上部結構x向峰值位移方差與未考慮扭轉分量的相比，由原先的64 cm2增加至67 cm2，增加了4.5%。由于本文中的隔震曲線梁橋僅在y方向上存在偏心，故非平穩隨機激勵的扭轉分量對隔震曲線梁橋上部結構y向的位移功率譜密度和時變方差無影響。由以上分析可以看出，考慮扭轉分量的多維非平穩隨機激勵下隔震曲線梁橋的動力響應要大于僅考慮水平雙向非平穩隨機激勵下的響應，因此，有必要對考慮扭轉分量的非平穩隨機激勵下的隔震曲線梁橋其進行振動控制。

圖5 上部結構位移功率譜密度曲線Fig.5 Displacement power spectral density curve of superstructure

圖6 上部結構位移時變方差曲線Fig.6 Displacement time-varying variance curve of superstructure

4.4 振動控制分析

本文采用狀態反饋的序列最優控制和經典線性最優控制對考慮扭轉分量的多維非平穩隨機激勵下的隔震曲線橋進行振動控制，假設控制器能夠實時提供結構所需要的控制力。控制效果以上部結構的動力響應為評價指標。輸入多維非平穩隨機激勵，分別求出隔震曲線梁橋上部結構在無控、經典最優控制和序列最優控制下的功率譜密度和時變方差變化規律。結果如圖7～圖10所示。

圖7 上部結構位移功率譜密度Fig.7 Displacement power spectral density of superstructure

圖8 上部結構速度功率譜密度Fig.8 Velocity power spectral density of superstructure

圖9 上部結構位移時變方差Fig.9 Displacement time-varying variance curve of superstructure

圖10 上部結構速度時變方差Fig.10 Velocity time-varying variance curve of superstructure

圖7和圖8分別為隔震曲線梁橋在3種不同控制狀態下，輸入多維非平穩隨機激勵后的上部結構x，y向的位移功率譜密度和速度功率譜密度對比圖。從圖7和圖8可知，在3種不同的控制狀態下，隔震曲線梁橋的位移功率譜密度和速度功率譜密度的最大值都在結構一階頻率附近達到，且在經典最優控制和序列最優控制下，隔震曲線梁橋上部結構不管是x方向還是y方向的位移功率譜密度和速度功率譜密度都有了明顯減小，隔震曲線梁橋的振動得到了有效地抑制。

在經典最優控制下，上部結構x向和y向的位移功率譜密度峰值與無控下相比，分別減少了42.4%和43.3%，速度功率譜密度峰值分別減少了44.6%和45.2%；在序列最優控制下，上部結構x向和y向的位移功率譜密度峰值與無控下相比，分別減少了51.5%和53.3%，速度功率譜密度峰值分別減少了52.5%和53.3%。

圖9和圖10分別為隔震曲線梁橋在3種不同控制狀態下，輸入多維非平穩隨機激勵后的上部結構x，y向的位移時變方差和速度時變方差對比圖。從圖9和圖10可知，經典最優控制和序列最優控制在相同的能量下，隔震曲線梁橋上部結構不管是x方向還是y方向的位移時變方差和速度時變方差都有了明顯減小，隔震曲線梁橋的振動得到了有效地抑制。運用經典最優控制算法控制后的上部結構x向和y向的位移方差峰值與無控下相比，分別減少了33.3%和34.8%，速度方差峰值分別減少了31.9%和32.6%；運用序列最優控制算法控制后的上部結構x向和y向的位移方差峰值與無控下相比，分別減少了40%和40.9%，速度方差峰值分別減少了38.1%和38.6%。另外，在經典最優控制和序列最優控制作用下，隔震曲線梁橋的時滯和非平穩現象得到很好的抑制。

5 結 論

本文運用經典的Bouc-Wen模型建立隔震曲線梁橋的非線性動力方程，將非線性方程等效線性化，輸入考慮扭轉分量的多維非平穩隨機激勵，利用歐拉公式將虛擬激勵變為簡諧外荷載，采用混合精細積分法分析隔震曲線梁橋的隨機動力響應。基于零滯變位移條件的等效線性化方法求出序列最優控制的最優控制力，對隔震曲線梁橋的動力響應進行了控制分析，并與經典最優控制下的作對比，結論如下：

(1) 考慮扭轉分量的多維非平穩隨機激勵下隔震曲線梁橋的動力響應要大于僅考慮水平雙向非平穩隨機激勵下的響應，且在罕遇非平穩隨機激勵下，隔震曲線梁橋的位移響應呈現強烈的非平穩性，時滯現象較明顯。

(2) 運用序列最優控制算法控制后的隔震曲線梁橋上部結構x、y向位移和速度功率譜密度和方差響應均得到了明顯的減小，且對響應呈現出的非平穩性和時滯現象有明顯的抑制效果，其控制效果與經典最優控制下的相當。