功能梯度耦合梁的能量輻射傳遞模型

王 幸， 鐘 強， 李 翱， 陳海波

(中國科學技術大學 近代力學系 中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室，合肥 230026)

復合材料梁在航空航天領域具有十分重要而廣泛的應用，如在飛機機翼、直升機尾槳等零部件上已大量使用[1]。傳統層壓復合材料結構在極端工況下，經常會出現脫層和裂紋等損傷失效現象。與傳統的層壓復合材料不同，功能梯度材料(functionally graded material, FGM)是一種新型的非均質復合材料，它是由兩種或者兩種以上的材料在微觀上融合制備而成[2-3]。FGM中不同材料成分之間的過渡是漸變的，這可以有效降低分層的風險，所以傳統層壓復合材料梁越來越多的被FGM梁代替。像機翼、尾槳等大型部件中耦合梁結構是不可避免的，且在實際工況中往往受到高頻載荷[4-5]，引發結構強度破壞和疲勞失效等問題。所以研究FGM耦合梁的高頻振動是很有必要的。

發生高頻振動時，子頻帶內的模態密集，模態高度重疊，且特征波長遠小于結構尺寸。根據高頻振動的特征，將帶寬內模態數大于5或模態重疊因子大于2的頻段定義為高頻段。傳統有限元(finite element method，FEM)[6]和邊界元法(boundary element method，BEM)[7]在求解結構高頻振動時會遇到兩個問題：①由于振動波長較小導致的計算成本高；②結構不確定性非常敏感導致的計算魯棒性不強。為了避免傳統數值方法在高頻段遇到的這兩個問題，學者們提出了多種的能量分析方法。其中最流行的是統計能量分析法(statistical energy analysis，SEA)[8-9]。但受限于擴散場假設，SEA僅能給出振動子系統的平均能量響應，而Bot等[10-12]通過類比熱輻射提出了能量輻射傳遞法(radiative energy transfer method，RETM)，它可以準確地預測系統中任意位置的能量響應。RETM理論遵循惠更斯原理與線性疊加原理，系統的振動場由域內實源和邊界虛源疊加而成，每個源產生的波場對于一維系統是平面波，對于二維系統是柱面波，對于三維系統是球面波。但是目前RETM的應用局限于各向同性系統，本文將此方法拓展到復合材料梁的高頻響應分析中。

在FGM梁的動力學研究方面，Aydogdu等[13]研究了簡支邊界條件下FGM梁的自由振動問題，趙亮等[14]針對軸向運動的FGM懸臂梁進行動力學分析，鄧昊等[15]研究了沿軸向指數分布的FGM梁的固有頻率和模態振型，Liu等[16]通過建立能量流模型計算了受橫向激勵作用下的FGM梁的高頻振動響應。但是目前國內針對FGM耦合梁高頻振動響應的研究較少。本文考慮FGM耦合梁中彎曲振動和軸向振動的耦合效應，基于RETM理論建立FGM梁振動響應的求解模型，通過數值算例，與波傳播分析法[17](wave propagation analysis，WPA)計算的精確解對比，驗證所建立的求解模型的準確性。WPA法是根據波的傳播特性，通過對控制方程進行兩次傅里葉變換建立的。第一次變換得到位移在波數空間的幅值，第二次逆變換得到位移在空間內的直接場解。位移解為直接場解加上一般解，一般解由邊界條件確定，因此WPA方法相當于理論解，可以用于驗證RETM的準確性。此外，本文還分析了材料梯度指數n、頻率f以及阻尼損耗因子η對FGM梁頻散關系及能量響應的影響，討論了梯度指數n對FGM耦合梁能量傳遞系數的影響，分析了FGM耦合梁彎曲和軸向振動響應。

1 FGM梁的振動模型

1.1 材料特性

圖1為矩形截面FGM梁，梁的長寬高為l×b×h，建立如圖1所示的笛卡爾坐標系，材料在z方向按照冪函數形式分布

(1)

式中：P(z)為材料特性，包括彈性模量、質量密度和阻尼損耗因子等；Rp=Ptm/Pbm，Ptm和Pbm分別為FGM梁的頂層和底層的材料特性；n(n≥0)為材料梯度指數，表示材料組成成分的體積分布；當n<1時，頂層材料占主導；當n=1時，材料在厚度方向上的變化是線性的；當n>1時，底層材料占主導。

圖1 矩形截面FGM梁示意圖Fig.1 Schematic diagram of rectangular cross-section FGM beam

1.2 梁中的波傳播

圖2(a)為受橫向點激勵F(x,t)=δ(x-x0)F0ejωt作用的FGM梁，將產生橫向振動。其中F0為激勵的振幅，ω為圓頻率，t為時間變量，j2=-1。參照Liu等的研究，基于Euler-Bernoulli梁理論，建立拉格朗日方程，再根據哈密頓原理，推導得到FGM梁的彎曲振動控制方程為

(2)

(3)

式中：w為梁的橫向位移；A為梁的橫截面面積；D1為拉伸剛度；D2為耦合剛度；D3為彎曲剛度；I1,I2和I3為慣性矩；E(z)為彈性模量；ρ(z)為質量密度。

圖2 單個FGM梁的振動Fig.2 Vibration of single FGM beam

圖2(b)為受軸向點激勵F(x,t)作用的FGM梁，將發生軸向振動。不考慮彎曲振動對軸向振動的影響，可得軸向振動控制方程為

(4)

式中，u為梁的軸向位移。

假設行波解，w(x,t)=Anejkbxejωt，u(x,t)=Bnejklx·ejωt，kb和kl分別為彎曲波波數和縱波波數。分別代入式(2)和式(4)，解齊次方程得

(5)

橫向位移和軸向位移的通解為

(6)

圖3為無限FGM梁中的波傳播示意圖。圖3(a)中彎曲波在FGM梁中有兩個傳播波和兩個倏逝波，圖3(b)中縱波包含兩個傳播波。倏逝波相對于空間呈指數形式衰減，傳播了幾個波長的距離后就可忽略不計。而在高頻情況下，波長遠小于結構尺寸，這意味著倏逝波僅在激勵點附近存在。

圖3 無限FGM梁中的波傳播Fig.3 Wave propagation in an infinite FGM beam

考慮結構阻尼時，E(z)變為E(z)[1+jη(z)]，η(z)為遲滯阻尼損耗因子。有效阻尼ηeff用以描述在厚度方向上變化的阻尼對功率耗散的影響

(7)

1.3 能量密度與功率流強度

能量密度W=Wp+Wk，Wp為勢能密度，Wk為動能密度。彎曲振動和軸向振動的時間平均能量密度〈W〉b和〈W〉l分別為

(8)

式中，〈·〉為時間平均；(·)*為取共軛；Re(·)為取實部。功率流強度為通過單位面積的功率。

彎曲振動和軸向振動的時間平均功率流強度〈I〉b和〈I〉l分別為

(9)

梁的時間平均輸入功率〈Pin〉為

(10)

式中，Y為激勵點的輸入導納

(11)

2 FGM梁的RETM模型

2.1 點源在自由場中的能量輻射

在使用RETM計算FGM梁振動響應之前，首先要明確RETM的有效域。開發RETM的初衷是用以解決阻尼較大時不滿足擴散場假設導致無法用SEA計算的問題，所以理論上RETM的有效域是寬于SEA的。根據文獻[18]，RETM相比SEA不需要對衰減系數和耦合強度進行限制，所以RETM的有效性條件為：子頻帶內的模態數N?1，模態重疊因子M?1。參照Bot等的研究，將N≥1和M≥1的共同部分視為RETM有效域。模態數用模態密度γ表示為N=γΔω，Δω為頻段帶寬；模態重疊因子定義為M=γηω，并且模態密度γ=L/(πcg)[19],cg=dω/dk為群速度。此外，根據式(5)不難推導得到：軸向振動的群速度等于相速度，彎曲振動的群速度與相速度正相關，相速度cp=ω/k。綜上，相同頻率下，波數越大，群速度越小，導致模態密度越大，進而模態數和模態重疊因子越大，即波數越大結構越容易滿足RETM的使用條件。對于耦合梁，需要滿足Ni?1，Mi?1，i=1,2。

RETM的基本假設：① 均勻線性振動系統，且系統處于穩態振動階段；②遲滯小阻尼模型；③不考慮倏逝波引起的近場效應；④不考慮波傳播過程中的相互干涉。

圖4為FGM梁中無窮小單元的能量守恒。根據假設①，在穩態情況下，FGM梁中無窮小單元的輸入功率等于輸出功率與耗散功率之和

div·I+Pdiss=Pinj

(12)

式中：div·為散度算子；Pdiss為耗散功率；Pinj為輸入功率。根據假設②，遲滯阻尼模型中的耗散功率和能量密度成正比

Pdiss=ηωW

(13)

圖4 FGM梁中無窮小單元的能量守恒Fig.4 The energy conservation of infinitesimal element in FGM beam

將I=cgW和式(13)代入式(12)得

(14)

式中，m=ηω/cg為能量衰減系數，對于FGM梁，阻尼用式(7)中的有效阻尼。

令r=x-x0，式(14)的齊次解為

I=Ce-m|r|

(15)

所以，功率流強度為

(16)

將式(14)左右兩邊從負無窮到正無窮積分，圖5描述了積分域，分為3個部分：(-∞,+ε)；(ε,+∞)；(-ε,ε)，ε→0(ε>0)其中前兩部分積分為零，因為在這兩個域內沒有能量輸入，即

(17)

求得C=Pin/2，進而功率流強度為

(18)

相應的能量密度為

(19)

2.2 單一FGM梁的RETM

根據假設④，忽略波傳播過程中的相互干涉，域內點的總能量密度遵循線性疊加原理。總波場由內部實源產生的直接場和邊界虛源產生的反射場疊加而成。圖6為單個FGM梁RETM示意圖，梁上任意一點M的能量由激勵點處的實源ρS引發的直接場和兩端點處的虛源σA和σB引發的反射場共同產生。結合式(18)和式(19)，M點的功率流強度和能量密度為

(20)

圖6 單個梁的RETM示意圖Fig.6 RETM schematic diagram of a single beam

式中，ρS=Pin/2。RETM只需求解出邊界虛源強度就可以描述梁中任意點的功率流強度和能量密度，而邊界虛源強度可根據邊界處的功率流平衡條件求解。邊界處的功率流平衡為

(21)

解得

(22)

(23)

將式(22)代入式(20)，梁上任意一點的功率流強度和能量密度即可求得。

2.3 FGM耦合梁的RETM

計算耦合梁的振動響應時，需要對耦合處的能量傳遞系數進行求解。圖7為θ角度耦合的兩個半無限梁，其振動包括彎曲振動和軸向振動的耦合，耦合處的能量傳遞系數為θ的函數。In為入射波，Re為反射波，Tr為透射波，下標b為彎曲波，l為縱波，e為倏逝波。梁1和梁2的位移為

(24)

根據耦合處的位移連續及力的平衡條件可解出式(24)中各個波的幅值[RebReb,eRelTrbTrb,eTrl]。規定當輸入為彎曲波時，Inl=0；當輸入為縱波時，Inb=0。各波的功率為

(25)

則耦合處的能量傳遞系數為

(26)

式中：Pc,i為梁i中c型入射波的功率；Pd,ij為梁i中入射波傳遞到梁j中產生的d型波的功率；τcd,ij為梁i中的c型入射波在梁j中產生的d型波的能量傳遞系數；當i=j時為能量反射系數，當i≠j時為能量透射系數，i,j=1, 2，c, d=b, l。

圖7 θ角度耦合的兩個半無限梁Fig.7 Two semi-infinite beams coupled with angle θ

圖8為耦合梁的RETM示意圖，在耦合點B處，分別包含梁1和梁2的邊界虛源σB1和σB2。RETM理論中每個子結構內部的能量密度和能量流分布只由該子結構內部的實源和虛源決定，與其他子結構內部的虛源無關，且彎曲波和縱波相互獨立。梁1和梁2中的任意點M的功率流強度和能量密度為

(27)

邊界處的功率流平衡

(28)

圖8 耦合角度為θ的耦合梁RETM示意圖Fig.8 RETM schematic diagram of a coupled beams with a coupling angle of θ

3 數值算例分析

將WPA求解的能量響應作為解析解，用數值模擬驗證RETM求解FGM梁的準確性。數值模擬中用到的材料組分如表1所示，頂層為鋼，底層為氧化鋁。FGM梁兩端是簡支的，在梁的中部施加簡諧的點激勵。首先討論材料梯度指數n、頻率f以及阻尼損耗因子η等變量對單個FGM梁振動響應的影響，然后考察耦合角度θ和n對FGM耦合梁能量傳遞系數的影響，最后分別計算FGM耦合梁彎曲振動和軸向振動的能量響應。在描述能量響應時，取能量密度的參考值為1×10-12J/m。

表1 FGM梁底層和頂層的材料特性

3.1 單一FGM梁

圖2(a)所示的單個FGM簡支梁，梁的長寬高：L×b×h=1.000 m×0.001 m×0.001 m，在x=x0處受到橫向簡諧點激勵。

圖9給出了不同梯度指數n下FGM梁彎曲波波數隨頻率f的變化情況。當n一定時，f越大，波數越多。因為波數定義為單位波長內完整波的數量，頻率越大波長越短，因此波數越多。當f一定時，n越大，波數越少。因為n越大，底層材料氧化鋁占比越大，彈性模量越大，則梁的剛度越大，從而波數越少。此外，由圖9可以看出，高頻情況下單一FGM梁彎曲波數的量級為1×102。傳統FEA需要對結構進行單元離散，且要求每個波長至少用6個單元描述，這就需要大量的單元離散。因此，只需要兩個自由度的RETM的小計算量優勢就體現出來了。

圖9 不同梯度梯度指數n的FGM梁的波數隨頻率的變化Fig.9 Variation of wave number with frequency of FGM beams with different gradient index n

圖10給出了梯度指數n和η對輸入功率Pm的影響，頻率f=10 000 Hz。當f和n一定時，η越大，Pm越小，但是η的影響較小；當f和η一定時，n越大，Pin越大，且當n增大到一定值時，Pin幾乎不隨n的改變而改變。

圖10 梯度指數n和η對輸入功率Pin的影響，f=10 000 HzFig.10 The influence of gradient index n and η on the input power Pin, f=10 000 Hz

圖11給出了梯度指數n和f對Pin的影響，阻尼ηim=ηbm=0.05。當η和n一定時，f越大，Pin越小。

圖11 梯度指數n和f對輸入功率Pin的影響,ηtm=ηbm=0.05Fig.11 The influence of gradient index n and f on the input power Pin, ηtm=ηbm=0.05

圖12給出了梯度指數n對能量衰減系數m的影響，阻尼ηtm=ηbm=0.05，頻率f=10 000 Hz。當f和η一定時，n越大，m越小，且當n增大到一定值時，Pin幾乎不隨n的改變而改變。

圖12 梯度指數n對能量衰減系數m的影響，ηtm=ηbm=0.05Fig.12 The influence of gradient index n on the energy dissipation coefficient m, ηtm=ηbm=0.05

圖13給出了梯度指數n為1的單一FGM梁彎曲振動情況下在頻率和阻尼平面的RETM有效域，是由臨界模態數線和臨界模態重疊因子線圍成的半無限有效域。而由圖9，n越大波數越小，進而越難滿足RETM的使用條件，即當n增大，有效域的臨界模態數線將右移，臨界模態重疊因子線將上移，反之亦然。

圖13 單一FGM梁在頻率和阻尼平面的有效域，n=1Fig.13 Validity domain of RETM for single FGM beam in frequency and damping plane，n=1

圖14 單個FGM梁的能量響應水平Fig.14 Energy response level of a single FGM beam

圖15給出了不同梯度指數n的FGM梁能量密度分布，阻尼和頻率同圖14的設置。由圖15(a)可以觀察到，所有情況下，RETM結果和WPA結果吻合都較好，從而驗證了RETM求解FGM梁高頻振動能量響應的準確性。圖15(b)給出不同n下的RETM解，可以看出n越大的 FGM梁對應的能量衰減幅度越小，這符合圖12的規律：當η和f一定時，n越大，m越小。此外，除了激勵點附近，n越大能量密度越大，結合圖10和11，n越大Pm越大，激勵點附近由于衰減較少能量接近輸入能量，而隨著傳播距離的增加阻尼的影響漸漸體現出來。

圖15 不同n的FGM梁能量響應水平Fig.15 Energy response level of FGM beams with different n

圖16給出了3組不同和下的FGM梁的能量響應，梯度指數n=1。由圖16(a)和圖16(b)知，當f一定，η越大，能量損耗越大，以致邊界處的入射波和反射波幅值減小，波的傳播路程減短，干涉波幅值減小，所以圖16(b)中WPA解在激勵點附近的振蕩不如圖16(a)明顯。對比圖16(b)和圖16(c)，當η一定，f越大，能量損耗越大，圖16(c)同樣也有WPA解在激勵點附近振蕩幅度較小的規律。這是因為m=ηω/cg，η和f越大，m越大，進而邊界處能量越小，WPA解的振蕩幅度越小，RETM解和WPA解吻合得越好。

圖16 不同η,f下FGM梁能量響應水平，n=1Fig.16 Energy response level of the FGM beam for different η and f, n=1

3.2 FGM耦合梁

考察圖7所示的半無限FGM耦合梁，截面尺寸均為b×h=0.001 m×0.001 m，梁1、梁2的材料梯度指數相同且均為1，結構阻尼為0，頻率為10 000 Hz。

圖17為分別入射彎曲波和縱波時，能量傳遞系數隨θ的變化。可以看出，總的能量傳遞系數恒為1，這符合能量守恒。對比圖17(a)和圖17(b)，兩幅圖分別有兩條相對應的曲線是完全一樣的，即τbl，11=τlb，11,τbl，12=τlb，12，這符合互易性。在圖17(b)，當耦合角度接近90°時，τll，11達到最大，而τll，12接近于0。

圖17 不同耦合角度的能量傳遞系數，n1=n2=1Fig.17 Energy transfer coefficients for various coupling angles, n1=n2=1

圖18給出了彎曲波入射時的能量傳遞系數隨和的變化：①τbb，11隨著θ的增大而增大；②τbb，12隨著θ的增大呈先減小后增大的趨勢；③τbl，11隨著θ的增大呈先增后減的趨勢；④τbl,12隨著θ的增大呈先增后減的趨勢。n的影響主要集中在0～1，當n增大到一定程度時，能量傳遞系數幾乎不隨n的改變而改變。

圖19為加載橫向點激勵的FGM耦合梁，梁1和梁2 的尺寸：Li×bi×hi=1.000 m×0.001 m×0.001 m，梯度指數：ni=5。在梁1的x0=0.5 m處受到橫向簡諧力，耦合角度θ=π/3。

圖20為該耦合梁在頻率和阻尼平面的RETM有效域，圖20中臨界模態數線和臨界模態重疊因子線均只有一條線，這是因為梁1和梁2的材料、尺寸均相同。相比于彎曲振動的RETM有效域，軸向振動要求頻率更高、阻尼更大，因為相同頻率下，縱向波波數遠小于彎曲波波數。耦合FGM梁的RETM有效域需要以軸向振動的有效域為標準。

圖18 能量傳遞系數隨n和θ的變化，f=10 000 HzFig.18 The effect of n and θ on energy transfer coefficients, f=10 000 Hz

圖19 加載橫向點激勵的FGM耦合梁Fig.19 FGM coupled beams loaded by a lateral point force

圖20 FGM耦合梁在頻率和阻尼平面的RETM有效域Fig.20 Validity domain of RETM for FGM coupled beams in frequency and damping plane

圖21分別給出了FGM耦合梁的彎曲振動和軸向振動能量響應，結構阻尼損耗因子：ηtmi=ηbmi=0.1，i=1,2，激勵頻率f=20 000 Hz，可以看出RETM解和WPA解析解吻合較好。由于梁1與梁2耦合角度不為零，在耦合處存在能量的躍變現象。圖21(a)中耦合點附近彎曲振動能量的振蕩只存在于梁1，而圖21(b)，梁1、梁2的耦合處附近均存在明顯振蕩。這是由于彎曲波的波數較大，沿傳播路徑的能量衰減較大，導致梁2右端的反射波無法回傳到耦合處，因此梁2的耦合處附近沒有這種能量振蕩。由于相同頻率下，縱波的波數比彎曲波的波數少，沿傳播路徑的能量衰減較小，邊界處的反射波能夠傳到耦合處，在梁1梁2的耦合處附近均存在明顯振蕩。

圖21 FGM耦合梁的能量響應水平Fig.21 Energy response level of FGM coupled beams

4 結 論

引入RETM求解FGM梁的響應，并采用WPA計算的解作為精確解對比來驗證RETM求解FGM梁高頻響應的準確性。給出了FGM梁的RETM有效域，分析了梯度指數n、結構阻尼損耗因子η以及頻率f對單個FGM梁能量密度的影響，討論了梯度指數n和耦合角度θ對FGM耦合梁能量傳遞系數的影響，分別計算了FGM耦合梁的彎曲振動響應和軸向振動響應。計算結果表明：

(1) 梯度指數n越大，RETM有效性條件越難滿足，表現為臨界模態數線右移和臨界模態重疊因子線上移，此外耦合FGM梁的RETM有效域要以軸向振動的有效域為標準。

(2)n越大，能量衰減幅度越小；η和f越大，能量衰減幅度越大。能量衰減幅度越大，WPA解的振蕩幅度越小，RETM解與WPA解吻合越好。

(3) 總的能量傳遞系數恒為1，這符合能量守恒，且能量傳遞系數滿足互易性。能量傳遞系數受θ和n共同影響，n的影響主要集中在0～1。

(4) 用RETM求解的FGM耦合梁的彎曲振動響應和軸向振動響應均可與WPA解吻合，說明了RETM可以用于求解FGM耦合梁模型，拓展了RETM的使用范圍。并且發現在同一耦合系統中，相同頻率下，縱波沿傳播路徑的能量衰減較彎曲波小。