一種可重構3?RRR 平面并聯機構及其工作空間分析

徐 帥，尤晶晶,2，葉鵬達，李成剛，沈惠平

（1.南京林業大學機械電子工程學院，南京 210037；2.南京航空航天大學江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室，南京 210016；3.南京航空航天大學機電學院，南京 210016；4.常州大學機械與軌道交通學院，常州 213016）

“Robots”一詞最早誕生于20 世紀20 年代，作為20 世紀最偉大的發明之一，機器人在生產生活及其他各個領域的應用已經成為一個國家的重要發展目標。智能機器人作為其中的一種典型產物，在滿足自主設計、制造的同時，又要能完成復雜危險的任務，如焊接［1］、智能感知［2］和飛行器模擬［3］等。與此同時，傳統并聯機構，因機構構型的形式單一、功能簡單且適應的工作環境相對固定，已經很難滿足任務的需求［4］。而環境適應能力強與構型可變的重構并聯機構，成為了學者們研究的熱點問題［5］。當前，實現并聯機器人重構的方法有4種：（1）切換主動與被動副模式［6］；（2）施加關節運動約束［7］；（3）改變運動副軸線方向［8］；（4）鎖合運動副［9］。基于此，本文采用了方法（4）的思想，設計了一種可重構支鏈，從而實現機構自由度或運動特性的改變。然而，并聯機構結構上存在支鏈干涉和運動副轉角約束的限制，導致動平臺轉動能力差和環境適應能力弱等問題。少自由度并聯機器人由于驅動少、結構緊湊和結構獨特等，吸引了國內外學者的研究［10］，其中，三自由度平面并聯機構最為典型。工作空間可以反映出機構的運動性能，是進行機構設計、運動規劃的重要依據，也是進行尺度綜合的基礎。因此，研究并聯機器人的工作空間具有十分重要的意義。

目前，數值法與迭代搜索法是求解工作空間常用的兩種方法。文獻［11］提出了一種具有平轉解耦特性的3 球副移動副球副+3（球副移動副-虎克鉸鏈）（3 spherical-joint，prismatic-joint，spherical-joint+3（spherical-joint，prismatic-joint-universal-joint），3SPS+3（SP-U））六自由度并聯機構，結合柔性鉸鏈回轉空間及支鏈行程范圍，采用邊界離散點搜索法，得到了機構的位置和姿態可達工作空間。文獻［12］以4-SPS并聯機構為研究對象，運用數值法求解并繪制了機構的工作空間。文獻［13］提出了一種新型可重構3-RRR球面并聯機構，利用一個簡單的4桿機構，結合桿長約束條件繪制了機構的工作空間。文獻［14］提出一種可繞軸線轉動的2-移動副可繞轉軸線的轉動副球副+移動副轉動副可按需要工作或鎖定 的 移 動 副（2-prismatic-joint r-revolute-joint spherical-joint+prismatic-joint revolute-joint locked prismatic-joint spherical-joint，2-PrRS+PR（P）S）變胞并聯機構，采用Monte Carlo 法得到該機構的工作空間點云圖。文獻［15］基于機構結構降耦原理，提出了一種1-轉動副轉動副轉動副轉動副+2-轉動副轉動副轉動副（1-revolute-joint revolute-joint revolute-joint revolute-joint+2-revolute-joint revolute-joint revolute-joint，1-RRRR+2-RRR）并聯機構，建立了運動學正解數學模型，基于邊界離散法得到了機構的工作空間。

本文提出了一種新型可重構三自由度平面并聯機構。首先，利用運動副的鎖合模式，實現3-RPR 型與3-RRR 型機構之間的切換；然后，以3-RRR 構型為例，基于方位特征（Position and orientation characteristic，POC）方程的并聯機構拓撲設計方法［16］，對該構型進行了拓撲特性分析。其次，基于運動學逆解模型，繪制了3-RRR 機構的位置工作空間。最后，基于桿長配比法，分析桿長行程變化對機構工作空間的影響。

1 三自由度構型設計

典型3-RPR 平面并聯機構的結構簡圖和模型圖，分別如圖1、2 所示。它分別由正三角形形狀的動平臺0、定平臺1 以及3 條結構相同的有序單開鏈（Single open chain，SOC）構成，且3 個分支運動鏈通常采用等邊三角形對稱布置，其中，每條SOC又由1 個移動副與固結于兩端的轉動副串聯而成，可表示為-A⊥P⊥C?（其中，⊥表示垂直，A、C為轉動副，P為移動副）。

圖1 3-RPR 平面并聯機構結構簡圖Fig.1 Schematic diagram of 3?RPR planar parallel mechanism

圖2 3-RPR 平面并聯機構結構模型Fig.2 Structural model of 3-RPR planar parallel mechanism

為了實現機構的重構，本文提出了一種可實現運動副鎖合的可重構支鏈。不失一般性地，所提出的可重構支鏈驅動方式是依靠電機驅動，為了突出機構學原理，這里省略了驅動部件改為人為切換，簡化后的結構模型如圖3 所示。它主要由連桿1 與連桿2 兩部分組成，其中，連桿2 主要由內套筒、外套筒和轉換套筒構成［17］。

圖3 可重構支鏈結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of reconfigurable branch chain structure

將連桿1 放置在內套筒的U 形插槽中，并通過螺栓和螺母連接，內套筒與外套筒通過螺紋進行傳動。外套筒右端設置有凹槽，轉換套筒左端設置有凸緣，凸緣放置在外套筒凹槽處。轉換套筒與外套筒之間放置深溝球軸承，以保證相互之間獨立轉動，采用擋環進行軸向定位。

所設計的可重構支鏈具有2 種運動副模式：當連桿1 與內套筒通過螺栓與螺母緊配合時，旋轉外套筒，帶動轉換套筒一起移動，此時支鏈為移動副模式。當連桿1 與內套筒松配合時，此時支鏈為轉動副模式。

綜上所述，將兩種運動副模式分別應用在支鏈上，可得兩類三自由度平面并聯機構。即3 條支鏈同時設置為移動副模式，可得到一種3-RPR 平面并聯機構，結構簡圖如圖1 所示；同理，設置為轉動副模式，可得到一種3-RRR 平面并聯機構，結構簡圖如圖4 所示。

圖4 可重構三自由度平面并聯機構簡圖Fig.4 Schematic diagram of reconfigurable 3-DOF planar parallel mechanism

區別于一般的3-RPR 平面并聯機構，該機構不局限于一種工作模式。當機構運動出現奇異或工作環境發生改變，可轉換為其他構型解決上述問題：如3-RRR 構型。

傳統3-RRR 機構的桿件為固定長度，本文設計的機構的從動桿桿長可在一定的范圍內變動，即為一種移動副裝置。以構型3-RRR 平面并聯機構為例，詳細分析機構的拓撲結構特征及工作空間。

2 3?RRR 構型的拓撲結構分析

方位特征集方法運算較為簡單，易操作且物理意義明確，適用于無過約束機構和一般過約束機構的拓撲結構設計。基于機構的拓撲結構分析，可確定機構連續運動的拓撲特征，這些特征也是與運動學性能密切相關的非線性特征，如機構的POC、自由度（Degree-of-freedom，DOF）、耦合度等［18］。

2.1 機構的POC 集

用拓撲學符號來描述機構，可將機構中3 條支鏈用3 個單開鏈支路3-SOC｛?R|R|R-｝表示，即可通過支路中運動副的維數來反映平面機構的POC 集。

式中：SM為運動副的POC 集；JiM為第i個運動副的POC 集；m為運動副的個數；PM為并聯機構的POC 集；v為獨立回路數；bMj為第j條支鏈末端的POC 集。

轉動副的POC 集為R M=[t1；r1]，據此，建立回路、機構的 POC 集。 對于支鏈 SOC1｛-A1|B1|C1-｝，有

同理，SOC2與SOC3的POC 集分別為

進一步，確定機構的POC 集為

2.2 機構的DOF

具有v個獨立回路的機構可視為由（v+1）條支鏈組成，因此可確定機構v的個數為2。進一步，可確定該回路與機構的自由度。確定SOC1與SOC2組成的第1 回路LOOP1：｛-A1|B1|C1|C2|B2|A2-｝的自由度為

由LOOP1與SOC3構成的第2 回路LOOP2：｛-A3|B3|C3-｝，可確定機構的自由度為

2.3 機構的耦合度

根據有序SOC 的機構組成原理［19］，該機構的兩個單開鏈回路約束度，可通過回路1、2 分別求出。

機構的耦合度為

這樣，該機構包含1 個SKC，機構的耦合度κ=1。

2.4 位置反解模型

2.4.1 機構的坐標系建立及其參數標注

建立機構的坐標系及其參數的標注，如圖4 所示。該機構定平臺1 上3 個頂點處的轉動副幾何中心分別記作A1、A2和A3，動平臺0 上3 個頂點處的轉動副幾何中心分別記作C1、C2和C3。P為動平臺外接圓的圓心，其半徑為a；O為定平臺的外接圓圓心，其半徑為b，O?xy為全局坐標系，x軸平行于lA1A2，y 軸垂直于lA1A2。其姿態角γ為lC1C2與x軸正向的轉角，驅動桿桿長Ai Bi=l1（i=1，2，3，下同。），從動桿桿長Bi Ci=l2，θi、βi分別為機構的驅動角與從動角。

2.4.2 運動學逆解

平面機構運動學逆解，就是利用機構的姿態反求各桿件的位置和姿態［20］。對于3-RRR 平面并聯機構來說，即用表示動平臺位姿的3 個輸出參數xp、yp及γ，求輸入角θi。已知定平臺的邊長，由幾何關系可確定A1、A2、A3點在定坐標系中的坐標為

C1、C2、C3在定坐標系中分別表示為

由于3-RRR 并聯機構動平臺ΔC1C2C3在平面x y內運動，其系統結構參數具有對稱性，因此選取一條支鏈對其分析，其他兩條支鏈原理上相同。對于第一條支鏈，根據閉環幾何約束條件可得到

將式（12）分別在x、y軸上投影展開為

已知A1、C1及P點的坐標，可將式（13）進一步化簡為

式中

兩個約束方程存在兩個未知數θi、βi，將式（14）等號兩邊平方，并作相加處理，可消去βi得到方程為

進一步，求解式（16）可得

至此，已構建了3-RRR 平面并聯機器人的位置反解模型。

3 3?RRR 構型的工作空間分析

并聯機構的工作空間是指動平臺所能運動到空間上所有軌跡點的集合［21］。傳統分析機構工作空間的方法，基于機構的運動學逆解，采用二維搜索法得到機構的位置工作空間圖，其方法簡單、便捷。基于此，結合桿長行程變化對工作空間的影響，研究工作空間的幾何特性。

3.1 支鏈的工作空間

假設第i條分支運動鏈在動平臺中心處斷開，此時的運動鏈可以看作串聯機器人，支鏈末端點在工作空間上的點集，稱為支鏈工作空間。選取第1支鏈作為支鏈工作空間的分析，如圖5 所示。其中，桿長lB1C1可在一定的范圍內運動。

以A1為中心作支鏈掃過的區域，記為第1 類支鏈工作空間，如圖6（a），其外半徑為

內孔半徑為

圖5 第1 分支鏈Fig.5 The first branching chain

顯然，當桿長l1≤l2時，機構工作空間不形成空洞，而當A1副的轉角受到約束時，子工作空間形成1 個扇形區域，記為第2 類支鏈工作空間，如圖6（b）。

圖6 支鏈工作空間Fig.6 Branched chain workspace

3.2 位置工作空間

機構動平臺有3 個輸入參數xp、yp及姿態角γ。當γ為定值時，只考慮支鏈1 的約束，參考點P的運動范圍可由支鏈工作空間沿lC1P移動得到；當考慮3 條支鏈的約束時，滿足3 條支鏈工作空間分別沿著Cj P（j=7，8，9）平移，可得到3 條支鏈工作空間的交集部分，即為機構的位置工作空間，設置動平臺邊長a=160 mm，定平臺邊長b=300 mm，如圖7 中綠色區域。

3.3 桿長行程分析

支鏈的桿長行程變化，對應的位置工作空間形式存在一定的差異。在此基于運動學逆解模型，選取γ=0 rad，分析桿長對機構位置工作空間的影響。

（1）主動桿l1與從動桿l2不相等。設置l1=120 mm，l2=160 mm，得到的位置工作空間如圖8所示。

（2）主動桿l1與從動桿l2相等。首先，設置l1=l2=160 mm，得到的位置工作空間如圖9（a）所示；接著，設置l1=l2=120 mm，得到的位置工作空間如圖9（b）所示。

圖7 3-RRR 機構位置工作空間Fig.7 3-RRR mechanical position workspace

圖8 第1 類位置工作空間Fig.8 The first kind of position workspace

圖9 第2 類位置工作空間Fig.9 The second kind of position workspace

由圖9（a）顯示，l1、l2的桿長分別為160 mm 時，機構的工作空間大于第1 類機構位置工作空間。由圖9（b）顯示，l1，l2的桿長分別為120 mm 時，機構的位置工作空間最小。

（3）設置主動桿l1=120 mm，120 mm≤l2≤240 mm。鑒于從動桿桿長行程較大，在不影響桿長變動范圍內，分別選取桿長的最小值、中間值及最大值作為研究對象，畫出對應的位置工作空間，分別如圖10（a～c）所示。

圖10 第3 類位置工作空間Fig.10 The third kind of position workspace

從圖10 可以看出，在120 mm≤l2≤180 mm時，機構的位置工作空間隨著從動桿桿長的增大而增大；在180 mm≤l2≤240 mm 時，機構的位置工作空間隨著從動桿桿長的增大而減小。結果表明，當從動桿桿長選取為主動桿桿長的1.5 倍時，此時3-RRR 并聯機構的位置工作空間最大。

4 結論

本文通過設計一種可重構支鏈，提出了一種新型可重構三自由度平面并聯機構，并計算分析了其工作空間。主要研究結論如下：

（1）實現了3-RPR 型與3-RRR 型平面并聯機構之間的切換，為解決傳統三自由度平面并聯機構桿長尺寸固定、構型單一等問題，提供了一種新的方案。

（2）以3-RRR 型平面并聯機構為例，分析了機構重要的拓撲指標值；建立機構的運動學逆解，并研究了桿長行程變化對工作空間的影響。

（3）基于運動學逆解模型，分析桿長行程變化對位置工作空間的影響。結果表明，當從動桿桿長選取為主動桿桿長的1.5 倍時，并聯機構的位置工作空間最大。