利用頻譜相位最大值自適應定位全息正一級頻譜

黨長營，李建素*，趙鵬飛，許 泰

（1.中北大學 先進制造技術山西省重點實驗室，山西 太原 030051；2.中北大學 機械工程學院，山西 太原 030051）

1 引 言

數字全息顯微術具有非侵入、全場、實時等優勢，廣泛地應用于MEMS檢測［1］、聚合物生長［2］、疾病診斷［3-5］和粒子跟蹤［6-7］等領域。數字全息顯微術的光路結構包括同軸全息和離軸全息。為了消除再現像中的零級衍射像和共軛像，同軸和離軸全息常用的方法分別是相移技術［8］和頻譜濾波技術［9-12］。其中，相移技術利用高精度壓電陶瓷實現參考光波的相移，能夠很好地去除零級衍射像和共軛像，但易受環境干擾，且受實時性要求的限制。頻譜濾波技術通過提取全息正一級頻譜，實現零級衍射像和共軛像的消除，且僅需要一幅全息圖，因此頻譜濾波技術具有一定的優勢。在頻譜濾波技術中，準確地提取全息頻譜的正一級頻譜是實現全息測量的關鍵技術之一。

近年來，為了滿足數字全息自動測量的需求，自適應頻譜濾波方法被提出［9-14］。這種方法主要包括區域分割和區域定位兩部分內容。不同的自適應頻譜濾波方法基于不同的原理實現區域分割，但區域定位常常以先驗模板濾波窗或者已知參考光波傾斜角度作為先決條件［9-14］，來實現正一級頻譜的定位和自適應提取。由此可知，實現正一級頻譜的自適應和高精度定位是實現自適應和高精度的頻譜濾波的前提條件。2015年，Li等［12］提出一種基于區域增長的自適應頻譜濾波方法，該方法利用區域增長實現正一級頻譜的識別和提取。它利用全息頻譜振幅的極大值作為區域增長的中心，通過全息頻譜振幅的灰度直方圖獲得區域增長的閾值，從而實現全息頻譜振幅的正一級頻譜的提取。全息頻譜振幅存在兩個極大值：一個是正一級頻譜振幅的極大值，一個是負一級頻譜振幅極大值。因此，Li等根據已知全息測量系統參考光波的傾斜角度來選擇正一級頻譜振幅的極大值，進而實現正一級頻譜的自適應提取。2016年，He等［13］提出一種基于區域識別的自動頻譜濾波方法，利用全息頻譜振幅的全局閾值作為初閾值，通過該閾值對全息頻譜圖進行二值化，判斷二值化后圖像有幾個獨立區域。若區域個數不等于3，則以全局閾值的1%為步長的增長值，再次對頻譜圖進行二值化，以此方式迭代，直到將頻譜圖分割為三個區域，停止迭代。之后，利用先驗模板濾波窗來獲得目標區域，最終實現正一級頻譜的提取，并完成自適應頻譜濾波，但在該方法中，需要設定先驗模板來定位目標區域。2019年，Xiao等［14］提出一種基于卷積神經網絡的自適應頻譜濾波。首先消除零級衍射像，再截取全息頻譜圖的1/2，以此消除零級衍射像和共軛像的干擾；之后將截取的1/2頻譜輸入卷積神經網絡中，進而獲得二值化后的濾波模板；然后將二值化后的濾波模板和截取的1/2頻譜卷積，從而實現離軸全息顯微術中正一級頻譜的提取。該方法的第一步即是截取包含正一級頻譜的1/2頻譜圖，但并未明確指出提取左側1/2頻譜振幅的依據。基于上述分析可知，常用的自適應頻譜濾波方法過分依賴已知參考光波傾斜角度或者先驗模板濾波窗，來實現正一級頻譜區域的定位，并未徹底實現自適應頻譜濾波。

為了解決上述問題，本文理論分析了預放大全息的頻譜相位的分布特點，得到了頻譜相位的最大值與正一級頻譜區域的關系，提出了依據頻譜相位的最大值來定位正一級頻譜區域的思想，為全息自適應頻譜濾波提供一種可自適應判別和定位正一級頻譜區域的方法。

2 全息成像原理

數字全息顯微系統的坐標關系如圖1所示，物體經過顯微物鏡（MO）之后與平面參考光波在固態圖像傳感器（CCD）面干涉形成全息圖。

設相位型物體的光波分布為：

則通過顯微物鏡后的物光波分布可表示為：

式中：

qM表示物像關系，k是波數，k=2π/λ，λ是介質中的光波長；d1是物平面與顯微物鏡的距離，d2是顯微物鏡與CCD平面的距離。

圖1 預放大離軸全息坐標示意圖Fig.1 Schematic diagram of off-axis pre-magnification configuration

參考光波在CCD面的復振幅分布為：

式中：α和β分別是參考光波沿x和y軸的夾角。

物光波和參考光波在CCD面干涉形成的全息圖強度分布可表示為：

式中：*是共軛項。對式（4）兩邊做傅里葉變換可到全息圖的頻譜分布為：

3 頻譜相位最大值定位正一級頻譜

3.1 頻譜相位最大值分析

在數字全息顯微術中，對全息圖做傅里葉變換可得到一個復振幅，求其幅值得到全息圖的頻譜振幅；對該復函數求反正切函數、相位解包裹之后獲得連續相位，稱為全息圖的頻譜相位。

以像面全息為例，對全息頻譜相位進行分析，像面全息圖的強度分布為［16］：

式（7）由兩個強度項和兩個干涉項組成，其中干涉項包括一個二次相位因子，沿x和y方向的傾斜因子，以及一個相位常數。

對式（7）兩邊做傅里葉變換可得到像面全息圖的頻譜為：

式中：?為卷積符號。整理式（8）可得：

根據式（9）可得，頻譜的相位分布是二次相位函數與樣本傅里葉變換的卷積，平移量由決定。對式（9）求反正切，可獲得全息頻譜的相位分布為：

該頻譜相位是位于［-π，π］的主值區域中，可通過兩次離散余弦變換法［17］獲得連續的頻譜相位，并利用澤尼克擬合法［18］消除二次相位函數引入的二次相位因子。

全息頻譜的零級頻譜為δ函數，正一級頻譜和負一級頻譜是由二次相位函數、平移量函數和物體相位常數的傅里葉變換卷積而成的。其中，二次相位函數是顯微物鏡引入的二次相位因子的傅里葉變換。平移函數是參考光波引入的，目的是保證零級頻譜、正一級頻譜和負一級頻譜的分離，進而保證零級衍射像、實像和共軛像的分離。在全息頻譜相位中，零級頻譜為脈沖函數，正一級頻譜對應的（式（9）的第二項）相位值為正，因此頻譜相位的最大值必然處于正一級頻譜的中心；負一級頻譜對應的（式（9）的第三項）相位值為負。

綜上所述，可利用頻譜相位的最大值來定位正一級頻譜的中心，進而實現正一級頻譜區域的定位。

3.2 利用頻譜相位最大值定位正一級頻譜

根據全息的頻譜振幅特點，可利用圖像閾值分割法將頻譜振幅分為3個區域，從左到右依次設為R1，R2和R3，如圖2所示。這3個區域包括正一級、負一級和零級頻譜。其中，R2區域對應于零級頻譜，R1和R3為正一級或負一級頻譜，但具體的對應關系不能從頻譜振幅中識別出來。因此，常用的自適應頻譜濾波方法需要依賴已知參考光波傾斜角或者先驗模板濾波窗來實現區域R1或R3與正一級頻譜的對應，最后提取出正一級頻譜。

本文利用頻譜相位的最大值來定位正一級頻譜區域。首先，計算頻譜相位的最大值與頻譜振幅3個區域重心的距離，得到3個距離值；然后，判斷3個距離中最小距離所對應的區域，該區域即為正一級頻譜區域，從而實現正一級頻譜的自適應定位。

圖2 全息頻譜振幅分布示意圖Fig.2 Schematic diagram for distribution of spectral amplitude in digital holography

設頻譜相位的最大值坐標為Pmp（xmp，ymp），如圖2中星形符所示。設頻譜振幅的3個獨立區域的重心坐標為Ci（xi，yi），i=1，2，3，則R1，R2和R3區域的重心坐標分別為C1（x1，y1），C2（x2，y2）和C3（x3，y3），如圖2中圓圈所示。C1（x1，y1），C2（x2，y2）和C3（x3，y3）與Pmp的距離分別為D1，D2和D3，則Pmp與重心坐標Ci的距離Di可表示為：

式中Di的單位為像素。

設頻譜相位最大值點坐標與區域重心坐標距離的最小距離為Ddesired，則有：

式中min為求最小值函數。

由式（11）和式（12）可知，找到Ddesired，也就找到與點Pmp距離最近的區域，即找到了正一級頻譜所處的區域，從而完成正一級頻譜區域的自動定位，整個定位過程無須人工干預。

4 實驗結果及分析

預放大數字全息系統的實驗光路如圖3所示。He-Ne激光器發出的光經過λ/2波片和偏振分光棱鏡（PBS）分為兩束，一束經λ/2波片和擴束鏡（Expander2）擴束準直后作為參考光波（R）；另一束經擴束鏡（Expander1）擴束準直后直接照射物體并被顯微物鏡（MO）放大后作為物光波（O），物光波與參考光波經分光棱鏡合束后在CCD面干涉形成全息圖。M1和M2均為反射鏡。

圖3 預放大數字全息系統的光路Fig.3 Optical path of off-axis transmission digital holographic microscopy

以微孔陣列和相位臺階為樣本，獲得如圖4所示的全息圖及其頻譜圖。其中，微孔陣列的孔直徑為15μm、孔中心距為80μm、微孔深度為564 nm；相位臺階的長為105μm、寬為30μm、深度為360 nm。對微孔陣列和相位臺階的全息頻譜相位求最大值，得到兩樣本的頻譜相位最大值點，如圖4（b）中星形符標注，坐標分別為（172，78）和（185，175），如圖4（c）所示。在頻譜相位中找到的最大值點，即對應頻譜振幅中的正一級頻譜的中心位置，如圖4（c）的星形符號所示。

為驗證所定位的正一級頻譜的準確性，以常用自適應頻譜濾波方法［13］中的區域分割方法為例，進行區域分割之后，再利用頻譜相位最大值來定位和提取正一級頻譜，并進行數值重構。首先，利用全局閾值分步迭代法［13］將微孔陣列和相位臺階的全息頻譜振幅分割為3個獨立的區域，如圖5（a）所示。利用式（11）可獲得圖4（c）中的正一級頻譜中心點坐標與圖5（a）中的3個區域重心的距離，如表1所示。利用最小距離對應區域的邊界實現正一級頻譜區域的提取，如圖5（b）所示。在表1中，R1，R2和R3區域的重心坐標C1（x1，y1），C2（x2，y2）和C3（x3，y3），C3（x3，y3）與Pmp的距離分別為D1，D2和D3。

由表1可知，微孔陣列和相位臺階的兩個區域重心與頻譜相位最大值點的最小距離分別為0.5和7.2，均對應其頻譜的R3區域，也就是說微孔陣列的R3區域和相位臺階的R3區域為正一級頻譜。因此，可利用R3區域的輪廓提取正一級頻譜，之后采用角譜法進行數值重構，并利用澤尼克擬合方法消除相位誤差，最終得到微孔陣列和相位臺階的三維重構，如圖5（c）所示。

為了分析三維重構像的尺寸精度，取圖5（c）的一個橫截面如圖6所示。由圖6可知，微孔陣列的孔直徑為14.2μm、孔中心距為80.3μm、孔深度為554.9 nm、相應的高度標準差為8.6 nm。由此表明，本文方法測量微孔陣列的橫向誤差在1μm以內、高度標準偏差僅為1.5%；相位臺階長108.7μm、寬30.9μm、深353.3 nm，相應的高度標準差為15.1 nm。該方法測量相位臺階的橫向誤差為3.7μm、高度標準偏差為4.2%。從上述兩組實驗結果可知，利用本文方法定位正一級頻譜是準確的。最重要的是，利用該方法定位正一級頻譜區域后，自適應頻譜濾波方法不再依賴先驗模板濾波窗或參考光波傾斜角度等先驗條件，提高了頻譜濾波的自適應性。

圖5 頻譜濾波及三維重構像Fig.5 Spatial filtering and 3D reconstruction profiles

圖6 重構像的輪廓Fig.6 Reconstruction profile

進一步地，為了分析本文所提方法對測量分辨率的影響，以USAF1951分辨率板為樣本，比較了本文方法與先驗模板濾波窗［13］截取正一級頻譜法獲得的全息重構圖像。圖3中的顯微物鏡放大率為10倍、數值孔徑為0.2，本文實驗系統的橫向分辨率為1.54μm（Δx=0.61nmλ/N A），實驗結果如圖7所示（彩圖見期刊電子版）。圖7（a）記錄了分辨率板第6～9組的全息圖。圖7（b）中紅色濾波窗（Auto）為本文所提方法獲得的濾波窗、藍色圓形濾波窗（MB）為先驗模板濾波窗。對以上兩種濾波窗截取的正一級頻譜進行數值重構，獲得的重構圖像如圖7（c）和7（d）所示。從圖中可知，分辨率板的第6和7組靶線清晰，能被分辨出來。在圖7（c）中，第8組第2單元靶線，即線寬為1.74μm能被分辨，如圖7（e）所示。而在圖7（d）中，第8組第2單元靶線卻不能被分辨，如圖7（f）所示。為了更清晰地比較重構圖像的質量，圖8給出了分辨率板重構圖像中第8組第2單元的靶線輪廓圖。實驗結果表明，本文方法的分辨率達到1.74μm，而利用先驗模板濾波窗僅能分辨第8組第1單元的靶線，線寬為1.95μm。本文方法獲得的重構像的分辨率更逼近實驗系統的分辨率（1.54μm）。需要說明的是，由于先驗模板濾波窗不同，獲得的重構結果也會不同。綜上所述，本文方法有效地避免了人為干擾因素的影響，能夠自適應地獲得全息重構圖像，且重構圖像的分辨率逼近實驗系統。

圖7 USAF1951分辨率板的重構結果：（a）全息圖；（b）本文方法和先驗模板濾波窗，Auto代表本文所提的自適應濾波窗，MB代表先驗模板濾波窗；（c）自適應頻譜濾波窗獲得的三維重構圖像；（d）先驗模板濾波窗獲得的三維重構圖像；（e）（c）圖的部分放大圖；（f）（d）圖的部分放大圖Fig.7 Reconstruction images of USAF 1951 resolution chart：（a）Hologram；（b）Filtering windows，MB and Auto represent filtering windows of the prior template filtering and adaptive spatial filtering of this paper，respectively；（c）and（d）are the reconstructed intensity images of adaptive spatial filtering and the prior template filtering，respectively；（e）Enlarged region labeled in（c）；（f）Enlarged region labeled in（d）

圖8 分辨率板第8組第2單元重構靶線的一維輪廓Fig.8 One-dimensional intensity profiles of element 2 of group 8 in reconstructed intensity images

5 結 論

本文對全息頻譜進行了理論分析，通過全息的頻譜相位的理論分析及其頻譜相位和頻譜振幅的分布特點，提出了利用頻譜相位的最大值定位正一級頻譜區域的方法。通過微孔陣列和相位臺階的重構實驗，得到了微孔陣列的高度標準偏差僅為1.5%；相位臺階的高度標準偏差為4.2%，證明了本文方法能夠精確地定位正一級頻譜區域。此外，通過USAF1951分辨率板的重構實驗，論證了本文方法獲得的重構圖像比基于先驗模板濾波窗獲得的重構圖像的質量更好，分辨率達到1.74μm。本文方法解決了自適應頻譜濾波區域定位時依賴先驗模板濾波窗或者參考光波傾斜角的問題，避免了人為因素帶來的誤差影響，為全息自適應頻譜濾波及自適應測量等提供了方法和數據支撐。