巧用多元表征，優化初三數學復習課教學

[摘要]復習課是初中數學教學的重要課型之一，如何優化初三數學復習課教學是一線教師的不懈追求.據長期的課堂觀察，教師容易誤入高密度、低思維的刷題圈套，種種低效現象難以保證復習效果.文章以“開放問題，多元表征;基于表征，優化知識結構;例題變式，揭示本質;領悟題魂，感悟升華”的課堂教學模式，闡述了用多元表征優化初三數學復習課教學模式的建構.

[關鍵詞]初三數學;多元表征;復習課

問題提出

《義務教育數學課程標準》提出數學教育既要使學生掌握必需的數學知識和技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可代替的作用[1].中考命題以數學能力立意，考查基本知識、基本技能、基本思想、基本經驗，既關注學生思維水平，也關注思維特征，同時還關注學生分析問題和解決問題的能力.筆者秉持“數學教育要以理性思維育人”的教育思想，崇尚“數學教學要為思維而教”的教學觀[2].反觀初三數學復習教學實際，教師的初衷是以回顧知識、例題講解、鞏固練習的方式開展復習，但多數時候卻誤入高密度、低思維的刷題圈套，復習效果堪憂.

1.就題講題，思維過程被忽視

先講后練、先練再講是初三復習課的主旋律.一些教師在上復習課的時候要么從第一題按部就班地講到最后一題，把復習題僅僅當作一道題，長期往復，嚴重制約著初三數學復習質量的提升;要么一練到底，課的尾聲對答案，熱衷于以大量的練習來代替復習課，沒有考慮學生的認知水平，沒有考慮不同層次學生的需求，嚴重限制學生學習數學的積極性.一個看似簡單、常見模型的問題，或者數量關系并不復雜的問題，雖然教師反復講解，可學生還是似懂非懂，或者囫冏吞棗的接受，這也是題海戰術盛行的原因.這些課堂忽略了復習課的目的除了回顧知識形成的結構，更重要的是借助解題發展學生的數學能力，而這種就題論題、輕思維重結果的教學難以有復習效果.

2.缺少提煉，思維品質欠提高

思維品質表現為思維者善于深入地思考問題，能抓住問題的本質，同時也表現為思維者能依據條件的變化及時靈活調整思維方向，善于發現新的條件和因素[3].高效課堂一般是先鞏固梳理已學知識、技能，在此基礎上“補缺提高”，構建知識網絡圖式，基于構建問題鏈的教學策略發展學生的思維能力.雖然解題訓練是提升學生數學能力的必要手段，但是不少教師視題海戰為法寶，欠缺培養學生舉一反三、觸類旁通的能力，缺少方法提煉和歸類，忽略思維的靈活性和創造性，實在難以提高學生的數學思維品質.其實完全可以借助多元表征理解題意，通過一題多解、多題一解、一題多變等形式，在反思和總結中提煉解題策略，發展思維能力.

針對以上初三數學復習課低效的現象，筆者認為以“問題表征、多元表征、模式識別、解題遷移、形成抽象表征”的循環教學優化能力結構是非常必要的，以此發展學生能力，培養其數學思維.

教學建構

（一）借助多元表征構知識網絡，啟動思維

數學問題都是圍繞某些概念構成的，因此要理解數學問題，就要對問題涉及的核心概念做出合理的表征，教學的關鍵是喚醒學生頭腦中的意象，并對數學問題多元表征.這種表征是用某個對象符號代替不顯狀態的對象，用不同的語言揭示同一學習對象的多元屬性，促進學生對知識的深度理解.

在基礎知識的回顧時，教師往往僅羅列知識.這種做法，只是知識的再現，學生的知識結構并沒有得到優化.初三復習課要有效益，需要教師幫助學生回憶先前的知識和方法，只有在厘清基本概念和規則的基礎上，學生才能對數學知識進行深度學習.所以，在初三數學復習教學中的基礎知識回顧階段，教師需要貫徹落實深度學習理念，利用概念圖進行教學，將概念和規則看成一個整體視覺化表征，再現知識結構、外化規則和概念，促使學生理解材料的意義.基于視覺化學生能從多個感官通道深化數學概念及規則等的認知，以此完善學生的CPFS的認知結構.喻平教授提出一個數學概念C的所有等價定義的圖式，概念域、概念系、命題域、命題系（記為CPFS結構）是對數學認知結構的精確描述，它反映了命題系數學學習特有的心理現象和規律[3].把握數學知識內在的發展機理，通過教學設計使學生將數學知識在頭腦中合理建構，進一步形成合理的知識結構網絡，本環節控制在10分鐘以內.通常選用兩種模式進行.

模式1：知識陳述型.選用填空的形式，幫學生搭好知識回顧的腳手架.

模式2：問題解決型.設置若干練習，通過以題點知，達到復習和鞏固的目的.

例1（1）畫出相似三角形的基本圖形;（2）如圖1所示，在△ABC中，DE∥BC，你可以得到哪些線段和角的關系？（3）如圖2所示，要使△ABC∽△AED，可以添加哪些條件？

問題（1）畫出基本圖形的過程就是將文字轉化為圖形表征，該表征包含三個基本事實：“A型”圖、“X型”圖、射影定理概括圖，反映相似三角形問題的先行組織行為;問題（2）在于重現知識，能達到概念圖重構，將圖形表征轉為數學語言的文字表征，其知識點包括判定三角形相似的條件以及預備定理;問題（3）以開放題的形式呈現，激發學生興趣，同時也降低問題起點，提高學生的參與面，添加條件的過程就是檢驗圖形表征準確性的過程.通過這三個問題的學習，學生圖式表征、敘述表征、文字表征相互作用，使相似概念的發生有了支撐性心理技術，這樣的復習帶來的效益是“炒剩飯”所不能企及的.

（二）借助多元表征促進解題認知，引起思維碰撞

初三數學復習課程教學中，講與練是主旋律，占據課堂的大部分時間.若采用啟發式教學、變式教學（一題多變、一題多解、一法多用）等，對發展學生的思維是有效的.數學問題中的多元表征普遍存在[4].先以問題（變式）的提出，它指向對應的概念或規則，引導學生對問題表征，經歷問題的字面理解和問題的深層理解，借助多元表征，把問題的有關信息形式化，言語化表征問題的特征和數量關系，能將問題歸類并與大腦中的某種數學模式相匹配，通過問題變式探究，促進解題遷移，培養思維品質，借助問題的等價變換，弄清問題的實質和模式的內涵，達到抽象表征的目的，優化學生的能力結構.所以，在復習課上應是“以問題為出發點，經過多元表征，模式識別，解題遷移，形成抽象表征”這樣的循環過程，優化復習課的教學.

例2已知函數y=（k-2）x²-2x+k+1的圖像與x軸只有一個交點，求實數k的值.

1.問題變式：為了促進學生結合概念（規則）思考問題，對問題的結構、條件或結論變式，形成能促進學生多元表征的材料.

設計如下問題：

（1）對于函數y=（k-2）x²-2x+k+1，它是我們學過的哪種函數？

（2）何種函數在什么情況下與x軸只有一個交點.

（3）畫出圖像表達你的思考.

2.多元表征：通過問題變式，借助圖式理解題意，促進學生把問題的陳述轉換為解題的心理表征.分清已知、未知及元素之間的數量關系和空間形式，用必要的手段分析問題結構和意圖，用自己的話重新表述問題，為模式識別奠定基礎.

（1）啟發學生用草圖并結合語言化表征詮釋函數圖像與x軸只有一個交點.

（2）明確數量關系和空間形式，借助圖像和數學語言表征問題.

3.模式識別：借助多元表征對問題的深層理解，將問題與自己認知結構中的某種解題模式匹配.

根據圖式表征和數學語言表征，問題的不變的特征是函數圖像與x軸只有一個交點.從數的角度，就是方程0=（k-2）x²-2x+k+1只有1個實數解.從圖的角度，若是一次函數，則圖像必然與x軸只有一個交點;若是二次函數，則圖像頂點的縱坐標為0.由此讓學生體會涉及參數問題的分類討論思想.

4.解題遷移：在模式識別的基礎上，學生合作或獨立解決問題.要培養學生的思維品質，還需要變式教學（一題多變、一題多解、一法多用）.

變式1：已知函數y=（k-2）x²-2x+k+1的圖像與x軸只有一個交點，且在x軸的正半軸上，求實數k的值.

變式2：已知函數y=（k-2）x²-2x+k+1的圖像開口向下，與x軸只有一個交點，且在x軸的正半軸上，求實數k的值.

變式3：已知函數y=（k-2）x²-2x+k+1的圖像與x軸有兩個交點，且都在x軸的正半軸上，求實數k的取值范圍.

變式4：已知函數y=（k-2）x²-2x+k+1的圖像與x軸有兩個交點，其中一個交點的橫坐標在-2和-3之間，求實數k的取值范圍.

5.抽象表征：在解題遷移的基礎上進行抽象表征，實質上是對問題進行等價轉換，在問題探究中，發散思維得到發展.

要求學生對問題進行改編：

（1）如果實數k的值無解，怎樣改編？

（2）如果實數k的值只有1個解，怎樣改編？

（3）如果3

（4）如果1

以實數k值的不同情況進行問題改編，進行問題的等價變換，問題在發散和聚合中，學生的創新性思維得到培養.

思維伴隨著問題解決而發展，在概念或規則的運用過程中，借助多元表征將問題模式識別和解題遷移，形成數學問題的抽象表征，盡量一題多變、一題多解、一法多用.培養解決問題的能力，要以問題為基點，經過多元表征、模式識別、解題遷移、抽象表征這樣的認知循環開展教學.基于問題鏈，以題點知，借助多元表征理解問題，促進問題的深度理解，形成問題解決的通法.在合作交流中，學生的思維品質將得到培養.

（三）借助多元表征促進知識生長，提升思維品質

此環節主要是對知識點或整節課的小結，是促進CPFS結構、提升數學能力、發展數學思維的重要環節.課堂反思通常是教師與學生共同對概念、規則、策略的總結，是幫助學生感悟數學思想、提高思維品質的絕佳機會.學生在合作交流中完成知識的建構和問題的解決，特別是基于多元表征多通道參與學習，深度理解問題和掌握知識，在問題探究的發散和收斂中，培養學生的思維能力.總結時，還課于學生，要求學生將本課題涉及的知識技能以及操作練習過程中的策略性知識講解給同學或老師聽.學生通過對有效的方法講解和解題策略的尋求與反思，形成有效的問題解決策略體系，促進良好的CPFS結構的形成，促進學生的思維能力的發展[3].

教學實例

隱圓問題在各地中考中屢見不鮮，它們往往成為學生獲取高分的攔路虎.這類問題具有抽象性和復雜性，單一的表征僅能關注到問題的一面，無法準確地理解問題的本質.

1.開放問題，多元表征

教師在講授“隱圓”課程時，首先做好題目的選擇，讓學生在以題點知的過程中找到對應知識的課題模型，為后期的教學提供良好的理論依據.關鍵是讓學生尋找“隱圓”模型解題策略.

問題1：如圖4所示，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，P為AD上任意一點，連接BP，點A關于BP的對稱點A′，連接DA′，求線段DA′的最小值.

引導學生閱讀題目和圖形，能從圖形中直觀感知BP垂直平分線段AA′，并且能積極轉化語言表征和圖形表征，對BA=BA′有直觀上的認識，能想象出動點P在運動過程中BA′的長度始終保持不變的動態圖形表征;引導學生將圖形動態表征中的不變性（點A′到點B的距離不變）轉化為語言敘述：點A′的運動軌跡是以點B為圓心、BA為半徑的圓;用圖形表征引導學生求線段DA′的最小值.

設計意圖數學本身的特征決定了數學的表現形式是豐富多樣的，表征能力的高低對解決問題的影響是非常大的.在課堂教學中盡可能引導學生對同一對象有多元表征，架起數與形的橋梁，串聯好各知識之間的聯系.

2.基于表征，優化知識結構

問題2：結合問題1對點A′的運動軌跡的表征，歸納出圓的隱圓模型？

引導學生歸納出如圖5所示的模型.

本環節除了對上述學習的總結，讓學生發現自己的知識盲區，更是強化學生點在某圓上運動這一幾何形態的不同圖形表征，豐富學生的認知結構.

問題3：用自己的話敘述上述隱圓模型，并說出它們是怎樣形成的？

問題4：請說明四個隱圓模型的理論依據以及它們之間的聯系？

設計意圖通過讓學生自主探究和教師的引導，讓學生知道四個隱圓模型的理論依據，知道知識從哪里來怎么用，結合圖形表征和文字表征實現對隱圓知識的深度理解.

3.例題變式，揭示本質

例3如圖6所示，正方形ABCD的邊長為2，動點E，F分別在DC，BC上移動，且保持DE=CF，AE和DF交于點P，求線段CP長度的最小值.

變式1：如圖7所示，等邊三角形ABC的邊長為2，D，E分別在AB，AC上兩動點，且保持AE=BD，CD和BE交于點P，求點尸運動路線的長度.

變式2：如圖8所示，菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，M是邊AD的中點，N是邊AB上的一動點，△AMN與△A′MN關于直線MN成軸對稱圖形，連接A′C，求A′C長度的最小值.

變式3：如圖9所示，等邊三角形ABC的邊長為2，ED⊥AB，垂足為D，EF⊥AC，垂足為F，求AF的長.

設計意圖例題是以90°的圓周角所對的弦為直徑的隱圓模型，解題的關鍵是在動態圖中找到90°角恒成立.難點要引導學生找到隱圓，根據動點的起始、終了位置就能找到運動路徑，線段的最值就轉化為圓外一點到圓上點的最長距離和最短距離了.讓學生體會“尋模型—現隱圓—明路徑—解最值”的解題策略，為變式訓練提供解題經驗.變式1中弦所對的圓周角由90°變成了120°，難點是找到隱圓的圓心.變式2是“多點共圓”模型，學生要在變中找不變的量，明確基本圖形進而構建解題模型.變式3是“四點共圓”模型，由雙垂直直觀感知到隱圓.經過此種計算流程，學生能夠鞏固這類題的解題策略，將問題多元表征，進一步提升學生解決基于線段與角之間的關系所隱藏的圓的問題能力.

4.領悟題魂，感悟升華

思考：怎樣在問題中發現“隱圓”？怎樣將問題等價轉化？

設計意圖旨在讓學生形成自己的解題經驗，本節課不在于讓學生知道隱圓有哪些情況，重要的是要領悟數與形之間的對應，善于將動態圖形合理表征.

實踐反思

1.基于多元表征，驅動思維發展

若初三復習課按照知識分類選擇相應題目進行套題訓練，不利于學生理解問題本質，也難以揭示數學知識或思想的本質.基于學生的認識把問題對應的核心知識進行不同的表征，通過聯想拓展和例題變式，讓學生從數學結論和方法上獲得從特殊到一般的推廣，讓學生經歷科學研究的一般方法.“問題表征、多元表征、模式識別、解題遷移、形成抽象表征”的問題解決教學結構，注重學生的思維變化.基于多元表征的變式教學，鼓勵學生大膽猜想，在解題遷移中形成問題的抽象表征，形成內在模式結構，促進學生認知CPFS結構，促進學生解決心智圖式問題的形成.

2.基于變式教學，推動例題教學

在復習課中，例題的選擇及如何進行例題教學，是復習課的重要組成部分.筆者建議選擇人口大，門檻低的題目作為例題，打消學生對數學的畏懼.

“問題表征、多元表征、模式識別、解題遷移、形成抽象表征”的問題解決教學結構，很多復習課都可以套用.變式教學可以揭示數學問題的本質，通過變更數學對象呈現形式，可以淡化問題的非本質屬性，直視問題的本質.問題變式以學生已有的知識為背景，引導學生用多種方式表征學習對象，通過變式訓練達到解題遷移，發展數學思維，提升解決問題的能力.開展自主變式，對學習對象抽象表征，培養了學生的發散思維和聚合思維，有利于學生的創新思維發展.

3.基于探究活動，致力素養養成

杜威認為，思維的自然規律不是形式邏輯，而是實驗邏輯的反省思維.它是對問題反復地持續地進行探究的過程.課堂探究的生長點往往是核心知識的不同表征，在不同的表征形式探究中，以直觀想象和思維辯證的策略方法，讓學生理解問題的本質和掌握數學思想方法.“問題表征、多元表征、模式識別、解題遷移、形成抽象表征”的問題解決教學結構，經過實踐研究，優化了初三數學復習課，但需要結合教學目標、教學內容、學生實際等方面，靈活增減教學結構，真正實現高效的數學復習教學.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]李衛華.基于數學學科核心素養的教學設計——以“全等三角形的判定”為例[J].中學數學，2019（24）：19-21.

[3]喻平.數學學習心理的CPFS結構理論與實踐[M].廣西教育出版社，2008.

[4]唐劍嵐.數學多元表征學習及教學[M].南京師范大學出版社，2009.