二次函數與三角形綜合題的解題策略研究

周文麗

[摘要]二次函數與三角形結合出題在中考中是常考題型，該類考題較綜合，常成為學生獲得高分的“攔路虎”.文章探析了二次函數與三角形綜合題的解題思路和方法策略，并對該類題如何更好地進行教學提出了三點建議，以期對中考生的學習和一線教師的教學帶來一點啟示.

[關鍵詞]二次函數;三角形;解題策略

問題的提出

初中數學知識涉及150多個知識點，其中二次函數與幾何圖形所涉及的知識點約有47個，占比約31.3%.在當前九年義務教育階段，中考具有很強的選拔性，且數學作為三大主科之一，其中以二次函數為背景，結合幾何圖形進行考查的題型成為中考必考題型，分值為8～16分.可見，如果一個初中生沒有很好地掌握二次函數和幾何圖形的基礎知識，他或許會與重點高中失之交臂.因此，研究二次函數壓軸題很有必要.

筆者分析昆明市近六年中考數學二次函數壓軸題，發現其均以二次函數為背景，再結合等腰（直角）三角形存在性、三角形相似及三角形的面積（周長）來考查學生的能力.這類題注重基礎性、綜合性和創新性，關注數學的本質和通性通法，既重能力考查，又重素養考查.對于此類問題，學生需具有抓住題眼抽象出圖像的能力，并結合幾何圖形性質及其特點，利用數形結合、分類討論、方程等數學思想方法完成解題.但很多學生不能根據題眼抽象出圖像，因此，教師在教學中要注重培養學生的數學抽象能力.所以探析二次函數與幾何圖形的綜合題的解題策略變得尤為重要.

典例呈現

（一）特殊三角形存在性問題與面積最大值問題

二次函數與三角形的綜合題是代數與幾何知識的融合，難度較高，要求學生熟悉二次函數和三角形的有關知識，注重知識點之間的聯結，形成知識鏈，并有意識地運用數形結合、分類討論、方程與函數等數學思想方法，提升自身數學素養.下面以2016年昆明市中考數學第23題為例，探析特殊三角形存在性問題與面積最大值問題的解題策略.

（1）求拋物線的解析式.

（2）若P為第一象限內拋物線上一點，設四邊形COBP的面積為S，求S的最大值.

（3）若M是線段BC上一動點，在x軸上是否存在一點Q，使△MQC為等腰三角形且△MOB為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

分析第（1）問通過待定系數法易求出拋物線的解析式為y=-2x²+2x+4.第（2）問主要考查圖形的分割以及常見平面圖形面積的計算，該類題需要學生根據題眼先將幾何圖形抽象出來，再將不規則圖形分割成規則圖形，利用規則圖形的面積公式求解，最后求面積之和.第（3）問是等腰三角形和直角三角形同時存在性問題，非常綜合，需要學生根據題眼和分類討論思想先抽象出幾何圖形，再根據直角三角形和等腰三角形的特點及性質，利用三角形相似、勾股定理或銳角三角函數等知識進行求解.

1.第（2）問的解法探析

解法3過點P作y軸的垂線，垂足為E，將四邊形COBP分割成△CEP和直角梯形EOBP（如圖4所示）.設出點P的坐標，再根據S=S_△CEP+S_{直角梯形EOBP}求出S的最大值.

評析第（2）問是面積最大值問題，滲透割補和數形結合思想，難度適中.要解決此類題，需要學生明晰如下解題過程：“題眼”→抽象出圖形→分割不規則圖形→設動點坐標（根據拋物線方程）→求規則圖形的面積→求面積之和→配方.由上述三種解法不難看出一個共性，那就是，一般來說，動點的橫、縱坐標分別為分割后各規則圖形的高.

2.第（3）問的解法探析

假設存在點Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形.由題意易知只能∠BQM=90°或∠BMQ=90°.

當∠BQM=90°時，可抓住“題眼”抽象出圖形（如圖5所示）.易知只能CM=MQ.可求出直線BC的方程，再設出點M的坐標，并表示出MQ，OQ，BQ，BC的長度.此情況主要有以下三種解法.

解法1（勾股定理）在Rt△BQM中求出BM，MQ的長，再根據CM=MQ即可求出點Q的坐標.

進而求得點Q的坐標.

評析第（3）問表面上是考查等腰三角形和直角三角形的存在性問題，實質是勾股定理、三角形相似、銳角三角函數等多個知識點的綜合考查，難度較大.解決該類題需要用分類討論、數形結合、化歸等數學思想方法.通過對該題型多種解法的探討可歸納出解決此類題的一般思路：假設點存在一以動化靜，借助分類討論思想，并根據題意抽象出圖形→先從直角三角形入手→分析并確定等腰三角形的兩腰（不能確定的，進行分類討論）→設點的坐標→利用假設得到的結論、勾股定理、相似三角形的性質、銳角三角函數等知識來求解.

（二）三角形相似與周長最小值問題

三角形相似問題的本質是動點存在性問題，核心是數形結合.數形結合的精髓是函數，函數的核心是運動變化，點在函數圖像上運動使得三角形的對應邊發生變化，有策略地對相似比進行分類討論是解題的關鍵.下面分析例2，探析其解題策略.

例2已知二次函數的圖像經過O（0，0），A（8，4）兩點，與x軸交于另一點B，且對稱軸為直線x=3.

（1）求該二次函數的解析式;

（2）M是拋物線對稱軸上一點，當△ABM的周長最小時，求出點M的坐標;

（3）P是x軸上的點，過點P作PQ⊥x軸，與拋物線交于點Q，過點A作AC⊥x軸，垂足為C，當以O，P，Q為頂點的三角形與以O，A，C為頂點的三角形相似時，求點P的坐標.

評析第（3）問考查得比較直接，但是題目沒有給出圖形，需要學生先根據“題眼”和二次函數知識抽象出草圖.對于以二次函數為背景，考查相似三角形的試題，一般來說學生需經歷如下解題過程：抽象出圖形一設點的坐標并求線段的長（長度需加絕對值）一找特殊條件（垂直）一利用相似結論分類討論相似比一代值求解（注意含絕對值等式的求解方法）.總之，做此類題時要注意找特殊條件，進而確定對應邊可能的情況，求出的線段長度加絕對值可減少討論的次數.

反思與建議

二次函數與三角形綜合是代數與幾何相結合命題的一種重要形式，注重考查學生的基礎知識、基本技能、基本思想和基本素養，要求學生有一定的數學抽象能力，以及分析問題和解決問題的能力.該題型一直以來是考生取得優異成績的“攔路虎”，原因是二次函數壓軸題考查的知識點多、條件較隱蔽、計算量大且抽象，考生往往會出現知識點混用、題意理解不透、條件挖掘不完整、計算失誤、分類討論不全面等情況.因此，在教學中，教師應改變傳統的應試教學模式，提高教學靈活度，真切地培養學生的數學思維，提升學生用數學方法解決問題的能力.下面提幾點建議.

首先，教師應注重直觀教學.二次函數對于初中生來說比較抽象，而抽象源于具體，在教學中，教師要善于引入豐富的教學手段或進行試驗模擬，讓學生直觀地感受進而發現規律，將抽象的數學知識生活化，調動學生的主觀能動性，提高學生的數學抽象能力.如例1的第（2）問，教師在講解時可借助幾何畫板利用面積函數演示點P運動時，S何時有最大值，讓學生直觀感知，調動學生解題探究的興趣.

其次，教師應注重學生的基礎.該題型注重考查二次函數與三角形相關的基礎知識，只是綜合性較強，教學中部分教師可能出現過度重視解題技巧訓練的誤區.因此，教師在二次函數壓軸題的教學中，應重視學生基礎知識的掌握和應用，注重學生相關知識點的聯結，并幫助學生形成知識鏈.

最后，教師應重視學生數學思想的培養.在該題型的教學中，教師要側重學生基本數學思想的培養，要讓學生經歷“審題→明確題意→思路探討→解題→總結解題策略”的過程，掌握常見題型中易出現的基礎知識、常涉及的基本技能和解題思路.