指向數學實驗下的深度探究

趙軍

[摘要]數學實驗是通過學習者的動手實踐，在“做”數學的過程中理清思路、探明方法，體驗解決問題的過程.通過深度學習，感悟數學的本質，發展思維能力，提升數學素養.

[關鍵詞]拼圖;多邊形內角和;數學實驗;“做”數學

教材分析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出“基本活動經驗”的新目標，指出“通過豐富的教學方式，讓學生在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學習過程中感悟基本思想、積累基本活動經驗，發揮每一種教學方式的育人價值，促進學生核心素養發展”[1].為了更好地幫助學生借助數學實驗學習數學，蘇科版6本教材均配備了與知識緊密相連的《義務教育教科書·數學》實驗手冊，在七年級下冊“7.5多邊形的內角和與外角和”第2課時就對應設計了一節數學實驗課：“探索多邊形的內角和”，旨在通過學生的動手拼圖，讓學生在實踐活動中運用分割圖形的策略去探索多邊形內角和與其邊數之間的關系，并在實驗操作的基礎上增強對問題的感性認識，拓展思維能力，體會化歸思想.

學情分析

對于三角形的內角和為180。，學生在小學階段就已經熟知，在此基礎上，可通過將三角形紙片拼接四邊形、五邊形、六邊形，在知識和能力的最近發展區內操作體驗，初步感受多邊形的內角和與多邊形的邊數之間的數量關系，并在拼圖活動的過程中，將方法遷移至對n邊形的分割，利用三角形的內角和推導多邊形的內角和，感受轉化的策略.

實驗目標

通過拼接三角形紙片、分割多邊形等活動，探索多邊形的內角和與多邊形邊數之間的數量關系，培養學生的推理能力和化歸意識.變“聽”數學為“做”數學，變“被動接受”為“主動探究”.通過“做”數學實驗體驗發現的樂趣，感悟數學的真諦，發展數學思維能力.

實驗重難點

重點：運用三角形硬紙片進行拼圖時，需在同一平面內將相等的邊重合拼成凸多邊形，并在拼接的基礎上理解每多拼接一個三角形，其內角和就增加180。.

難點：在對n邊形進行分割時，分割點所在的位置變化及n邊形內角和公式的推導，在實驗過程中體驗化歸的思想方法.

實驗工具

蘇科版《義務教育教科書·數學》實驗手冊七年級下附錄4配套三角形硬紙片若干、直尺、幾何畫板軟件.

教學過程

1.度量剪拼，初步體驗

師：同學們，如圖1所示，這是一個三角形，你知道它的三個內角的和是多少度嗎？

生（齊）：180°.

師：為什么呢？

生1：用量角器測量可以得到.

師（追問）：還有什么辦法？

生2：剪下三角形紙片，再剪下三個角并且拼在一起，通過觀察可以得到它們的和.

生3：把剪下的三角形紙片通過折疊可以得到答案.

師：請大家分組合作，展開探究.（一會兒的工夫，各小組紛紛舉手匯報）

生4（小組代表）：我們小組剪拼后發現三個角可以拼成一個平角.

生5（小組代表）：我們小組通過折疊三角形紙片（如圖2所示），將∠A，∠B、∠C分別折疊至AB邊上的∠2，∠3，∠1處，合起來就是一個平角.

……

師：在小學我們就已經發現了三角形的內角和是180°的結論，下面我們接著通過拼圖來探究四邊形的內角和.

點評讓學生在熟悉的問題上進行回憶，通過動手操作，合作探究，加深對任意三角形內角和為定值的理解，為實驗探究四邊形、五邊形……n邊形內角和做好鋪墊.

2.拼圖實驗，歸納推導

師：請大家拿出數學實驗手冊附錄4中配套的三角形硬紙片，邊拼圖邊思考.如圖3所示，這是一張三角形紙片，大家都知道，它的內角和是180°，如圖4，如果在同一平面內用另一個三角形與它拼在一起（長度相等的一邊重合），拼成的四邊形的內角和是多少度呢？

生6：360°.

師（追問）：為什么？

生6：因為這個四邊形內角和可以分成兩張紙片6個角的和，即2個三角形的內角和.

師：很好！如圖5，如果再拼一個三角形，形成的五邊形的內角和呢？

生7：540°，是3個三角形的內角和.

師：（追問）如圖6所示，六邊形的內角和呢？

生7：是4個三角形的內角和，720°.

師（繼續追問）：如圖7所示，n邊形呢？

生8：（n-2）·180°.

師（追問）：為什么？

生8：五邊形由3個三角形拼成，六邊形由4個三角形拼成……依此規律，n邊形由（n-2）個三角形拼成.

點評用硬紙片拼圖，讓學生動手操作，體驗多邊形內角和是由若干個三角形的內角和組成的，在實驗活動過程中體會數形結合的思想.

3.抓住頂點，直接分割

師：逆向思考，如果已知四邊形ABCD，如何求它的內角和？

生9：可以將它轉化為三角形.

師（追問）：如何轉化？

生9：如圖8所示，連接BD（或連接AC），將其轉化為2個三角形.

師：很好！這就是一種化陌生為熟悉的化歸思路，如果是五邊形呢？

生10：將它分割成3個三角形.如圖9所示，連接DA，DB，將其分割為△DEA，△DAB和△DBC.

生11（搶著說）：只需要分割一次，將其分割成1個三角形和1個四邊形.

師（追問）：具體一點.

生11（立即補充）：如圖9所示，可以看作分割成aBCD和四邊形ABDE.

師：很好！如果是n邊形呢？

生12：如圖10所示，將其分割成（n-2）個三角形，所以其內角和是（n-2）·180°.

點評通過拼圖實驗得到多邊形內角和與其邊數之間的關系后，演變為將多邊形進行分割，回歸至我們熟悉的三角形內角和，體現了化陌生為熟悉的化歸思路.

4.變換位置，殊途同歸

師：同學們，下面我們借助幾何畫板來看看還有沒有其他的分割方法.如圖11所示，如果我們將圖10中n邊形的頂點A移動至它的內部一點O的位置（教師操作演示），你能用含n的代數式表示出其內角和嗎？請大家分小組進行探究.

生13（小組代表冤：圖11中的分割方法是將n邊形分割成了n個三角形，但多了中間的一個周角，所以其內角和為n·180°-360°=（n-2）·180°.

師：在分割時，我們將分割點從多邊形的頂點處改變至多邊形的內部，除此方法之外，還可以怎樣改變點的位置進行分割呢？有不同思路的同學可以上臺來體驗一下.

生14上臺將點A拖動至多邊形一邊上的點P處，如圖12所示.

師：此時多邊形被分割成多少個三角形？如何推導出其內角和公式？

生14：分割成（n-1）個三角形，但多了以點P為頂點的一個平角，所以其內角和為（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.

師：太好了！還有沒有不同的分割方法？

生15上臺將點拖動到如圖13所示的位置，點Q取在多邊形外部.

師（追問）：這種位置下如何推導其內角和公式？

生15：此時最外圍的多邊形邊數比原多邊形邊數多1，其內角和比原來多了一個△QMN的內角和，所以原多邊形內角和為（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.

師：分析得真好！事實證明，改變分割點的位置，我們都推導出了n邊形的內角和公式.

點評無論是圖11中的內部取點，四面分割，還是圖12中的一邊取點，發散分割;或者圖13中的外部取點，強行分割，都是將多邊形的內角和問題轉化為三角形內角和予以解決，達到了化難為易、化陌生為熟悉的目的.

5.由內到外拓展延伸

師：研究了多邊形的內角和，我們再來看看它的外角和.如圖14所示，41，42，43分別是原三角形三個內角的鄰補角，如何計算這三個角的和呢？

生16：用三個平角之和減去三個內角之和.

師（追問）：具體結果呢？

生16：3×180°-180°=360°.

師：如圖15所示，如果將圖14中的三角形改為四邊形，則其4個外角之和呢？

生17：4個平角之和減去四邊形的內角和，即4伊180°-2×180°=360°.

師（追問）：如圖16所示，如果將三角形改為n邊形呢？

生17：n個平角之和減去n邊形的內角和，即n×180°-（n-2）×180°=360°.

師：請用文字語言歸納上述結論.

生18：任意一個多邊形的外角和等于360°.

師：對！多邊形的外角和是一個定值，它不會隨著邊數的變化而變化.

點評通過對多邊形內角和的探究，順勢進一步延伸得出多邊形的外角和恒等于360°，結論水到渠成，學生在收獲驚喜之時，意猶未盡！

師：通過今天的實驗探究，你有哪些收獲？說出來大家一起分享.

生19：我學會了拼圖計算多邊形的內角和，并且會反過來對多邊形進行分割.

生20：我體會到了轉化的策略，我們要善于將陌生的問題轉化為熟悉的問題予以解決.

生21：我覺得對一個問題的探索需要智慧，更重要的是要自己動手，主動探究，學會化歸.

……

教學反思

1.數學實驗的直觀性體驗

事實證明：“動手實踐”也是學習數學的一種重要方式.數學實驗具有很強的直觀性，參與數學實驗的人感受于實踐，通過自己的親身體驗獲得的“勞動成果”，印象會特別深刻，探究動力特別強烈.“動手操作”與“動腦思索”往往是同步的，如何動手操作？必須先動腦思索，通過“腦動”指揮“手動”，反過來，手動又會促進腦動，激發思維，形成能力.所以動腦與動手往往同步進行，協調發展，提升能力.數學實驗的直觀性體現在學生“做”數學的過程中能夠看得見、摸得著，有直觀的感受，其數學原理就蘊藏在“做數學”的過程之中，“做”往往比“聽”理解更全面，認知更準確，體會更深刻，通過做數學實驗將人的各種認知器官進行全面調動，是學習效率很高的一種方式，其直觀性的優勢盡顯無疑.

2.數學實驗的片斷化處理

數學實驗教學不應拘泥于時間的長短，它可以是一節完整的專題實驗課，也可以是一堂課的過程中某一教學片斷，教學過程中可以按照實際需要進行合理安排，所以數學實驗教學應該具有很強的靈活性.在本節課中，由一開始的有學生想度量三角形內角和，到剪下三角形紙片的三個角拼成平角，再到折疊三角形紙片將其三個內角拼成一個平角，都是不同情境下的數學實驗片段，也是學生思維內驅力下的自然流露.接著由三角形拼成四邊形、五邊形……n邊形，在逆向思維的引領下對多邊形進行分割，最終過渡到幾何畫板對多邊形進行分割，將數學實驗從動手操作延伸至運用幾何畫板軟件進行操作，其過程不只是為了數學實驗而進行單純的實驗，而是將“動手”實驗的體驗無縫對接到“動腦”思索為主線的探究，使學生在數學實驗的引領下成為問題探究的主人.因此，數學實驗的教學安排應該因需而定，注重靈活性、實用性，對銜接的非實驗教學內容要做到思維主導、自然過渡.

3.數學實驗的現代化融合

電腦的普及和現代科技的加入，使得數學實驗已經不再是純粹的“實驗”，我們可以將數學實驗通過幾何畫板進行操作，方便的同時又體驗到了實驗的真實性.本課例中，探究多邊形內角和公式的思路是對圖形進行分割，其方法是將多邊形分割成若干個熟悉的三角形，分割點取在哪兒？如果全靠動手畫、剪、算，操作不方便且不利于實驗探究，但幾何畫板只要一根手指，將動點輕輕拖動，就可以任意改變分割點的位置，無論是從一個頂點出發進行分割，還是從多邊形內部取點，或者從多邊形一條邊上取點，甚至在多邊形的外部取點進行分割，幾何畫板都能輕松搞定.只要想得到，就能拖得到，幾何畫板讓數學實驗插上騰飛的翅膀，使數學實驗更有活力與魅力.但凡事都有個度，如果我們一味地追求科技與方便而忽視數學實驗的初衷與本味，必將適得其反.實驗源于動手，起于操作，在實踐中獲得認知和靈感，所以原始的動手操作與現代的幾何畫板可以相互補充，相互融合，相得益彰.

4.數學實驗的有效性延伸

數學實驗的目的是通過感官體驗，提升對問題的認識深度和廣度，在實驗操作的基礎上，通過實踐體驗打通思維的瓶頸，拓寬思維的寬度，其根本目的是通過“做”數學體驗發現的樂趣，發展數學思維，提高實踐能力和創新意識，逐步積累數學活動經驗，并最終回到數學思維的軌道上來.從知識層面上來看，數學實驗可以讓我們在“做”數學的親身感受過程中領悟其中的思想與方法，將知識與技能有效提煉，使自身解決問題的思維有效延伸，為解決新的問題做鋪墊.從育人的角度來看，學生經歷“做”數學的過程，能有效提升學生學習數學的興趣，喚醒孩子學習數學、學好數學，甚至愛上數學.所以，從這個角度來看數學實驗具有很好的育人功能和導向作用.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.