踐行學(xué)為中心，提升數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)

王卓凡

[摘要]以學(xué)生的問(wèn)題作為教學(xué)過(guò)程的導(dǎo)向，并以學(xué)生的活動(dòng)作為教學(xué)過(guò)程的本體，把“教為中心”的課堂轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W(xué)為中心”[1].以“方差”一課為例，通過(guò)精讀教材、設(shè)計(jì)理解性問(wèn)題、給予精當(dāng)學(xué)法指導(dǎo)，以期達(dá)到深思辨真交流.

[關(guān)鍵詞]學(xué)為中心;方差;精讀教材;數(shù)學(xué)交流

“學(xué)為中心”的核心理念是以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心，教學(xué)中把學(xué)生作為教學(xué)的真正主體，讓學(xué)生嘗試自主學(xué)習(xí)、探究、生生合作、交流探討，主動(dòng)獲取知識(shí)[2].而數(shù)學(xué)交流是通過(guò)數(shù)學(xué)思維的方式，與文本信息、他人進(jìn)行數(shù)學(xué)對(duì)話、溝通互動(dòng)的活動(dòng)過(guò)程[3].筆者以人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)（以下簡(jiǎn)稱人教版《教材》）“方差”一課為例，就引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立閱讀、有序思考、清晰表達(dá)交流，在交流中促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的理解，與同行交流研討.

觀課的思考

在“方差”的概念教學(xué)中一線教師常出現(xiàn)以下做法，做法1：教學(xué)重點(diǎn)放在方差公式的應(yīng)用上，確?？荚嚂?huì)做題不吃虧;做法2：課本沒(méi)有給出方差公式的推導(dǎo)過(guò)程，講了學(xué)生不理解，干脆繞過(guò)這個(gè)難點(diǎn)，精力放在方差公式訓(xùn)練上;做法3：讓學(xué)生自學(xué)，能理解就理解，不能理解就加強(qiáng)方差公式應(yīng)用訓(xùn)練.

以上做法背后反映教師教學(xué)的三個(gè)錯(cuò)誤觀點(diǎn)：觀點(diǎn)一，教學(xué)的功利性;觀點(diǎn)二：教學(xué)以教師為中心，只強(qiáng)調(diào)教師的權(quán)威性，學(xué)生的服從性;觀點(diǎn)三，教學(xué)以知識(shí)為中心，只重視知識(shí)的應(yīng)用，不重視知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程、只重視知識(shí)的結(jié)論，不重視對(duì)知識(shí)的理解，忽略了知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中人的主觀感受和個(gè)性化理解.

備課過(guò)程中的思考

思考1：本節(jié)課的內(nèi)容有哪些規(guī)律和特點(diǎn)？

“方差”是規(guī)則下的概念課，其核心就是立規(guī)矩[4].規(guī)則下概念課可從“立情境——建規(guī)則——下定義——再運(yùn)用”的步驟實(shí)施，通過(guò)問(wèn)題情境，運(yùn)用創(chuàng)新思維，構(gòu)建解決問(wèn)題的規(guī)則，不斷調(diào)整規(guī)則、優(yōu)化規(guī)則、完善規(guī)則，從而建立概念.

思考2：如何在本節(jié)課中體現(xiàn)“學(xué)為中心”的理念？

“學(xué)為中心”的課堂有兩個(gè)基本特征：一是學(xué)生嘗試獨(dú)立學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，二是教師組織、引導(dǎo)和幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，做學(xué)生自主學(xué)習(xí)的推動(dòng)者和促進(jìn)者.學(xué)生在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并結(jié)合思考性問(wèn)題促進(jìn)概念的深人理解，教師給予指導(dǎo)和幫助，使其能夠感受、理解和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念.

思考3：本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是什么？

本節(jié)課主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是方差的概念，關(guān)鍵是理解算法規(guī)定的合理性，從算法中體會(huì)方差的統(tǒng)計(jì)含義.在本節(jié)課之前，學(xué)生已學(xué)過(guò)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量.因此通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅會(huì)用方差表示數(shù)據(jù)的離散程度，能比較兩組數(shù)據(jù)的變化范圍和波動(dòng)大小，還會(huì)用“平均數(shù)+方差”方法去解決問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)據(jù)說(shuō)話的統(tǒng)計(jì)意識(shí)與交流習(xí)慣.

教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)析

1.立情境，引新知

問(wèn)題1：甲、乙兩名射擊隊(duì)員都很優(yōu)秀，現(xiàn)只能挑選一名隊(duì)員參加比賽.如果你是教練，你準(zhǔn)備如何選拔？

問(wèn)題2：如表1所示，甲、乙兩名隊(duì)員的一次比賽成績(jī)，依據(jù)這次成績(jī)，請(qǐng)用你的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)計(jì)算一下，看看甲、乙兩人讓誰(shuí)去？

師：?jiǎn)栴}1中，你是怎選拔隊(duì)員參加

比賽？

生（齊）：看看誰(shuí)的成績(jī)高？

師：你們?cè)趺粗勒l(shuí)的成績(jī)高？

生（齊）：知道他倆的成績(jī)就可以吧.

師：對(duì)，要用數(shù)據(jù)說(shuō)話.

教師讓學(xué)生4分鐘時(shí)間獨(dú)立閱讀和

思考問(wèn)題2，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)話交流.

生1：算出兩者的平均數(shù)是9.8的，兩者沒(méi)有差別.

生2：去掉極端值10后也許可以.

師：10是否都是兩組數(shù)據(jù)中的極端值？

生1：平均數(shù)為9.8，10不是極端值.

生3：乙滿分次數(shù)多，但是乙低分?jǐn)?shù)據(jù)也比甲多.

生4：甲比較穩(wěn)定.

師：怎么看出甲比較穩(wěn)定？

生4：甲數(shù)據(jù)中往9.8靠的數(shù)據(jù)比乙多，所以甲比較穩(wěn)定.

師：真不錯(cuò)，兩組數(shù)據(jù)相差不大時(shí)，我們可以用數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小來(lái)分析，但是現(xiàn)在數(shù)據(jù)以表格呈現(xiàn)欠直觀，我們可以從什么角度去研究？

生（齊）：從形的角度.

教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出散點(diǎn)圖.

師：請(qǐng)大家結(jié)合圖1，探究能夠用哪一個(gè)量來(lái)刻畫(huà)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.（獨(dú)立思考4分鐘，小組交流2分鐘）.

生4：我們組認(rèn)為與平均數(shù)這條基準(zhǔn)線距離越大，波動(dòng)越大.

師：這是從形的角度看，能否從數(shù)的角度表示？

生5：我們組認(rèn)為每一個(gè)量與平均

數(shù)9.8的差值的和，和越大則越不穩(wěn)定.

生7：是否要除以次數(shù)10？

生8：不需要，它們的和越大就越穩(wěn)定.

師：不錯(cuò)，利用差值的絕對(duì)值之和可以刻畫(huà)數(shù)據(jù)波動(dòng)的程度.

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)以射擊為情境，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)積極參與探究.通過(guò)閱讀材料思考，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)據(jù)說(shuō)話的意識(shí)和習(xí)慣;同時(shí)通過(guò)問(wèn)題調(diào)動(dòng)學(xué)生運(yùn)用原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去設(shè)計(jì)挑選標(biāo)準(zhǔn)不能解決問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，教師通過(guò)限時(shí)思考、小組合作、全班展示等形式激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究，讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析過(guò)程中提出和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，感受數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的優(yōu)越性，不斷積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).

2.深交流，建規(guī)則

問(wèn)題3：如表2所示，甲、乙兩名射擊隊(duì)員五次的射擊成績(jī)?nèi)缦?，你認(rèn)為誰(shuí)的波動(dòng)大？

追問(wèn)1：能否使用差值的絕對(duì)值之和刻畫(huà)甲、乙這兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性？

追問(wèn)2：散點(diǎn)圖上點(diǎn)到平均值這條基準(zhǔn)線的距離實(shí)質(zhì)是什么？

追問(wèn)3：我們學(xué)過(guò)哪些知識(shí)可以求兩點(diǎn)之間的距離？

追問(wèn)4：試用符號(hào)語(yǔ)言寫(xiě)出問(wèn)題3刻畫(huà)數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的公式？

設(shè)計(jì)意圖本活動(dòng)再引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，原來(lái)的“差值之和絕對(duì)值”不能解決問(wèn)題，倒逼學(xué)生重新制定規(guī)則標(biāo)準(zhǔn)，在探究中過(guò)程中，教師做學(xué)生的合作者、引導(dǎo)者，激發(fā)學(xué)生更為主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題，通過(guò)課堂上通過(guò)指向?qū)W生思維的深度和指向?qū)W生思維過(guò)程的四個(gè)追問(wèn)使學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，制定不同的量刻畫(huà)數(shù)據(jù)波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)，滲透數(shù)形結(jié)合思想、從一般到特殊的思想及建模思想.

3.下定義，再運(yùn)用

問(wèn)題4：如表3所示，為了減少選拔優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員參加比賽偶然性，以某個(gè)賽季的7次比賽總成績(jī)?yōu)橐罁?jù)進(jìn)行選拔，數(shù)據(jù)如下：請(qǐng)你幫助教練選拔隊(duì)員.

師：能否使用問(wèn)題3中得到的結(jié)論？

生9：不可以吧，他們的次數(shù)不同，

這樣不公平.

生10：大家的總分不同.

師：那有什么辦法？

生11：可以求他們的平均值，參加了多少次比賽就算幾次，穩(wěn)定性應(yīng)該不變.

師：不錯(cuò).數(shù)據(jù)量不統(tǒng)一，可以用平均數(shù)來(lái)解決.

設(shè)計(jì)意圖差值的平方的平均數(shù)不受統(tǒng)計(jì)次數(shù)的影響，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)完善方差公式，歸納方差概念并從方差公式的結(jié)構(gòu)上去理解方差的意義.培養(yǎng)學(xué)生有序思考，從驗(yàn)證對(duì)不對(duì)向演繹合不合適轉(zhuǎn)變，體驗(yàn)公式簡(jiǎn)潔美，進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析技能和數(shù)據(jù)分析評(píng)判質(zhì)疑能力.

4.勤反思，善總結(jié)

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)請(qǐng)同學(xué)們回答什么是方差，方差有什么用，方差的具體計(jì)算步驟又是怎樣[5].

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生從方差是什么、為什么、怎么用，理解知識(shí)的內(nèi)涵與外延，弄清學(xué)習(xí)知識(shí)的必要性，掌握運(yùn)用知識(shí)的思考順序，內(nèi)化知識(shí)提升素養(yǎng).

教學(xué)反思

從前述的“學(xué)為中心”的核心理念及踐行中看出，學(xué)生的數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)得到明顯提升.數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)的培養(yǎng)，需要根據(jù)數(shù)學(xué)課程的基本理念和學(xué)科特點(diǎn)、教學(xué)的主要目標(biāo)和具體內(nèi)容、學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和實(shí)際情況，還有教師的風(fēng)格和特長(zhǎng)等，來(lái)選用教學(xué)方式和方法.例如，通過(guò)提出問(wèn)題、引導(dǎo)探究、點(diǎn)撥反思等積極創(chuàng)設(shè)合作與交流的機(jī)會(huì)，就該課實(shí)施有三點(diǎn)思考：

1.精讀教材是進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的前提

教材開(kāi)門見(jiàn)山地寫(xiě)明“除了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這類型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量以外，還有一類型刻畫(huà)數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的量，其中最重要的是方差.”此話表明刻畫(huà)數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的量不僅只有方差，但方差具有其優(yōu)越性，那么其他刻畫(huà)數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的量如何取舍？這需要教師根據(jù)學(xué)情進(jìn)一步合理選用;其次教材通過(guò)選用章引言問(wèn)題情境隱性回答“為何學(xué)”——引入方差的必要性及合理性、“怎么學(xué)”——借助散點(diǎn)圖利用數(shù)形結(jié)合思想推導(dǎo)方差公式、“學(xué)什么”——從方差公式結(jié)構(gòu)上探討了方差刻畫(huà)數(shù)據(jù)波動(dòng)程度.

再次，讀章頭語(yǔ)明晰如下：一是平均數(shù)和方差分別是刻畫(huà)數(shù)據(jù)集中和波動(dòng)程度的量，說(shuō)明兩種刻畫(huà)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量同等重要，且兩者聯(lián)系密切.二是揭示了研究本章的需要有樣本估計(jì)總體的思想.又從“閱讀與思考”中，對(duì)極差、方差、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差等刻畫(huà)數(shù)據(jù)波動(dòng)的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行介紹和比較，回答了為何方差在刻畫(huà)數(shù)據(jù)波動(dòng)的量中的重要地位.

人教版教材中方差的篇幅不長(zhǎng)，但其內(nèi)涵不簡(jiǎn)單：一是為什么要學(xué)方差？二是怎樣運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，從數(shù)據(jù)集中的統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)過(guò)渡到刻畫(huà)數(shù)據(jù)波動(dòng)的統(tǒng)計(jì)量方差？這需要教師在整體觀下通過(guò)精讀教材處理局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，設(shè)計(jì)有思維規(guī)律的學(xué)習(xí)活動(dòng).

2.提出問(wèn)題是進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)交流需要從問(wèn)題開(kāi)始，問(wèn)題的引領(lǐng)起著關(guān)鍵性的作用.需從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，設(shè)計(jì)具有邏輯性，理解性和有跨度性的問(wèn)題，而非拼湊性、淺薄性、小步伐的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，幫助學(xué)生理解，發(fā)展學(xué)生思維能力.如本節(jié)課，筆者圍繞“為何學(xué)方差”“怎樣制定標(biāo)準(zhǔn)”“制定的標(biāo)準(zhǔn)是否合理”“新舊概念的辯證統(tǒng)一”設(shè)計(jì)四個(gè)為主線串聯(lián)起整節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容的母問(wèn)題，不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.同時(shí)在學(xué)生思維易受阻礙之處設(shè)置起點(diǎn)低、相對(duì)開(kāi)放的、層次分明的一系列子問(wèn)題鏈，激發(fā)思考、討論和探究，促進(jìn)數(shù)學(xué)交流，有助于促進(jìn)概念感知、理解和運(yùn)用.如在問(wèn)題2中學(xué)生難以直觀分析數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度時(shí)，學(xué)生思維難以切入時(shí)設(shè)置“數(shù)據(jù)以表格呈現(xiàn)欠直觀，我們可以從什么角度去研究？”，讓思維起步.又如在問(wèn)題3中，通過(guò)追問(wèn)“散點(diǎn)圖上點(diǎn)到平均值這條基準(zhǔn)線的距離實(shí)質(zhì)是什么”，撬開(kāi)思維定式，讓學(xué)生“想得到”，從而促進(jìn)深度思考.

3.相機(jī)點(diǎn)撥是進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的保障

“學(xué)為中心”并不是教師袖手旁觀或以練代講的課堂，亟須教師指導(dǎo)學(xué)生能動(dòng)參與相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)和完成分析、歸納、比較、判斷、推理、想象等思維活動(dòng)的過(guò)程，在內(nèi)化知識(shí)過(guò)程中通過(guò)交流表達(dá)，不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，最終發(fā)展思維能力.意味著教師在組織學(xué)生獨(dú)立思考、小組合作研討及班級(jí)展示活動(dòng)中，通過(guò)傾聽(tīng)學(xué)生對(duì)話把握學(xué)生的思維邏輯，捕抓交流點(diǎn)，站在學(xué)生認(rèn)知水平上給予評(píng)價(jià)、追問(wèn)、示范等精當(dāng)?shù)膶W(xué)法指導(dǎo)，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去理解問(wèn)題.如在問(wèn)題3探究中，不少學(xué)生現(xiàn)象知識(shí)和思路儲(chǔ)存于大腦卻表達(dá)不出來(lái)的舌尖現(xiàn)象，無(wú)法表達(dá)怎樣從平均差到方差思考過(guò)程.面對(duì)此現(xiàn)象教師可以通過(guò)學(xué)生自主探究和互評(píng)展示，抓住“點(diǎn)到直線之間距離”這一交流點(diǎn)，捕捉如“兩點(diǎn)之間線段最短”“點(diǎn)與點(diǎn)之間距離”等淺表性淺層次的交流，通過(guò)追問(wèn)“是否兩點(diǎn)距離可以轉(zhuǎn)化直角三角形邊的長(zhǎng)度”“勾股定理公式的運(yùn)用”進(jìn)而想得到用平方擴(kuò)大數(shù)據(jù)間的差異，在教師的板演下概括出方差的意義：方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度越大;方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度越小.

“學(xué)為中心”理念下的教學(xué)要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，圍繞能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維本質(zhì)的有價(jià)值問(wèn)題組織教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)行數(shù)學(xué)思考活動(dòng)，養(yǎng)成會(huì)閱讀、會(huì)思考、會(huì)表達(dá)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)交流素養(yǎng).

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