數學認知結構視域下的教學實踐與思考

秦俊怡

[摘要]從學生的數學現實出發，設計章起始課教學的情境、問題、活動，引導學生類比思考與探索，幫助學生在不等式及其解集知識學習中科學建構、適切運用、有效優化數學認知結構，提升數學思維，發展數學能力.

[關鍵詞]認知結構;章起始課;不等式;概念

數學認知結構是學生獲得數學知識后，在頭腦中形成的概念系統、表征系統和加工系統.就其機能而言，包括兩個方面：理解數學問題和解決數學問題[1].即通過學習思路與方法的有效引領，學生的數學新概念得以產生、理解、再現、發展，知識架構逐步完善，實現以不同方式解決數學問題的目標.而章起始課多為概念課型，是數學教學的重心任務，具有統攝全章、提綱挈領的作用，能讓學生在新舊知識和經驗間架起溝通的橋梁，突破認知限制，“上一層樓，窮千里目”.2020年，筆者積極參加廣州市越秀區教師研討課活動，執教課題是人教版教材七年級下冊第九章“不等式與不等式組”第1課時——不等式及其解集，在章起始概念課的背景下，開展建構、運用和優化學生數學認知結構的教學探索.現將教學主要環節及相關分析撰寫成文，以期同行之斧正.

明確學習目標

《義務教育數學課程標準（2011年版）》涉及本課時內容的目標要求：體驗從具體情境中抽象出數學符號的過程，理解不等式;探索具體問題中的數量關系和變化規律，掌握用不等式進行表述的方法;通過用不等式表述數量關系的過程，體會模型的思想，建立符號意識[2].因此，本節課的學習既要關注短期目標，更要重視長期目標.

短期目標：（1）了解不等式的概念，會用不等式表示簡單的數量關系;（2）理解不等式的解的概念，會判斷某個數是否為某個不等式的解;（3）理解不等式的解集的概念，會直接寫出簡單的不等式的解集，并在數軸上表示.

長期目標：通過分析問題情境中的數量關系，經歷“數學抽象”的過程，體會不等式是刻畫現實世界的一種有效數學模型.

設計學習路徑

1.分析學情

學生完成一次方程（組）的學習后，對一次方程（組）的認識已經具備一定的積累，包括知道一次方程（組）的相關概念，解一次方程（組）的步驟，以及會用一次方程（組）表示問題情境中的等量關系，但對不等關系的了解不夠深入，處于認知的朦朧階段.此時，在學生已有的認知基礎上，通過類比方式引入新知識——不等式及其解集，充分發揮章起始課統整引領和心理學正向遷移的積極作用，鋪設一條明確、合理、高效的學習之路，助力學生數學認知結構的自然生長.

2.診斷困惑

初學列不等式表示問題中的不等關系時，有些學生會因認知慣性列出表示等量關系的方程，甚至用小學列算式的方法解決問題.能用算式或方程得到問題的結論，為什么還要列不等式？要擺脫上述的學習干擾和困惑，教師必須引導學生正確理解問題情境，分析其中的不等關系，將符號化、模型化思想進一步加固和發展，即承認和尊重數學認知結構存在的事實，重整和優化學生的數學認知結構.

3.確立架構

如何引導學生的數學認知結構由等量關系發展到不等關系，從算術思維轉變為代數思維？創設數學情境、組織數學活動、提煉數學概念、解決數學問題是一種行之有效的策略，如圖1所示的教學框架應運而生.

實施教學過程

1.探索不等式的概念

教師展示圖片，以問題組的形式呈現情景1：

（1）姚明的身高xm高于劉翔的身高1.89m，如何表示x與1.89之間的大小關系？

（2）小紅和背著書包的小軍玩蹺蹺板，當大家都不用力時，小軍在下，小紅在上.已知小紅的身體質量為pkg，小軍的身體質量為qkg，書包的質量為2kg，如何表示p與q之間的大小關系？

（3）慶祝中華人民共和國成立70周年國慶閱兵的預計費用和實際支出是不相等的，預計費用是m萬元，而實際支出是n萬元，如何表示m與n之間的大小關系？

生1：（1）x>1.89;（2）p

追問1：上述式子分別用了什么符號表示大小關系？

生2：分別用了符號“>”“<”“≠”.

追問2：像這樣的式子，你能給出它的定義嗎？

生3：用符號“>”“<”“≠”表示大小關系的式子，叫不等式.

追問3：像-1>-2，3<4這樣的式子，是否也叫不等式？

生4：是，因為這些式子是用符號“>”“<”來表示大小關系的.

教學說明創設問題組情境1，把教材中引入不等式的概念的實際問題后置為下文的情境2，原因在于不等式的概念作為章起始課的首個概念，開展探索時應以“學”定“問”.情境1問題組的設計充分考慮學生的已有經驗、學習基礎、思維特點，由淺入深，由感性到理性，更符合學生的認知水平.通過教師連串追問的引導，學生在理解的基礎上經歷數學概念的抽象過程，構筑自己的“認知新區”，感受成功的喜悅.

2.探索不等式的解及解集的概念

教師呈現問題情境2：

上午11：20，大頭兒子一家人駕車從家里出發，勻速開往離家50km的游樂場，要在12：00之前到達，車速應滿足什么條件？

師：如果先從時間的角度來思考，如何求車速應滿足的條件？

追問1：以上兩種解法都忽視了問題中的什么數量關系？有什么關鍵詞可以體現這種關系？

生（齊）：忽視了問題中的不等關系，從關鍵詞“之前”可以看出.

追問2：如何用數學語言表示不等關系？

追問3：如果再從路程的角度來思考，又如何求車速應滿足的條件？

追問4：能更明確得出x應取哪些值嗎？

生（齊）：x=80，x=78，x=76，x=75.5等（學生回答不一）

追問5：那x=75符合題意嗎？

生（齊）：這不就是一元一次方程的解的問題嘛！（學生自發展開討論）

教學說明學生的熱議切合教師的課堂預設.教師適時引導學生類比一元一次方程的解的概念，讓學生通過比較來發現規律，繼而師生共同歸納不等式的解及解集的概念.若把一元一次不等式中未知數的最高次數升為2，就是以后將在高中學習的一元二次不等式.通過新舊知識的橫縱聯系、邏輯連貫，學生新的數學認知結構不斷搭建，極大增強數學學習的內驅力.

3.探索不等式的解集的數軸表示方法

教師呈現問題情境3：

在如圖2所示的數軸上，實數x表示的點向右平移3個單位長度，得到的點在表示6的點的右側，用含x的不等式表示上述問題.

生10：x+3>6.

追問1：請直接說出該不等式的解集.

生11：x>3.

追問2：能用另一種形式表示該不等式的解集嗎？

生12：借助數軸，標出數軸上的某一部分，其中的點對應的數值都是該不等式的解，那么該不等式的解集就在數軸上表示出來了.（學生畫圖，教師點評）

教學說明教材對于“不等式的解集在數軸上表示”的處理一帶而過，學生未必能很好理解和接受.教師以數軸為背景設計問題情景3，通過追問1和追問2，引導學生由“數”向“形”過渡，使教學活動更為自然合理.學生從中感悟“數”的嚴謹與“形”的直觀，實現抽象思維與形象思維的交互運用，強化對數形結合思想的認知.

反思教學所得

1.科學定位，建構數學認知結構的概念系統

教師必須厘清數學教材的結構和學生數學認知結構的辯證關系，站在“高處”整體布局，精心設計每一節課.本節課的教學設計和實踐按照數學概念形成和發展的三個階段，調整了教材的結構，更符合學生認知發展的規律.第一階段，是新概念的產生，在學生的知識發展還不充分的前提下，通過創設簡單的實際問題情境（情景1問題組），引導學生思考并探索，收獲不等式的概念的“雛形”;第二階段，是新概念的掌握和整合，在學生產生了不等式的概念的基礎上，通過類比方程的解的概念加深理解，進一步得到不等式的解及解集的概念，整合為概念域;第三階段，是概念（域）的精化發展，此時學生對概念（域）的認知進入新的發展階段，通過不等式的解集的數軸表示由“數”及“形”的思維轉變，提升學生解決較難問題的關鍵能力.如此下來，學生數學認知結構的概念系統得以自然且高質量地建構.

2.適切選材，活用數學認知結構的表征系統

數學先驅們通過創造直觀教學用具，如數軸、坐標系、圖表等，為概念和概念系統提供有力的認知工具，實現數學知識在頭腦中的再現，形成表征系統.在章起始課“概念系統”的統領下，選取合適、貼切的素材，幫助學生直觀、形象理解數學知識，改變機械記憶數學知識的學習方式.如本節課情境2中改編教材后的實際問題更貼近學生生活，情景3中創設的數軸情景問題更適合、貼切教材，這些示例正是靈活運用數學認知結構的表征系統的“鮮活”說明.但在學習數學的過程中，舊的認知結構往往會干擾新的認知結構的建立和表征.如在本節課情景2的教學環節中，教師的連串追問引起了學生列算式和列方程兩種舊的思維模式，在解決問題時與列不等式產生了矛盾.因此，教師對學生表征新舊認知的對比引導顯得尤為重要（如表1和表2所示），而學生的認知結構在教師的對比引導下不斷推陳出新、自我完善.

3.有效整合，優化數學認知結構的加工系統

數學知識具備解決問題的智力性力量，如把帶方向的折線加工在數軸上，就能直觀表示不等式的解集.由此可見，數學認知結構的加工系統可聯動數學概念系統和表征系統，以較高的適應性動態解決不同的數學問題（如圖3所示）.

如何在教學中優化數學認知結構的加工系統？從橫向看，加強知識間的內在聯系和有效整合，如方程、不等式與函數，三角形、四邊形與圓，統計與概率等，促進學生建構“面面俱到”的數學認知結構;從縱向看，遵循學生認知結構的發展規律，啟發和引導學生經歷從算術思維到代數思維、從實驗幾何到論證幾何、從常量數學到變量數學的質變，不斷深化學生的數學認知結構.

綜上，數學認知結構的三種“成分系統”在學習新知與解決問題時，是緊密連接、相輔相成的，在章起始課的教學中更能凸顯其作用.學生的數學認知結構是在發現和提出問題、分析和解決問題的過程中主動建構起來的，教師應有序地、整體地、系統地發揮主導作用，促進學生數學思維和能力的發生與發展.

參考文獻：

[1]孫昌識，姚平子.兒童數學認知結構的發展與教育[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.