探究“發現法”解題的運用

李贏

“一聽就會，一做就錯”是現代中學生的通病，如何培養學生的解題能力，化被動為主動，把知識不僅僅是聽會，而是轉化為自己內在的本領，這是一個較復雜的問題。數學中常用的思想方法有很多種，他是對數學內容的一種本質上的認識，是一種需要長期積累和大量練習后總結歸納出的一種隱性知識，需要教師精心設計內容和例題，學生通過反復練習才能有所收獲。讓學生在獲取知識的同時自己發現問題并解決問題，往往比教師單一講授更有效果，在教學過程中讓學生體會“發現法”的運用，經常會起到事半功倍的效果。下面就教學中幾個實例分析一下“發現法”在解題中的運用。

一、數學思想的發現

從題目的結構特征出發，揭示問題的實質和內在聯系，挖掘隱含條件，應用函數與方程的思想，恰當地構造函數，應用其性質解題，根據題目的特點，抓住關鍵變量和關系，構造方程進行求解。在選擇、填空等小題的解答中，數形結合思想發揮了其優越的特性，既節約了解題時間，還能起到事半功倍的效果。數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，數形分離萬事休。以數解形式解析幾何問題的主線，以形助數是函數問題的良策。有時一個問題很大，整體看時無從下手，這時將問題分類討論，各個擊破，從而最終解決整個問題，這時分類討論思想的重要體現。見到陌生問題先不要著急，將陌生轉化為熟知，化繁為簡，才能使問題簡單化。轉化思想與化歸思想的目的都是將復雜問題簡單化，將陌生問題熟悉化，最終將問題化為易解決的基本問題。在解題前先發現問題的本質，發現其使用的思想方法，是解題的基本脈絡。

二、數學方法的發現

在解題中，數學方法也很重要。比如在考察三視圖的問題時，要求同學們的空間想象能力，應用正確的數學方法，才能把空間圖形轉化為平面圖形，借助三視圖為載體，考察對空間幾何體的認識，進而考察學生分析問題、解決問題的能力，對分類思想、數形結合思想、閱讀能力和推理能力，都有較高的要求。在解答多變元問題時，很多同學不知該從何下手，無處落筆。那么到底該如何解決呢？消元和減元應該是首選的數學方法。通過這種方法，能使問題方向明確，思路清晰，解法明朗。通過和積轉化法、賦值法、整體變換法，將其中一個變量看為主元，其他變量看成常數，這樣就能是問題中只有一個變量為主元，從而將問題化難為易。挖掘隱含條件，也可以將題目巧妙的解決出來。平時還可以多研究一些競賽題，將其重要的和常用的結論推廣，在一些小題上也可以進行秒殺。有些不等式問題，從正面入手直接證明，往往會很棘手，這時若從他的反面去想，觀察不等式的結構特征和實質，將題目中要證明的結論當做已知條件，依托數學關系去題目中尋找條件，構造一種新的數學模型，往往會找到入手方向，執果索因，對培養學生分析問題解決問題都有很大幫助。

三、解題思維的發現

培養學生數學思維能力，是素質教育的目的之一。解決習題不僅能幫助學生復習鞏固所學知識，還能培養學生的數學思維。教學中不僅教給學生解題的方法，還要啟發學生積極的思維，激發學生學習熱情。例如在教授橢圓及其標準方程一課時，學生自己總結橢圓的定義是很不容易的，這時通過數學實驗及多媒體的演示，讓學生發現圖形的規律，進而總結得出定義。畫圖的過程中，哪些量一直保持不變？

根據圖形生成過程，怎么歸納橢圓的定義？預習中發現學生對定義的理解不透徹，所以提出兩個問題幫助學生分析兩個字母所代表的含義，為下面探尋定義的條件和推導標準方程做鋪墊，便于學生在圖形的生成過程中找到等量關系，總結歸納出橢圓的定義，實現教學目標。形成變化中的不變性的正確世界觀，培養數學抽象的核心素養。得到定義后怎么用方程表示，提出問題求曲線方程步驟？如何建立恰當的坐標系？點的坐標怎么表示？等量關系是什么？問題層層遞進，便于學生思考時有方向、有入手點，運用舊知生成新知，使知識之間相互聯系，前后呼應。由例一提供了運算方面的支持，使難度降低，突破了難點，實現教學目標。將復雜的幾何問題轉化成代數問題，體現轉化思想。例題一來源于課后習題，目的是為了讓學生熟悉定義的數學表達形式，而且通過三個不同的2a的值，明確a與c大小不同時得到的圖形是不同的，從而將定義完善。學生分組討論，有的用定義畫圖解決，有的推導方程，體現數形結合思想。讓學生區分焦點在不同坐標軸上時方程的不同形式。根據例題二，已知橢圓的兩個焦點坐標分別是（-2，0），（2，0），并且經過點，求它的標準方程。經過前面的練習，學生大多都會用定義法求出標準方程，再提出問題：還有沒有其他求方程的辦法？給出求方程的另一種常用方法--待定系數法，學生討論兩種方法的內容和使用條件，總結規律。體現一題多解思想。?? 一題多變滿足不同問題需求，做到習題設置量少、精深、面廣。課堂檢測判斷下列方程哪個能表示橢圓？對學生提問檢測，如果第一組完成較容易，直接給出第二組練習;如果第一組完成較困難，則直接給出課堂檢測二求焦點坐標，繼續認識a，b，c.把第二組當做例題為學生詳細講解。鞏固橢圓標準方程的應用，深化對方程的理解，由淺入深，難度適中。歸納方法，形成技能。通過備選習題： 2010年10月26日，嫦娥二號衛星成功實現第二次近月制動，衛星進入距月球表面近月點高度約15km，遠月點高度約100km，以月球的球心為一個焦點的橢圓形軌道。已知月球半徑3475km，求衛星運行的軌跡方程。書后的習題改編，求嫦娥二號衛星繞月球運動的軌跡方程，這個改編是為了將題目融入實際背景，讓學生感受數學與生活的聯系，提高學習興趣，培養學生數學建模和數學抽象的學科素養。與預習題前后呼應。課后作業設計意圖是對所學知識的鞏固練習，目的是熟練掌握定義和方程，滲透焦點三角形的性質，要求全體學生獨立完成。預習下節課內容，有準備有針對有目的上課。

通過“發現法”的教學，培養學生解題能力，將數學知識融會貫通，由此及彼，達到舉一反三的目的，是學生能夠更好的學習數學、學懂數學、學會數學。2614236B-8787-4A54-A146-DE4403708938