加強(qiáng)幾何直觀的培養(yǎng) 發(fā)展數(shù)形結(jié)合的思想

申?yáng)|陽(yáng)

當(dāng)今課程改革的重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，運(yùn)算能力，數(shù)據(jù)分析，直觀想象。由此得出幾何直觀在核心素養(yǎng)中的地位和作用可見(jiàn)一斑。

結(jié)合學(xué)校和聲課堂五步教學(xué)模式，在教學(xué)實(shí)踐中特別注意用數(shù)形結(jié)合的方式培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，用形象化，符號(hào)化的語(yǔ)言提煉出數(shù)學(xué)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型，從而使學(xué)生逐步體會(huì)和感知數(shù)學(xué)思想的魅力！

一、將數(shù)形結(jié)合起來(lái)，形成概念表征

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對(duì)象，利用“數(shù)形結(jié)合”方法能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來(lái)，借助于“形”的直觀來(lái)理解抽象的“數(shù)”、運(yùn)用“數(shù)”與“式”來(lái)細(xì)致、入微地刻畫(huà)“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長(zhǎng)補(bǔ)短，從而順利、有效地解決問(wèn)題。“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微”形象生動(dòng)、深刻地指明了“數(shù)形結(jié)合”思想的價(jià)值，也揭示了數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)。

例如在解決雞兔同籠問(wèn)題，即采用假設(shè)法解題時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，可以使極為抽象的假設(shè)法變得直觀形象。教學(xué)中，讓學(xué)生理解雞與兔是兩個(gè)變量十分困難，教師單純用語(yǔ)言是無(wú)法讓學(xué)生很好的理解的。采用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生通過(guò)想想——畫(huà)畫(huà)——再想想——再畫(huà)畫(huà)，幫助學(xué)生理解這雞兔這兩個(gè)變量，從而解決問(wèn)題。同樣在相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題、和差問(wèn)題、和倍問(wèn)題、工程問(wèn)題、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、比例應(yīng)用題、列方程解應(yīng)用題等許多解決問(wèn)題的教學(xué)中，無(wú)不充分地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，把抽象的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖、集合圖、長(zhǎng)方形面積圖、列表格等方式，數(shù)形結(jié)合，呈現(xiàn)為較為具體直觀的數(shù)學(xué)符號(hào)，使較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單明了，有利于分析題中，化難為易，迅速找出解決問(wèn)題的方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

二、加強(qiáng)直觀推理，發(fā)展分析問(wèn)題的能力

直觀推理作為一種滲透力極強(qiáng)的思維形式，可以說(shuō)是數(shù)學(xué)直觀的精髓。加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)并不是只要求學(xué)生會(huì)構(gòu)造示意圖或線(xiàn)段圖，能給出數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀表征就可以了——因?yàn)闃?gòu)圖有時(shí)只需要關(guān)注一些數(shù)學(xué)對(duì)象的局部元素，缺乏對(duì)結(jié)構(gòu)的整體把握——還要充分發(fā)揮直觀推理在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題過(guò)程中的作用，注意為學(xué)生創(chuàng)造主動(dòng)思考的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行比較、分析和想象，展開(kāi)豐富多彩的直觀推理，進(jìn)而洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。對(duì)學(xué)生而言，純文字形式呈現(xiàn)的問(wèn)題相對(duì)比較抽象，僅憑文字?jǐn)⑹鲇袝r(shí)很難直接看出題中的數(shù)量關(guān)系。這樣的問(wèn)題也為學(xué)生學(xué)習(xí)畫(huà)圖整理信息、體驗(yàn)示意圖，在分析數(shù)量關(guān)系過(guò)程中的作用提供了極好的素材。

例如，教學(xué)“用畫(huà)圖的策略解決實(shí)際問(wèn)題”時(shí)，先出示例題：有一塊長(zhǎng)形花圃，長(zhǎng)8米。在修建校園時(shí)，花圃的長(zhǎng)增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來(lái)花圃的面積是多少平方米？我并沒(méi)有直接指導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，而是通過(guò)富有啟發(fā)性的問(wèn)題使學(xué)生體會(huì)到“光看文字，一下子想不出辦法”，進(jìn)而誘發(fā)畫(huà)圖的需要，引起學(xué)生學(xué)習(xí)和探索畫(huà)圖策略的動(dòng)機(jī)。對(duì)于畫(huà)圖方法的指導(dǎo)，我采用“嘗試——講評(píng)——完善”的教學(xué)策略，先放手讓學(xué)生嘗試畫(huà)圖，再結(jié)合講評(píng)對(duì)關(guān)鍵步驟進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)在示意圖上表示“增加3米”以及標(biāo)注相關(guān)信息的方法，以完善自己所畫(huà)的示意圖。完成畫(huà)圖后，我引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較和交流，感受到“看圖形思考比較方便”，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生看圖進(jìn)行分析和比較，將題目中的相關(guān)數(shù)量與直觀圖形的意義對(duì)應(yīng)起來(lái)，找到正確的解題思路，初步體會(huì)示意圖對(duì)解決問(wèn)題的作用。列式解答后，讓學(xué)生看圖解釋每一步算式的意思，再一次借助圖形直觀闡釋數(shù)量關(guān)系的含義，理解列式的依據(jù)。最后，引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思解決問(wèn)題的過(guò)程，討論“為什么要畫(huà)圖”，幫助學(xué)生進(jìn)一步梳理借助圖形直觀解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，感受畫(huà)圖策略的學(xué)習(xí)價(jià)值。這樣的教學(xué)過(guò)程，從解決實(shí)際問(wèn)題的需要出發(fā)，緊緊圍繞“畫(huà)圖”和“用圖”展開(kāi)，使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中初步學(xué)會(huì)畫(huà)示意圖整理?xiàng)l件和問(wèn)題的方法，積累一些借助圖形直觀分析數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，并獲得對(duì)畫(huà)圖策略的深刻體驗(yàn)。

三、利用直觀探究，發(fā)展解決問(wèn)題的能力

幾何直觀在解決問(wèn)題的過(guò)程中起著提示解題思路、預(yù)測(cè)結(jié)果的作用，是探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力幫手。學(xué)生在開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)習(xí)慣性地對(duì)問(wèn)題作出一種直觀判斷，這種直觀的判斷起初只是一種直覺(jué)、猜想或猜測(cè)，也正是這種直覺(jué)或猜想以及追求真理的愿望，引領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)進(jìn)一步的探究，并最終解決問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要充分發(fā)揮幾何直觀在解決問(wèn)題過(guò)程中的作用，注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用幾何直觀把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題的過(guò)程，特別是一些可以利用直觀來(lái)描述的問(wèn)題，不必急于給出解決問(wèn)題的方法，而要鼓勵(lì)學(xué)生借助直觀提出猜想或猜測(cè)，并盡可能地從中找到解決問(wèn)題的思路或直接利用直觀手段求解，以幫助學(xué)生不斷積累利用直觀進(jìn)行思考的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展幾何直觀能力和解決問(wèn)題的能力。

例如引導(dǎo)學(xué)生“怎樣把一個(gè)正六邊形分割成6個(gè)大小相等、形狀相同的圖形”時(shí)，孩子們就借助直觀圖形產(chǎn)生了以下的分法和想法：

方法一：把正六邊形平均分成6個(gè)完全一樣的等邊三角形。

方法二：先畫(huà)出正六邊形的6條對(duì)稱(chēng)軸，然后去掉經(jīng)過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)軸，

得到第一種分法;或去掉經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)軸，得到第二種分法。

方法三：先把正六邊形分成3個(gè)完全相同的平行四邊形，再把每個(gè)平行四邊形分成兩個(gè)完全相同的部分，這樣可以得到3種分法。

方法四：只要先找到正六邊形的3條對(duì)稱(chēng)軸，再把3條對(duì)稱(chēng)軸繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，就可以得到一種分法，這樣就有無(wú)數(shù)種分法。

方法五：先把正六邊形分成3個(gè)完全一樣的平行四邊形，再畫(huà)出它們的一條對(duì)角線(xiàn)，這是一種分法，然后把對(duì)角線(xiàn)繞它的中點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，只要每次旋轉(zhuǎn)的方向和度數(shù)相同，也一樣得到無(wú)數(shù)種分法。

師總結(jié)：第一種思路是先畫(huà)出正六邊形的對(duì)稱(chēng)軸，得到一種分法，再旋轉(zhuǎn)得到無(wú)數(shù)種分法;第二種思路是先把正六邊形分成3個(gè)完全一樣的平行四邊形，再把對(duì)角線(xiàn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。盡管分法都有無(wú)數(shù)種，但解決問(wèn)題的思路只有兩種，所以也可以看做是兩種不同的方法。案例中，從把正六邊形平均分成6份到發(fā)現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，幾何直觀作為有效的表達(dá)工具始終伴隨著學(xué)生的解題活動(dòng)，并啟迪著學(xué)生的空間思維，引領(lǐng)學(xué)生的思維不斷走向深刻。在分的過(guò)程中，無(wú)論是由12等分去尋找6等分，還是由3等分去尋找6等分，學(xué)生把思考的過(guò)程和結(jié)果畫(huà)出來(lái)都是成功解決問(wèn)題的關(guān)鍵。更為難得的是學(xué)生在兩種解題思路的啟發(fā)下，對(duì)分割六邊形的問(wèn)題有了更深刻、更富有創(chuàng)造性的思考，并得到了無(wú)數(shù)種分法。而這一過(guò)程中，幾何直觀依然是促進(jìn)并引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的主角。最后，組織學(xué)生比較兩種思路的不同，使學(xué)生對(duì)兩種思路獲得更概括、更理性的認(rèn)識(shí)。整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的精彩表現(xiàn)既得益于教師的啟發(fā)，更得益于幾何直觀的引領(lǐng)。總之，“用圖形說(shuō)話(huà)”，用圖形描述問(wèn)題，用圖形討論問(wèn)題，這是一種基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的問(wèn)題，在中學(xué)階段如何更好的培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，還有待于我們進(jìn)一步研究，所以平日的工作中要善于觀察、善于思考、善于總結(jié)，力爭(zhēng)做一名研究型的教師，培養(yǎng)出能用數(shù)學(xué)眼光觀察生活，數(shù)學(xué)語(yǔ)言去表達(dá)生活，數(shù)學(xué)思考去感受生活！871D0703-EFF0-4BF9-9871-6B855483795C