右C-qrpp半群的性質與結構

饒冬飛，鄧梓楊

(豫章師范學院數學與計算機學院，江西 南昌 330103)

在半群S中，稱a為正則元，若?x∈S使得axa=a；稱S為正則半群，若半群S的元素都是正則元；正則半群S稱為完全正則半群若S中任意元素a，?x∈S使得xa=ax，它在研究正則半群的結構理論中起著重要作用。在rpp半群范圍內完全正則半群的類似，Guo-Shum-Zhu[1]定義了強-rpp半群并介紹了半織積概念，證得了：一個半群是左C-rpp的當且僅當該半群同構于一個左正則帶與一個C-rpp半群的某個半織積。隨后，許多學者進行強-rpp半群的研究工作[2-6]。Tang[7-8]引進Green**關系L**,R**，定義并研究了C-wrpp半群。作為強rpp半群在wrpp半群范圍的一般化，Du-Shum[9]定義了適當wrpp半群，研究了左C-wrpp半群的半織積結構。饒[10]定義的強qrpp半群是強rpp半群在wrpp半群范圍的另外一種推廣，探討了這一半群的子類右C-qrpp半群，獲得了右C-qrpp半群的一些特征。

本文是對右C-qrpp半群的進一步研究，發現它與右C-rpp半群[6]有一些相似的特征，文章的最后部分定義了對偶半織積，證得：一個半群是右C-qrpp的當且僅當該半群同構于一個C-wrpp半群與一個右正則帶的對偶半織積。

1 若干準備

定義1.1[8]半群S稱為左(右)K可消的：若?a,x,y∈S,axKay(xaKya)?xKy，其中K是S上的一個等價關系。半群S稱為K可消的：若S既左K可消又右K可消。

設S為半群，定義關系L**,R**：對于a,b∈S

aL**b當且僅當?x,y∈S1,(ax,ay)∈R?(bx,by)∈R；

aR**b當且僅當?x,y∈S1,(xa,ya)∈L?(xb,yb)∈L[8]

L**是S上的右同余且L?L*?L**而R**是S上的左同余且R?R*?R**。記R(+)=R,L(+)=L**H(+)=L(+)∩R(+),D(+)=L(+)∨R(+),且aJ(+)b?J(+)(a)=J(+)(b)[9],其中J(+)(a)是包含a，既被L(+)滲透，又被R(+)滲透的最小理想。換句話說,J(+)(a)是些L(+)類的并，也是些R(+)類的并。

定義1.2[10]稱S為qrpp半群若半群S的每一個L(+)類至少含有一個冪等元；稱S為強qrpp半群若qrpp半群S滿足：?a∈S，存在唯一的冪等元a+，使得a+L(+)a且aa+=a=a+a。

可以看出，適當wrpp半群[9]是強qrpp半群，一個C-wrpp半群S本質上是冪等元集E(S)是中心的qrpp半群。

定義1.3[10]稱S為右C-qrpp半群，若強qrpp半群S滿足：①D(+)是S上的一個同余，②對于?e∈E(S)，Se?eS，③D(+)|Reg(S)=D|Reg(S)，其中Reg(S)是S的正則元集。

引理1.1[9]半群S是C-wrpp半群當且僅當半群S左R可消幺半群的強半格。

定義1.4[11]稱半群B為帶若B內每個元都是冪等元；稱帶B為右正則帶若?b1,b2∈B，b1b2b1=b2b1。注意到，一個右正則帶B的每個L類僅有一個元[11]。

引理1.2[10]設S是一個強qrpp半群，以下命題等價：

(1)S是右C-qrpp半群；

(2)D(+)是S上的半格同余，且D(+)|Reg(S)=R|Reg(S)；

(3)S=∪α∈Y(Mα×Λα),其中Y為半格，且Mα是左R可消幺半群,Λα是右零帶。

設S=∪α∈Y(Mα×Λα),其中Y為半格,Mα是左R可消幺半群,Λα是右零帶。記M=∪α∈YMα,對M的元素定義運算?:

?u∈Mα,v∈Mβ,α,β∈Y,u?v=w??λ∈Λα,τ∈Λβ使得(u,λ)(v,τ)=(w,k)，

其中(w,k)∈Mαβ×Λαβ。容易看出?u,v∈Mα,α∈Y,u?v=uv，其中uv是u,v在Mα中的乘積。

引理1.3[8](M,?)是一個左R可消幺半群的強半格。

引理1.4[9]任一個半群S上都成立:L(+)°R(+)=R(+)°L(+)且D(+)=L(+)°R(+)。

命題1.1若強qrpp半群S具有半格分解:S=∪α∈YSα,其中Sα是強qrpp半群，則:

a∈Sα?a+∈Sα；

(2)L(+)(S)∩(Sα×Sα)=L(+)(Sα).

證明(1)令a∈Sα,?a+∈E(S)，使得a+L(+)(S)a及aa+=a=a+a。假設a+∈Sβ,因為a+a=a,所以α≤β。Sα是強qrpp半群,故存在唯一a◇∈E(Sα)，使得a◇L(+)(Sα)a，aa◇=a=a◇a。因為aa+=a,所以(aa+,aa◇)∈R;又a+L(+)(S)a,得(a+,aa◇)∈R.于是a+a◇∈Sβ，從而α≥β。這就是說，α=β及a+∈Sα。

(2)設a,b∈Sα且aL(+)(S)b.若x,y∈S1且滿足(ax,ay)∈R(Sα),則(ax,ay)∈R(S)。注意到aL(+)(S)b，于是(bx,by)∈R(S)。我們斷言:(bx,by)∈R(Sα)。實際上，存在u,v∈S1使得bxu=by及byv=bx；因而bx(bx)+u=by及by(by)+v=bx；由結論(1)知，(bx)+u,(by)+v∈Sα，我們得到(ax,ay)∈R(Sα)?(bx,by)∈R(Sα)。反之，(bx,by)∈R(Sα)?(ax,ay)∈R(Sα)。于是結論(2)成立。

命題1.2設M是左R可消幺半群且Λ是右零帶，則直積M×Λ是L(+)單的強qrpp半群。

證明設(a,e),(b,f)∈M×Λ，易見(a,e)R(b,f)?aRb?？闪?x,g),(y,h)∈(M×Λ)1,且(a,e)(x,g)R(a,e)(y,h)，則axRay。由M是左R可消幺半群知：xRy。由R是個右同余，則bxRby，因而(b,f)(x,g)R(b,f)(y,h)。反之，(b,f)(x,g)R(b,f)(y,h)蘊含(a,e)(x,g)R(a,e)(y,h)。故(a,e)L(+)(b,f)，即直積M×Λ是L(+)單半群，(a,e)L(+)(1,e)蘊含M×Λ是qrpp半群。

再來證明M×Λ是強qrpp半群。易見(1,e)(a,e)=(a,e)=(a,e)(1,e)。設冪等元(1,f)滿足(1,f)L(+)(a,e)且(1,f)(a,e)=(a,e)=(a,e)(1,f)，于是fe=e=ef，考慮到Λ是右零帶，有f=e，故M×Λ是強qrpp半群。

定義1.5右C半群是指正則半群滿足條件?e∈E(S),Se?eS，其中E(S)是S的冪等元集。右C半群是左C半群[12]的對偶。

引理1.5[12](1)在右C半群中有：D=R；

(2)設S是半群，則S是右C半群當且僅當S是完全正則半群且E(S)是右正則帶。

命題1.3設S是半群，若S=∪α∈Y(Mα×Λα)，其中Y為半格，且?α∈Y,Mα是左R可

消幺半群,Λα是右零帶，則D(+)|Reg(S)=R|Reg(S).

證明記Sα=Mα×Λα，幺半群的單位元1唯一，Mα是左R可消，e2=e?(e2,e)∈R

?(e,1)∈R?e·1=1?e=1，可設E(Sα)={((1α,i)|i∈Λα}，其中1α是Mα的單位元。

設a∈Reg(S)∩Sα，b∈Reg(S)∩Sβ，aD(+)b，根據引理1.4知，存在c∈S使得

aL(+)cRb；設u∈Sα，v∈Sβ，uR(S)v?α=β，因而c∈Sβ。可設c=(cβ,iβ)，易見

cRc(1β,iβ)。又aL(+)c，故aRa(1β,iβ)。于是α=αβ?α≤β。利用D(+)的對稱性可得

β≤α，于是α=β。根據Reg(S)中任何兩個元必有R關系，于是aRb。這就得到了

D(+)|Reg(S)?R|Reg(S)，由D(+)定義可知，D(+)|Reg(S)?R|Reg(S)，結論成立。

2 右C-qrpp半群的性質

我們來探討一些右C-qrpp半群的性質。

引理2.1在半群S中，若?e∈E(S),有Se?eS，則Reg(S)是右C半群。

證明設e,f∈E(S)，ef∈Sf?fS??x∈S,ef=fx=ffx=fef。于是ef·ef=e·fef=e·ef=ef，從而E(S)是右正則帶。這就表明：Reg(S)是S的子半群。再由Se?eS?Reg(S)e?eReg(S)可知Reg(S)是右C半群。

在強qrpp半群S上，定義關系aR(◇)b?a+Rb+，易見：R(◇)是S上的等價關系，且R(◇)?D(+).

定理2.2設S是一個強qrpp半群且D(+)|Reg(S)=D|Reg(S)，則S是右C-qrpp半群當且僅當

R(◇)是S上的半格同余且?e∈E(S)，Se?eS。

證明(?)設S是右C-qrpp半群，根據定義1.3，只需證明R(◇)是S上的半格同余。由引理1.2可設S=∪α∈Y(Mα×Λα),其中Y為半格，且?α∈Y,Mα是左R可消幺半群,Λα是右零帶。根據命題1.2知，Mα×Λα(α∈Y)是L(+)單的強qrpp半群。當我們設(a,i)∈Mα×Λα，(b,j)∈Mβ×Λβ時，會有(a,i)+∈Mα×Λα，(b,j)+∈Mβ×Λβ，于是(a,i)+=(1α,i)，(β,j)+=(1β,j)。因而(a,i)R(◇)(b,j)?(1α,i)R(1β,j)?α=β。這就表明：R(◇)=∪α∈Y((Mα×Λα)×(Mα×Λα))，即R(◇)是S上的半格同余。

(?)設R(◇)是S上的半格同余且?e∈E(S),有Se?eS，根據引理3.1，Reg(S)是右C半群，根據引理1.5(1)，DReg(S)=RReg(S)。設a,b∈Reg(S)且aDb，則?c∈Reg(S)，使得aLcRb，故aDReg(S)b，即DReg(S)=D|Reg(S)。根據第二章命題4.5[11]得，RReg(S)=R|Reg(S)，故D|Reg(S)=R|Reg(S).由大前提D(+)|Reg(S)=D|Reg(S)知：D(+)|Reg(S)=R|Reg(S)。只需再證明，R(◇)=D(+)。aD(+)b?a+D(+)b+且a+Rb+，故aR(◇)b。

即R(◇)?D(+)，顯然有R(◇)?D(+)。

推論2.3設S是一個強qrpp半群且D(+)|Reg(S)=D|Reg(S)，則S是右C-qrpp半群當且僅當

R(◇)是S上的半格同余且Reg(S)是右C半群。

證明(?)設S是右C-qrpp半群，根據定理2.2得，R(◇)是S上的半格同余且?e∈E(S),有Se?eS，由引理2.1得，Reg(S)是右C半群。

(?)在定理2.2的?證明中已證。

引理2.4[13]在帶B中，B是右正則的當且僅當B右零帶的半格。

定理2.5設S是一個強qrpp半群且D(+)|Reg(S)=D|Reg(S)，?e∈E(S),有Se?eS，則下列條件等價：(1)S是右C-qrpp半群，

(2)R(◇)=J(+)，

(3)D(+)=J(+)。

證明：(1?2)設S是右C-qrpp半群，根據定理2.2，則R(◇)是S上的半格同余。可設S=∪α∈YSα，其中Y是半格，Sα是S的一個R(◇)類。令a∈Sα,b∈Sβ，則J(+)(a)=∪x∈J(+)(a)Jx(+).而R(◇)?D(+)?J(+)，有J(+)(a)=∪γ∈Y,γ≤αSγ，J(+)(b)=∪γ∈Y,γ≤βSγ故J(+)(a)=J(+)(b)當且僅當α=β。因此，aJ(+)b?J(+)(a)=J(+)(b)?α=β且R(◇)=J(+)。

(2?3)由R(◇)?D(+)?J(+)且R(◇)=J(+)可知D(+)=J(+)。

(3?1)設D(+)=J(+).?e∈E(S),有Se?eS，根據引理2.1可知，Reg(S)是右C半群，根據引理1.5(1)得，DReg(S)=RReg(S)，進而D(+)|Reg(S)=R|Reg(S).還需證明，R(◇)是S上的半格同余。分兩步來證明：第一步，證明J(+)是S上的半格同余。L(+)是S上的右同余，a∈S，有a2L(+)a+a,a2J(+)(a).于是J(+)(a2)=J(+)(a)。設u,v∈S，則J(+)(uv)=J(+)((uv)2)=J(+)(u(vu)v)?J(+)(vu)，同理J(+)(vu)?J(+)(uv)，故J(+)(vu)=J(+)(uv)。設a,b,u∈SauL(+)a+uJ(+)ua+L(+)u+a+,buL(+)b+uJ(+)ub+L(+)u+b+,即auJ(+)u+a+，buJ(+)u+b+。設aJ(+)b,則a+Rb+，由引理2.4得u+a+Ru+b+，根據J(+)的定義得auJ(+)bu。

故J(+)是S上的半格同余。第二步，aJ(+)b?aD(+)b?a+D(+)b+?a+Rb+,于是aR(◇)b，即J(+)?R(◇)從而J(+)=R(◇).綜合第一步和第二步得R(◇)是S上的半格同余。

設B=∪α∈YEα是帶B的矩形帶半格分解，若e∈Eα，為了方便，E(e)表示Eα，Eα≤Eβ表示EαEβ?Eα.

引理2.6[8]半群S是C-wrpp半群當且僅當S是左R可消幺半群的強半格。(Theorem3.1[8])。

定理2.7設S是強qrpp半群，其冪等元集E(S)是個帶，則S是右C-qrpp半群當且僅當ζ={(x,y)∈S×S|(?f∈E(y+))x=yf}是S上的C-wrpp半群同余。

(u,i)ζS(v,j)??(k∈Λβ)(u,i)=(v,j)(1β,k)?u=v且α=β。反過來，若u=v且α=β,則(u,i)=(v,j)(1α,i)?(u,i)ζ(v,j)。這就是說，(u,i)ζ(v,j)當且僅當u=v且α=β。

根據同余和同構的定義有：ζ={(x,y)∈S×S|(?f∈E(y+))x=yf}是S上的同余且S/ζ?M。ζ是S上的C-wrpp半群同余。

(?)設ζ={(x,y)∈S×S|(?f∈E(y+))x=yf}是S上的C-wrpp半群同余。若aζ是冪等元，即(a2,a)∈ζ，則?f∈E(a+)使得a2=af，于是a2=a2a+=afa+=aa+fa+=aa+=a∈E(S)。也就是說，ζ是冪等元純的?？梢詳嘌?，ζ|E(S)=R|E(S)。實際上，ζ?R(y=yy+=yy+fy+=yfy+=xy+)。設e,f∈E(S)且eRf，則E(e)=E(f)，e=fe,即eζf。故ζ|E(S)=R|E(S)。

下面證明ζ是保持L(+)類的。?x,y∈S1，若(aζ·xζ,aζ·yζ)∈R，則((ax)ζ,(ay)ζ)∈R，即?u,v∈S1，使得(axu)ζ=(ay)ζ,(ayv)ζ=(ax)ζ。由ζ?R得，(axu,ay)∈R,(ax,ayv)∈R。設(a,b)∈L(+)，則(bxu,by)∈R,(bx,byv)∈R。?s,t∈S1使得bxus=by,bx=byvt，則(bxus)ζ=(by)ζ,(bx)ζ=(byvt)ζ，即((bx)ζ,(by)ζ)∈R.這就是說(a,b)∈L(+)，則?x,y∈S1,(aζ·xζ,aζ·yζ)∈R?(bζ·xζ,bζ·yζ)∈R，反過來(bζ·xζ,bζ·yζ)∈R?(aζ·xζ,aζ·yζ)∈R,即(aζ,bζ)∈L(+).

以下記E(S)為E，概括起來已經證得，E/(ζ|E)=E(S)/(R|E)=E(S/ζ)是個半格，即E是右零帶的半格，根據引理2.4，E右正則帶?？稍OE=∪α∈YΛα，其中Y是半格，Λα是右零帶?？煽醋鯵=E(S/ζ)。根據引理2.6，S/ζ=∪α∈YMα，其中Y是半格，Λα是左R可消幺半群。記T=∪α∈Y(Mα×Λα)，可以定義映射θ:S→T,θs=(sζ,s+)，設(m,λ)∈T，則?s∈S，使得sζ=m,s+Rλ，s+ζ=λζ.故(sλ)ζ=sζ·λζ=sζ·s+ζ=(ss+)ζ=sζ=m.又sλL(+)s+λ=λ,sλλ=sλ=s+sλ=λs+sλ=λsλ得，(sλ)+=λ。因而(sλ)θ=(m,λ)且θ是滿射。對于θ，有sθ=tθ?sζt且s+=t+，又sζt?(?e∈E(t+))s=te，于是s=ss+=tet+=tt+et+=tt+=t，故θ是雙射。

在T上定義?：(sζ,s+)?(tζ,t+)=((st)ζ,(st)+)，易見運算滿足結合律，故(T,?)是半群且θ是同構映射。另一方面，(sζ,s+),(tζ,t+)∈Mα×Λα?t+s+=s+,s+t+=t+，故stL(+)s+t=(s+t+)t=t+t=tL(+)t+.由stt+t=st=s+st=t+s+st=t+st得，(st)+=t+，(st)+=s+t+，這就表明T是Mα×Λα的半格，根據引理1.2得S是右C-qrpp半群。

3 右C-qrpp半群的半織積結構

半織積的概念由文[1]提出來，受其啟發，下面給出右C-qrpp半群對偶半織積結構。

定義3.1設T=∪α∈YTα，Λ=∪α∈YΛα分別是半群T和Λ在半格Y上的分解。構造Cartesian積Sα=Tα×Λα，令S=∪α∈YSα，建立映射η:S→Tr(Λ),(a,λ)|→η(a,λ),μη(a,λ)=μ(a,λ),其中Tr(Λ)是半群Λ上的右平移變換構成的半群，設(a,λ)∈Sα,(b,μ)∈Sβ,要求η滿足：

(C1)μ(a,λ)∈Λαβ;(C2)當α≤β時，μ(a,λ)=μλ;(C3)η(a,λ)η(b,μ)=η(ab,λ(b,μ)),

引理3.2[7]設Y是半格，S=[Y;Sα,θα,β]是Sα的強半格，則R(Sα)=R(S)∩(Sα×Sα)。

(1)E(S)=∪α∈Y({1α}×Λα);

(2)?(a,λ)∈Tα×Λα,(a,λ)L(+)(1α,λ)；

(3)S是右C-qrpp半群且?(a,λ)∈Tα×Λα,(a,λ)(+)=(1α,λ).

證明(1)若(a,λ)2=(a,λ)，則?α∈Y使得(a,λ)∈Sα且a2=a∈Tα.注意到Tα是左R可消幺半群，則a=1α.反過來，(1α,λα)2=(1α1α,λα(1α,λα))=(1α,λαλα)=(1α,λα)。故E(S)=∪α∈Y({1α}×Λα)。

(2)設(x,j),(y,k)∈S1，(a,λ)(x,j)R(a,λ)(y,k)，則axRay?(?γ∈Y)ax,ay∈Tγ。

由引理3.2得axR(Tγ)ay，又Tγ是左R可消幺半群，故1αxR(Tγ)1αy.計算(1α,λ)(x,j)=(1αx,uγ)，(1α,λ)(y,k)=(1αy,vγ)，由Λγ是右零帶可知，(1α,λ)(x,j)R(1α,λ)(y,k)。

反過來，若(1α,λ)(x,j)R(1α,λ)(y,k)，由R是左同余知(a,λ)(x,j)R(a,λ)(y,k)。

故?(a,λ)∈Tα×Λα,(a,λ)L(+)(1α,λ)。

定理3.4設S是半群，則S是右C-qrpp半群當且僅當S同構于一個C-wrpp半群和一個右正則帶的對偶半織積。

證明(?)根據引理2.6和定理3.3得證；

(?)設S是右C-qrpp半群。根據引理2.1和引理1.5(2)，冪等元集E是右正則帶。設E=∪α∈YEα是E的右零帶Eα半格分解，根據定理2.7，Y?E(S/ζ)，不妨假設Y=E(S/ζ)。根據引理2.6，設S/ζ=∪α∈YMα是C-wrpp半群S/ζ的左R可消幺半群Mα的強半格分解，其中的每個Mα都是S/ζ的一個L(+)類[8]，記M=S/ζ，T=∪α∈Y(Mα×Eα)，由定理2.7的證明可知，映射θ:S→T,θs=(sζ,s+)是雙射，T關于?：(sζ,s+)?(tζ,t+)=((st)ζ,(st)+)是半群且S?T。

可以建立映射τ:T→Γr(E)，(sζ,s+)|→τ(sζ,s+);其中iτ(sζ,s+)=i(sζ,s+)=(is)+,Γr(E)是E的右平移變換半群。由于L(+)是右同余，于是s1s2L(+)s1+s2，根據命題1.3得，(s1s2)+R(s1+s2)+，因而，(s1+s2)+(s1s2)=(s1+s2)+(s1s2)+(s1s2)=(s1s2)+(s1s2)=s1s2=s1s1+s2=s1(s1+s2)(s1+s2)+=(s1s2)(s1+s2)+，即(s1s2)+=(s1+s2)+。

計算得，(s1ζ,s1+)?(s2ζ,s2+)=((s1s2)ζ,(s1s2)+)=((s1s2)ζ,(s1+)(s2ζ,s2+))，這滿足定義3.1(C1)；設(aζ,a+)∈Mα×Eα,e∈Eβ,α≤β，計算得，

(eζ,e)?(aζ,a+)=(eζ,e)?(a+ζ,a+)?(aζ,a+)=((ea+)ζ,ea+)?(aζ,a+)=((ea)ζ,ea+)=((ea)ζ,e(aζ,a+))

這滿足定義3.1(C2)；設(bζ,b+)∈Mβ×Eβ,f∈Eγ，計算得，

(eζ,e)?(aζ,a+)?(bζ,b+)=(eζ,e)?((ab)ζ,(a+)(bζ,b+))=((eab)ζ,eτ((ab)ζ,(a+)(bζ,b+)))

且

(eζ,e)?(aζ,a+)?(bζ,b+)=((ea)ζ,e(aζ,a+))?(bζ,b+)

=((eab)ζ,eτ(aζ,a+)τ(bζ,b+))

于是，τ((ab)ζ,(a+)(bζ,b+))=τ(aζ,a+)τ(bζ,b+)，這滿足定義3.1(C3)；